高中数学人教版新课标A必修3第二章 统计2.3 变量间的相关关系2.3.1变量之间的相关关系巩固练习

变量之间的相关关系　两个变量的线性相关

　　　　　　　　　　　　　　　　 (20分钟　35分)

1.某公司2011～2016年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如表所示：

A.利润中位数是16，x与y有正线性相关关系

B.利润中位数是18，x与y有负线性相关关系

C.利润中位数是17，x与y有正线性相关关系

D.利润中位数是17，x与y有负线性相关关系

【解析】选C.由表知，利润中位数是(16+18)=17，且y随x的增大而增大.

2.已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，则线性回归方程为=x+6，则的值为 (　　)

A.   B.

C.-   D.-

【解析】选D.因为==2，==5，

故5=×2+6，所以=-.

3.为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知xi=225，yi=1 600，=4.该班某学生的脚长为24厘米，据此估计其身高为 (　　)

A.160厘米

B.163厘米

C.166厘米

D.170厘米

【解析】选C.由题意可知=4x+，

又=22.5，=160，因此160=22.5×4+，

解得=70，

所以=4x+70.

当x=24时，=4×24+70=166厘米.

4.下列各组变量中是函数关系的有______；是相关关系的有______；没有关系的是______.(填序号) 

①电压U与电流I；②自由落体运动中位移s与时间t；③粮食产量与施肥量；④人的身高与体重；⑤广告费支出与商品销售额；⑥地球运行的速度与某个人行走的速度.

答案：①②　③④⑤　⑥

5.(2020·洛阳高一检测)在2019年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示：

由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：=-3.2x+(参考公式：回归方程=x+，=-)，则=______. 

【解析】由数据表可知：==10；

==8，

所以=-=8-(-3.2)×10=40.

答案：40

6.下表数据是退水温度x(℃)对黄酮延长性y(%)效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的x，y为正态变量，其方差与x无关.

(1)画出散点图.

(2)指出x，y是否线性相关.

(3)若线性相关，求y关于x的线性回归方程；

(4)估计退水温度是1 000℃时，黄酮延长性的情况.

【解析】(1)散点图如图：

(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y与x线性相关.

(3)列出下表并用科学计算器进行有关计算.

于是可得

b=

=≈0.058 86，

a=-b≈57-0.058 86×550=24.627.

因此所求的线性回归方程为

=0.058 86x+24.627.

(4)将x=1 000代入线性回归方程得

=0.058 86×1 000+24.627=83.487，

即退水温度是1 000℃时，黄酮延长性大约是83.487%.

　　　　　　　　　　　　　　　　 (30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如表所示：

由上表可得线性回归方程=x+中的=-4，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为 (　　)

A.51个   B.50个   C.49个   D.48个

【解析】选C.由题意知=17.5，=39，代入线性回归方程得=109，109-15×4=49.

2.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 (　　)

A.y与x具有正的线性相关关系

B.回归直线过样本点的中心(，)

C.若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg

D.若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg

【解析】选D.为正数，所以两变量具有正的线性相关关系，故A正确；B，C显然正确；若该大学某女生身高为170 cm，则可估计其体重为58.79 kg.

3.根据如下样本数据：

得到的回归方程为=x+，则 (　　)

A.>0，>0   B.>0，<0

C.<0，>0   D.<0，<0

【解析】选B.作出散点图如图：

观察图象可知，回归直线=x+的斜率<0，当x=0时，=>0.故>0，<0.

4.已知变量x和y满足关系式y=-0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是 (　　)

A.x与y正相关，x与z负相关

B.x与y正相关，x与z正相关

C.x与y负相关，x与z负相关

D.x与y负相关，x与z正相关

【解析】选C.因为变量x和y满足关系式y=-0.1x+1，一次项系数-0.1<0，所以x与y负相关；变量y与z正相关，设y=kz(k>0)，所以kz=-0.1x+1，得到z=-x+，一次项系数小于0，所以z与x负相关.

5.已知x与y之间的几组数据如表：

假设根据上表数据所得线性回归方程为=x+.若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是              (　　)

A.>b′，>a′   B.>b′，<a′

C.<b′，>a′   D.<b′，<a′

【解析】选C.由(1，0)，(2，2)求b′，a′.

b′==2，a′=0-2×1=-2.

求，时，xiyi=0+4+3+12+15+24=58，

=，=，=1+4+9+16+25+36=91，

所以==，

=-×=-=-，所以<b′，>a′.

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程=bx+a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为______. 

【解析】=(4+2+3+5)=3.5，

=(49+26+39+54)=42，

所以a=-b=42-9.4×3.5=9.1，

所以回归方程为=9.4x+9.1，

令x=6，得=9.4×6+9.1=65.5(万元).

答案：65.5万元

7.期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归直线方程为=6+0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差______分. 

【解析】令两人的总成绩分别为x1，x2.

则对应的数学成绩估计为1=6+0.4x1，2=6+0.4x2，

所以|1-2|=|0.4(x1-x2)|=0.4×50=20.

答案：20

8.某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程=0.66x+1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估计该城市人均消费占人均工资收入的百分比约为______. 

【解析】由=0.66x+1.562知，当y=7.675时，x=，所以所求百分比为=≈83%.

答案：83%

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得xi=80，yi=20，xiyi=184，=720.

(1)求月储蓄y(千元)关于月收入x(千元)的线性回归方程.

(2)若该居民区某家庭的月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄为多少元？

【解析】(1)由题意知n=10，=xi=×80=8，

=yi=×20=2，

又-n=720-10×82=80，

xiyi-n =184-10×8×2=24，

由此得==0.3，=-=2-0.3×8=-0.4，

故所求线性回归方程为=0.3x-0.4.

(2)将x=7代入线性回归方程，可以得到该家庭的月储蓄约为=0.3×7-0.4=1.7(千元).

10.一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如表所示.

(1)作出散点图；

(2)如果y与x成线性相关关系，求出回归方程；

(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围？

【解析】(1)根据表中的数据画出散点图如图所示.

(2)设回归方程为：=x+并列表如下：

=12.5，=8.25，=660，xiyi=438.

所以=≈0.73，

=8.25-0.73×12.5≈-0.88，

所以=0.73x-0.88.

(3)令0.73x-0.88≤10，解得x≤14.9≈15.

故机器的运转速度应控制在15转/秒内.

1.在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，其观测结果如下：

则由此得到回归直线的斜率约为__________.(精确到0.01) (　　) 

A.0.22   B.0.44

C.0.66   D.0.88

【解析】选D.=30，=93.6，=7 900，

xiyi=17 035，所以回归直线的斜率==≈0.88.

2.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

(1)求回归直线方程=x+，其中=-20，=-；

(2)预计在今后的销售中，销售量与单价仍然服从(1)中的关系，并且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应为多少元？(利润=销售收入-成本)

【解析】(1)由于=(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5，

=(90+84+83+80+75+68)=80，又=-20，

所以=-=80+20×8.5=250，从而回归直线方程为=-20x+250.

(2)设工厂获得的利润为L元，依题意，得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1 000

=-20(x-8.25)2+361.25.

当且仅当x=8.25时，L取得最大值.

故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.