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2021学年1.1.3集合的基本运算第1课时学案
展开1.1.3 集合的基本运算
第1课时 并集与交集
内 容 标 准 | 学 科 素 养 |
1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集和交集. 2.能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. | 提升数学运算 发展逻辑推理 应用直观想象 |
授课提示:对应学生用书第9页
[基础认识]
知识点一 并集
已知下列集合:A={x|x2-1=0},B={x∈N|1≤x≤4},C={-1,1,2,3,4}.
(1)集合A与集合B各有几个元素?
提示:A={-1,1},B={1,2,3,4},即集合A有2个元素,集合B有4个元素.
(2)若将集合A与集合B的元素放在一起,构成一个新的集合是什么?
提示:{-1,1,2,3,4}.
(3)集合C中的元素与集合A,B有什么关系?
提示:集合C中元素属于集合A或属于集合B.
知识梳理 1.并集的定义与表示
文字语言 | 一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”) |
符号语言 | A∪B={x|x∈A,或x∈B} |
图形语言 |
2.并集的性质
(1)A∪B=B∪A,即两个集合的并集满足交换律.
(2)A∪A=A,即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身.
(3)A∪∅=∅∪A=A,即任何集合与空集的并集等于这个集合本身.
(4)A⊆(A∪B),B⊆(A∪B),即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集.
(5)若A⊆B,则A∪B=B,反之也成立,即任何集合同它的子集的并集,等于这个集合本身.
知识点二 交集
已知A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={3,4}.
(1)集合A与集合B有公共元素吗?它们组成的集合是什么?
提示:有.{3,4}.
(2)集合C中的元素与集合A,B有什么关系?
提示:集合C中的元素既属于集合A又属于集合B.
知识梳理 1.交集的定义与表示
文字语言 | 一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”) |
符号语言 | A∩B={x|x∈A,且x∈B} |
图形语言 |
2.交集的性质
(1)A∩B=B∩A,即两个集合的交集满足交换律.
(2)A∩A=A,即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身.
(3)A∩∅=∅∩A=∅,即任何集合与空集的交集等于空集.
(4)A∩B⊆A,A∩B⊆B,即两个集合的交集是其中任一集合的子集.
(5)若A⊆B,则A∩B=A,反之也成立,即若A是B的子集,则A,B的公共部分是A.
[自我检测]
1.已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=( )
A.{0,1} B.{-1,0,2}
C.{-1,0,1,2} D.{-1,0,1}
解析:M∪N={-1,0,1}∪{0,1,2}={-1,0,1,2}.
答案:C
2.已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B=( )
A.∅ B.{2}
C.{0} D.{-2}
解析:∵B={x|x2-x-2=0}={-1,2},又A={-2,0,2},
∴A∩B={2}.
答案:B
3.设集合M={x|x>1},集合N={x|x<2},则M∪N=__________,M∩N=__________.
解析:由数轴
得M∪N=R,M∩N={x|1<x<2}.
答案:R {x|1<x<2}
授课提示:对应学生用书第10页
探究一 并集的运算
[阅读教材P8思考]设集合A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求A∪B.
题型:并集
[例1] (1)已知集合A={1,3,5},集合B={2,4,6},那么A∪B=__________.
(2)已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5,或x>4},则M∪N等于( )
A.{x|x<-5,或x>-3} B.{x|-5<x<4}
C.{x|-3<x<4} D.{x|x<-3,或x>5}
[解析] (1)由并集的概念可知A∪B={1,2,3,4,5,6};
(2)借助数轴(如图)
∴M∪N={x|x<-5,或x>-3}.
[答案] (1){1,2,3,4,5,6} (2)A
方法技巧 并集的运算技巧:
(1)若集合中元素个数有限,则直接根据并集的定义求解,但要注意集合中元素的互异性.
(2)若集合中元素个数无限,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但是要注意含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.
跟踪探究 1.已知集合P={x|x<3},Q={x|-1≤x≤4},那么P∪Q=( )
A.{x|-1≤x<3} B.{x|-1≤x≤4}
C.{x|x≤4} D.{x|x≥-1}
解析:在数轴上表示两个集合,如图:
答案:C
探究二 交集
[阅读教材P12习题1.1A组6题]设集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},求A∪B,A∩B.
题型:并集、交集的运算
[例2] (1)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于( )
A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2}
C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4}
(2)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( )
A.5 B.4
C.3 D.2
解析:(1)∵A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4}.
如图,
故A∩B={x|0≤x≤2}.
(2)∵8=3×2+2,14=3×4+2,
∴8∈A,14∈A,
∴A∩B={8,14},故选D.
答案:(1)A (2)D
方法技巧 求交集运算应关注两点
(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合.
(2)利用集合的并、交求参数的值时,要检验集合元素的互异性.
跟踪探究 2.已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )
A.{0,2} B.{1,2}
C.{0} D.{-2,-1,0,1,2}
解析:由题意知A∩B={0,2}.
答案:A
3.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若A∩B≠∅,则a的取值范围是( )
A.-1<a≤2 B.a>2
C.a≥-1 D.a>-1
解析:因为A∩B≠∅,所以集合A,B有公共元素,在数轴上表示出两个集合,如图所示:
易知a>-1.
答案:D
探究三 并集、交集性质的应用
[例3] 已知集合A={x|-3<x≤4},集合B={x|k+1≤x≤2k-1},且A∪B=A,试求k的取值范围.
[解析] (1)当B=∅,即k+1>2k-1时,k<2,满足A∪B=A.
(2)当B≠∅时,要使A∪B=A,
只需解得2≤k≤.
综合(1)(2)可知k≤.
延伸探究 1.把本例条件“A∪B=A”改为“A∩B=A”,试求k的取值范围.
解析:由A∩B=A可知A⊆B.
所以,即所以k∈∅.
所以k的取值范围为∅.
2.把本例条件“A∪B=A”改为“A∪B={x|-3<x≤5}”,求k的值.
解析:由题意可知,解得k=3.
所以k的值为3.
方法技巧 1.此类问题常借助数轴解决,首先根据集合间的关系画出数轴,然后根据数轴列出关于参数的不等式(组),求解即可,特别要注意端点值的取舍.
2.当集合的元素离散时,常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解,但求解后要代入检验是否符合题意.
跟踪探究 4.A={x|x≤-1,或x≥3},B={x|a<x<4},若A∪B=R,则实数a的取值范围是( )
A.3≤a<4 B.-1<a<4
C.a≤-1 D.a<-1
解析:利用数轴,若A∪B=R,则a≤-1.
答案:C
5.若集合A={x|-3≤x≤5},B={x|2m-1≤x≤2m+9},A∪B=B,则m的取值范围是__________.
解析:∵A∪B=B,∴A⊆B,如图所示,
∴解得-2≤m≤-1.
答案:-2≤m≤-1
授课提示:对应学生用书第11页
[课后小结]
1.在解决有关集合运算的题目时,关键是准确理解题目中符号语言的含义,善于将其转化为文字语言.
2.集合的运算可以用Venn图帮助思考,实数集合的交集、并集运算可借助数轴求解,体现了数形结合思想的应用.
3.对于给出集合是否为空集,集合中的元素个数是否确定,都是常见的讨论点,解题时要注意分类讨论思想的应用.
[素养培优]
转化思想在集合运算中的应用
已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},且A∪B=A,求实数a组成的集合C.
解析:由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,
∴A={1,2}.
又A∪B=A,∴B⊆A.
①若B=∅,即方程ax-2=0无解,此时a=0.
②若B≠∅,则B={1}或B={2}.
当B={1}时,有a-2=0,即a=2;
当B={2}时,有2a-2=0,即a=1.
综上可知,适合题意的实数a所组成的集合C={0,1,2}.
2020-2021学年第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合1.1.3 集合的基本运算第1课时学案设计: 这是一份2020-2021学年第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合1.1.3 集合的基本运算第1课时学案设计,共12页。学案主要包含了交集的概念及应用,并集的概念及应用,交集等内容,欢迎下载使用。
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