人教版新课标A必修12.1.1指数与指数幂的运算第1课时导学案

2．1　指数函数

2．1.1　指数与指数幂的运算

第1课时　根式

授课提示：对应学生用书第33页

[基础认识]

知识点一　根式及相关概念

①若x2＝9，则x是9的平方根，且x＝±3；

②若x3＝64，则x是64的立方根，且x＝4；

③若x4＝81，则x是81的4次方根，且x＝±3；

④若x5＝－32，则x是－32的5次方根，且x＝－2.

(1)观察①③，你认为正数的偶次方根都是两个吗？

提示：是．

(2) 一个数的奇次方根有几个？

提示：1个．

(3) 由于22＝4，小明说，2是4的平方根；小李说，4的平方根是2，你认为谁说的正确？

提示：小明．　　　

　知识梳理　1.a的n次方根定义：

如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

2．a的n次方根的表示：

3.根式：

式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

知识点二　根式的性质

(1)3，3，4分别等于多少？

提示：2，－2,2.

(2) ，， ，分别等于多少？

提示：－2,2,2,2.

(3)等式＝a及()2＝a恒成立吗？

提示：当a≥0时，两式恒成立；当a<0时，＝－a，()2无意义．　　　

　知识梳理　1.()n＝a(n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n>1)．

2.＝

3.＝0.

4．负数没有偶次方根．

[自我检测]

1.的运算结果是(　　)

A．2　　　　　　　　　 B．－2

C．±2  D．±

解析：＝＝2.

答案：A

2．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：当m<0时，没有意义，其余各式均有意义．

答案：C

3．若x3＝－5，则x＝__________.

解析：若x3＝－5，则x＝＝－.

答案：－

授课提示：对应学生用书第34页

探究一　根式的概念

[例1]　(1)16的平方根为__________，－27的5次方根为__________．

(2)已知x7＝6，则x＝__________.

(3)若有意义，则实数x的取值范围是__________．

[解析]　(1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为.

(2)∵x7＝6，∴x＝.

(3)要使有意义，则需x－2≥0，即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．

[答案]　(1)±4　　(2)　(3)[2，＋∞)

方法技巧　判断关于n次方根的结论应关注两点

(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；

(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．

跟踪探究　1.下列说法正确的个数是(　　)

①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义

A．1　　　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

解析：①16的4次方根应是±2；②＝2，所以正确的应为③④.

答案：B

2．已知m10＝2，则m等于(　　)

A.  B．－

C.  D．±

解析：∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，

∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±.

答案：D

探究二　利用根式的性质化简和求值

　[阅读教材P50例1]求下列各式的值：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)(a＞b)．

题型：根式求值

[例2]　化简：(1) (x<π，n∈N*)；

(2) .

[解析]　(1)∵x<π，∴x－π<0，

当n为偶数时， ＝|x－π|＝π－x；

当n为奇数时， ＝x－π.

综上， ＝

(2)∵a≤，

∴1－2a≥0.

∴ ＝＝|2a－1|＝1－2a.

方法技巧　根式化简求值解题思路

解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行解答．

跟踪探究　3.计算下列各式的值．

(1) ；(2) ；(3) ；

(4)()3.

解析：(1)∵3是奇数，∴＝－2；

(2)∵4是偶数，∴ ＝|－2|＝2，

(3)∵6是偶数，∴ ＝|3－π|＝π－3，

(4)()3＝－2.

探究三　有限制条件的根式的运算

[例3]　若－3<x<3，求－的值.

[解析]　－

＝－＝|x－1|－|x＋3|，

当－3<x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.

当1<x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.

因此，原式＝

延伸探究　将本例的条件“－3<x<3”改为“x≤－3”，则结果又是什么？

解析：原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.因为x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0，所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.

方法技巧　带条件根式的化简

(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．

(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．

授课提示：对应学生用书第35页

[课后小结]

1.＝

2．()n＝a，其不受n的限制，a的取值范围视n的奇偶而定．

[素养培优]

　忽略n的范围导致式子 (a∈R)化简出错

　化简 ＋ ＝__________.

易错分析：本题易忽视>0，而误认为＝1－而导致解题错误．

自我纠正：＋＝(1＋)＋|1－|＝1＋＋－1＝2.

答案：2