高中人教版新课标A第一章 集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.2函数的表示法第1课时学案

1．2.2　函数的表示法

第1课时　函数的表示法

授课提示：对应学生用书第17页

[基础认识]

知识点　函数的表示法

　某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔．每支铅笔的价格为0.5元，共需y元．于是y与x间建立起了一个函数关系．

(1) 函数的定义域是什么？

提示：{1,2,3,4,5}．

(2) y与x的关系是什么？

提示：y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．

(3)试用表格表示铅笔数x与钱数y之间的关系．　　　

　提示：

(4) 试用图象表示x与y之间的关系．

提示：

　知识梳理　函数的表示法

[自我检测]

1．下列用图表给出的函数关系中，当x＝6时，对应的函数值y＝(　　)

A.2　　　　　　　　 B．3

C．4  D．无法确定

解析：5＜x≤10时，y＝3，∴x＝6时，y＝3.

答案：B

2．函数f(x)是一次函数，若f(1)＝1，f(2)＝2，则函数f(x)的解析式是__________．

解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

由得

解得∴f(x)＝x.

答案：f(x)＝x

3．已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是__________，值域是__________．

解析：结合图象知，f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]．

答案：[－3,3]　[－2,2]

授课提示：对应学生用书第17页

探究一　函数的表示法

　[阅读教材P19例3]某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元. 试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．

题型：函数的表示法

[例1]　某商场新进了10台平板，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．

[解析]　(1)列表法

(2)图象法：如图所示．

(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．

方法技巧　用三种表示法表示函数的注意点

列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在应用三种表示法表示函数时要注意：

(1)解析法：必须注明函数的定义域；

(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；

(3)图象法：是否连线．

跟踪探究　1.某商场为反馈顾客，规定凡购买某品牌商品两件，赠儿童玩具一个，一顾客购买此品牌商品的件数为x件，获赠儿童玩具y个，分别用列表法、解析法、图象法将y表示成x(x∈{2,4,6,8})的函数．

解析：(1)列表法

(2)解析法：y＝0.5x，x∈{2,4,6,8}．

(3)图象法：

探究二　函数的图象

[例2]　作出下列函数的图象并求出其值域．

(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；

(2)y＝，x∈[2，＋∞)；

(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．

[解析]　(1)列表：

当x∈[0,2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．

(2)列表：

当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知，其值域为(0,1]．

(3)列表：

画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．由图可得函数的值域是[－1,8]．

方法技巧　1.作函数图象的三个步骤

(1)列表．先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来．

(2)描点．把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在坐标平面上描出来．

(3)连线．用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．

注意：1.所选的点越多画出的图象越精确，同时所选的点应该是关键处的点．

2．常见函数图象的画法技巧

(1)对于一次函数的图象，描出与坐标轴的交点，连线即得；

(2)对于二次函数的图象，描出与坐标轴的交点、顶点，连线即得．

跟踪探究　2.作出下列函数图象：

(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；

(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．

解析：(1)∵x∈Z且|x|≤2，

∴x∈{－2，－1,0,1,2}．

∴图象为一直线上的孤立点(如图①)．

(2)∵y＝2(x－1)2－5，∴当x＝0时，y＝－3；

当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.

所画函数图象如图②.

 探究三　函数解析式的求法

[例3]　(1)已知f(＋1)＝x－2，则f(x)＝__________；

(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝__________.

(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝__________.

[解析]　(1)令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．

(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.

又f(f(x))＝4x＋8，

所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，

即解得或

所以f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.

(3)由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立可得消去f(－x)可得f(x)＝x－1.

[答案]　(1)x2－4x＋3(x≥1)　(2)2x＋或－2x－8

(3)x－1

延伸探究　1.把本例(2)的题干改为“已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x.”求f(x)的解析式．

解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(0)＝1得c＝1.

又f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1，

∴f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b.

由2ax＋a＋b＝2x，

得

解得a＝1，b＝－1.

∴f(x)＝x2－x＋1.

2．把本例(3)的题干改为“2f＋f(x)＝x(x≠0)”，求f(x)的解析式．

解析：f(x)＋2f＝x，令x＝，

得f＋2f(x)＝.

于是得关于f(x)与f的方程组

解得f(x)＝－(x≠0)．

方法技巧　求函数解析式的四种常用方法

1．待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．

2．换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．

3．配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．

4．方程组法：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．

授课提示：对应学生用书第18页

[课后小结]

1．作函数的图象

一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象．画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．

2．求函数的解析式

求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自然变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．

[素养培优]

　求函数解析式忽视定义域致误

已知函数f(＋1)＝x，则函数f(x)的解析式是__________．

易错分析：在用换元法求函数解析式时，易忽视元的范围，从而导致忽视函数的定义域致误．

自我纠正：令＋1＝t，

则x＝(t－1)2(t≥1)，

代入f(＋1)＝x，

得f(t)＝(t－1)2.

所以f(x)＝(x－1)2(x≥1)．

答案：f(x)＝(x－1)2(x≥1)