高中数学人教版新课标A选修1-13.3导数在研究函数中的应用同步达标检测题

函数的最大（小）值与导数

 [A组　学业达标]

1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是(　　)

A．f(2)，f(3)　　　　　　　 B．f(3)，f(5)

C．f(2)，f(5)  D．f(5)，f(3)

解析：∵f′(x)＝－2x＋4，

∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，

故f(x)在[3,5]上单调递减，

故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．

答案：B

2．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是(　　)

A．π－1   B.－1

C．π  D．π＋1

解析：因为y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，则函数在区间上为增函数，

所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.

答案：C

3．函数f(x)＝x3－2x2在区间[－1,5]上(　　)

A．有最大值0，无最小值

B．有最大值0，最小值－

C．有最小值－，无最大值

D．既无最大值也无最小值

解析：f′(x)＝x2－4x＝x(x－4)．

令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4，

∴f(0)＝0，f(4)＝－，f(－1)＝－，f(5)＝－，

∴f(x)max＝f(0)＝0，f(x)min＝f(4)＝－.

答案：B

4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是(　　)

A．－37  B．－29

C．－5  D．以上都不对

解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x＝0时，f(0)＝m最大，∴m＝3.∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴最小值为－37.

答案：A

5．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，＋∞)  B．(－2，＋∞)

C．(0，＋∞)  D．(－1，＋∞)

解析：∵2x(x－a)<1，∴a>x－.令f(x)＝x－，∴f′(x)＝1＋2－xln 2>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)>f(0)＝0－1＝－1，∴a的取值范围为(－1，＋∞)．

答案：D

6．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．

解析：f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．

由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.

又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，

f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.

由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，

∴f(x)min＝k－76＝－71.

答案：－71

7．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，若f′(－1)＝0，则函数f(x)在[－2,2]上的最大值为________，最小值为________．

解析：由原式，得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，

f′(x)＝3x2－2ax－4.

由f′(－1)＝0，得a＝，

此时f(x)＝x3－x2－4x＋2，

f′(x)＝3x2－x－4.

令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝.

因为f(－1)＝，f＝－，

f(－2)＝f(2)＝0，

所以函数f(x)在[－2,2]上的最大值为，最小值为－.

答案：　－

8．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.

解析：由题意知f′(x)＝4－＝.

又x>0，a>0，令f′(x)＝0，得x＝，

当0<x<时，f′(x)<0；当x>时，f′(x)>0.

故f(x)在上单调递减，在上单调递增，即当x＝时，f(x)取得最小值，则＝3，解得a＝36.

答案：36

9．已知函数f(x)＝.

(1)求f(x)在点(1,0)处的切线方程；

(2)求函数f(x)在[1，t]上的最大值．

解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f(x)的导数f′(x)＝.

(1)f′(1)＝1，所以切线方程为y＝x－1.

(2)令f′(x)＝＝0，解得x＝e.

当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当1<t<e时，f(x)在[1，t]上单调递增，

f(x)max＝f(t)＝，

当t≥e时，f(x)在[1，e]上单调递增，

在[e，t]上单调递减，f(x)max＝f(e)＝，

f(x)max＝

10．已知函数f(x)＝＋ln x，求f(x)在上的最大值和最小值．

解析：易知f(x)的定义域为(0，＋∞)．

∵f(x)＝＋ln x＝－1＋ln x，

∴f′(x)＝－＝.

令f′(x)＝0，得x＝1.

在上，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

∴在上，当x＝1时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(1)＝0.

又f＝1＋ln＝1－ln 2，

f(2)＝－＋ln 2，

∴f－f(2)＝－2ln 2＝×(3－4ln 2)＝ln >0，

∴f>f(2)，

∴f(x)在上的最大值为f＝1－ln 2，最小值为f(1)＝0.

[B组　能力提升]

11．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为(　　)

A．0   B.

C.   D.

解析：f′(x)＝＝，

当x∈[2,4]时，f′(x)<0，即函数f(x)在x∈[2,4]上是单调减函数，故x＝4时，函数f(x)有最小值.

答案：C

12．当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－5，－3]   B.

C．[－6，－2]  D．[－4，－3]

解析：当x＝0时，3≥0恒成立，a∈R.

当0<x≤1时，a≥.

设h(x)＝，

则h′(x)＝

＝.

∵x∈(0,1]，∴h′(x)>0，∴h(x)单调递增，∴h(x)max＝h(1)＝－6，∴a≥－6.

当－2≤x<0时，a≤.

易知h(x)＝在[－2，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增．

∴h(x)min＝h(－1)＝－2，∴a≤－2.

综上，－6≤a≤－2，故选C.

答案：C

13．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.

解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.

计算得f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，

所以M＝24，m＝－8，所以M－m＝32.

答案：32

14．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．

解析：f(x)≥2，即a≥2x2－2x2ln x.

令g(x)＝2x2－2x2ln x，x>0，

则g′(x)＝2x(1－2ln x)．由g′(x)＝0得x＝，

且当0<x<时，g′(x)>0；当x>时，g′(x)<0，

∴当x＝时，g(x)取最大值＝e，∴a≥e.

答案：[e，＋∞)

15．已知函数f(x)＝excos x－x.

(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．

解析：(1)因为f(x)＝excos x－x，所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.

又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.

(2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，

则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)

＝－2exsin x.

当x∈时，h′(x)<0，

所以h(x)在区间上单调递减．

所以对任意x∈有h(x)<h(0)＝0，即f′(x)<0.

所以函数f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，最小值为f＝－.

16．设函数f(x)＝(a∈R)．

(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．

解析：(1)对f(x)求导得f′(x)＝

＝，

因为f(x)在x＝0处取得极值，

所以f′(0)＝0，解得a＝0.

当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，故f(1)＝，f′(1)＝，从而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝(x－1)，化简得3x－ey＝0.

(2)由(1)知，f′(x)＝，

令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，

则只需g(x)≤0在[3，＋∞)上恒成立，

分离变量可得a≥－，

即a≥－3在[3，＋∞)上恒成立，

因为－3在[3，＋∞)上单调递减，

且max＝－，

故a≥－，故a的取值范围为.