人教版新课标A必修1第一章 集合与函数概念1.3 函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第2课时导学案及答案

第2课时　函数的最大(小)值

授课提示：对应学生用书第24页

[基础认识]

知识点　函数最大(小)值

　观察下面的函数图象：

(1)该函数f(x)的定义域是什么？

提示：[－4,7]．

(2)该函数f(x)图象的最高点及最低点的纵坐标分别是什么？

提示：3，－2.

(3)函数y＝f(x)的值域是什么？

提示：[－2,3]．　　　

　知识梳理　

思考：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？

提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．

[自我检测]

1．设函数f(x)＝2x－1(0≤x＜1)，则f(x)(　　)

A．有最大值无最小值

B．有最小值无最大值

C．既有最大值又有最小值

D．既无最大值也无最小值

解析：画出函数f(x)＝2x－1(0≤x＜1)的图象，如图中实线部分所示．由图象可知，函数f(x)＝2x－1(0≤x＜1)是增函数，有最小值但无最大值．故选B.

答案：B

2．函数y＝x2＋2x＋1(x∈R)有最__________值，为__________，无最__________值．

解析：∵y＝(x＋1)2≥0(x∈R)，∴当x＝－1时，y取得最小值0，无最大值．

答案：小　0　大

3．函数y＝在[2,6]上的最大值与最小值之和等于__________．

解析：函数y＝在区间[2,6]上是减函数，当x＝2时取得最大值，当x＝6时取得最小值，＋＝.

答案：

授课提示：对应学生用书第25页

探究一　利用图象求函数的最值(值域)

[例1]　已知函数f(x)＝

(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象．

(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．

[解析]　(1)图象如图所示：

(2)由图可知f(x)的单调递增区间为[－1,0]，(2,5]，单调递减区间为(0,2]，值域为[－1,3]．

方法技巧　图象法求最值的一般步骤

跟踪探究　1.画出函数f(x)＝的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．

解析：f(x)的图象如图所示：

f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.

探究二　利用单调性求函数的最值(值域)

　[阅读教材P31例4]已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．

题型：求最值

[例2]　已知函数f(x)＝x＋.

求f(x)在[2,4]上的最值．

[解析]　易知f(x)在[2,4]上是增函数，

∴当x∈[2,4]时，f(2)≤f(x)≤f(4)．

又∵f(2)＝2＋＝，f(4)＝4＋＝，

∴f(x)在[2,4]上的最大值为，最小值为.

方法技巧　函数的最值与单调性的关系

(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)．

(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)．

(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．

跟踪探究　2.已知函数f(x)＝.

(1)证明：函数f(x)在上是减函数；

(2)求函数f(x)在[1,5]上的最值．

解析：(1)证明：设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>，

f(x1)－f(x2)＝－

＝.由于x2>x1>，

所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，

所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

所以函数f(x)＝在区间上是减函数．

(2)由(1)知，函数f(x)在[1,5]上是减函数，

因此，函数f(x)＝在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，

即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝.

探究三　函数最值的应用

　[阅读教材P30例3]“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m)

题型：最值在实际问题中的应用

方法步骤：

第1步，审题；

第2步，建模；

第3步，求解；

第4步，回归．

[例3]　一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)

(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式．

(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？

[解析]　(1)当0<x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝(x∈N*)．

(2)当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x>20时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．

即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．

方法技巧　解实际应用题的四个步骤

(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系．

(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式．

(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围)．

(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案．

跟踪探究　3.如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m，每间笼舍的宽度x为多少时，才能使得每间笼舍面积y达到最大？每间最大面积为多少？

解析：由题意知笼舍的宽为x m，

则笼舍的长为(30－3x)m，每间笼舍的面积为

y＝x(30－3x)＝－(x－5)2＋37.5，x∈(0,10)．

当x＝5时，y取得最大值37.5，

即每间笼舍的宽度为5 m时，每间笼舍面积y达到最大，最大面积为37.5 m2.

授课提示：对应学生用书第26页

[课后小结]

1．函数的最大(小)值，包含两层意义：一是存在，二是在给定区间上所有函数值中最大(小)的，反映在函数图象上，函数的图象有最高(低)点．

2．求函数最大(小)值的常用方法有：(1)观察法，对于简单的函数，可以依据定义域观察求出最值；(2)配方法，对于“二次函数”类的函数，一般通过配方法求最值；(3)图象法，对于图象较容易画出来的函数，可借助图象直观地求出最值；(4)单调性法，对于较复杂的函数，分析单调性(需给出证明)后，依据单调性确定函数最值．

[素养培优]

　分类讨论在求函数最值中的应用

　已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a的值为__________．

解析：f(x)＝ax2＋2ax＋1

＝a(x＋1)2＋1－a，对称轴x＝－1，

当a>0时，图象开口向上，

在[－2,3]上的最大值为

f(3)＝9a＋6a＋1＝6，

所以a＝；

当a<0时，图象开口向下，在[－2,3]上的最大值为

f(－1)＝a－2a＋1＝6，

所以a＝－5.

综上，a的值为或－5.

答案：或－5

点评：函数解析式中项的系数含字母，由于字母的取值不同会导致函数图象、性质的结果不同，需要分类讨论．