人教版新课标A必修11.3.1单调性与最大(小)值第1课时导学案

1．3　函数的基本性质

1．3.1　单调性与最大(小)值

第1课时　函数的单调性

授课提示：对应学生用书第21页

[基础认识]

知识点　函数的单调性

　观察下列函数图象：

(1)从图象上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？

提示：甲图中，函数f(x)的值随x增大而增大．

乙图中，函数f(x)的值随x增大而减小．丙图中，在y轴左侧函数f(x)的值随x的增大而减小；在y轴右侧，函数f(x)的值随x的增大而增大．

(2)甲、乙图中，若x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系确定吗？在丙图中，大小能确定吗？

提示：确定．不能确定．

(3)在丙图中，若x1＜x2，f(x1)＜f(x2)，则自变量x属于哪个区间？

提示：[0，＋∞)

(4) 在函数y＝的图象中，在(－∞，0)上函数是减小的，在(0，＋∞)上函数也是减小的，函数在它的定义域上是减小的吗？

提示：不是．　　　

　知识梳理　1.定义域为I的函数f(x)的增减性

2．函数单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫作y＝f(x)的单调区间．

思考：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？

提示：定义中的x1，x2有以下3个特征

(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；

(2)有大小，通常规定x1<x2；

(3)属于同一个单调区间．

[自我检测]

1．函数f(x)的图象如图所示，则(　　)

A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数

B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数

C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数

D．函数f(x)在[2,4]上是增函数

解析：在区间[－1,2]上，函数f(x)的图象由左至右“上升”，即在区间[－1,2]上，f(x)随着x的增大而增大，∴为增函数．

答案：A

2．函数y＝－x2的单调减区间是(　　)

A．[0，＋∞)　　　　　 B．(－∞，0]

C．(－∞，0)  D．(－∞，＋∞)

解析：画出y＝－x2在R上的图象，可知函数在[0，＋∞)上递减．

答案：A

3．若函数f(x)在R上是减函数，且f(a)＞f(b)，则a与b的大小关系是__________．

解析：由减函数的定义知a＜b.

答案：a＜b

授课提示：对应学生用书第22页

探究一　利用图象确定函数的单调区间

　[阅读教材P29例1]如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

题型：由图象确定单调性

[例1]　作出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象并指出它的单调区间．

[解析]　根据绝对值的意义，y＝－x2＋2|x|＋3

＝＝

作出函数图象如图所示，

根据图象可知，函数在区间(－∞，－1]，[0,1]上是增函数；函数在区间(－1,0)，(1，＋∞)上是减函数．

方法技巧　由图象确定函数单调性的方法及注意事项

(1)图象从左向右上升，则函数递增；图象从左向右下降，则函数递减．

(2)单调区间必须是函数定义域的子集，单调区间之间不能用“∪”，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接．

跟踪探究　1.求f(x)＝|x2＋2x－3|的单调区间．

解析：令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.

先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．

由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．

探究二　函数单调性的判定与证明

　[阅读教材P29例2]物理学中的玻意耳定律p＝(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试用函数的单调性证明之．

题型：证明函数单调性

方法步骤：

第1步，取值；

第2步，作差；

第3步，定号；

第4步，结论．

[例2]　证明函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．

[证明]　任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－

＝(x1－x2)＋

＝(x1－x2).

∵2<x1<x2，

∴x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0，

∴f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)<f(x2)．

∴函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．

方法技巧　定义法证明或判断函数单调性的四个步骤

跟踪探究　2.证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数.

证明：设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－

＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋

＝(x1－x2)

＝

∵0<x1<x2<1，

∴x1－x2<0,0<x1x2<1，则－1＋x1x2<0，

>0，即f(x1)>f(x2)，

∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．

探究三　函数单调性的应用

[例3]　已知函数f(x)＝x2＋ax＋b.

(1)若函数f(x)的图象过点(1,4)和(2,5)，求f(x)的解析式．

(2)若函数f(x)在区间[1,2]上不单调，求实数a的取值范围.

[解析]　(1)∵f(x)＝x2＋ax＋b过点(1,4)和(2,5)，

∴

解得

∴f(x)＝x2－2x＋5.

(2)由f(x)在区间[1,2]上不单调可知1<－<2，即－4<a<－2.

延伸探究　1.把本例(2)条件“不单调”改为“单调”，求实数a的取值范围．

解析：由f(x)在区间[1,2]上单调可知－≤1或－≥2，即a≤－4或a≥－2.

2．若把本例改为“函数g(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且g(2x－3)>g(5x＋6)”，求实数x的取值范围．

解析：∵g(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且g(2x－3)>g(5x＋6)，

∴2x－3>5x＋6，即x<－3.

所以实数x的取值范围为(－∞，－3)．

方法技巧　函数单调性的应用

(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．

(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．

授课提示：对应学生用书第23页

[课后小结]

1．证明函数的单调性时要注意以下几点

(1)用定义证明函数单调性时，易忽视x1，x2的任意性．

(2)要证明f(x)在[a，b]上不是单调函数，只要举出一个反例即可．

(3)函数单调性的证明现在只能用定义证明．

2．判断函数的单调性可用定义法、直接法、图象法．

3．已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识：如f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2.二是数形结合意识：如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题．

[素养培优]

1．忽视函数定义域致误

已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(2a－1)，则实数a的取值范围是__________．

易错分析： 解答本题易忽视函数的定义域对1－a和2a－1取值范围的限制，导致扩大实数a的取值范围致误．

自我纠正：由题意可知

解得0＜a＜1.①

又f(x)在(－1,1)上是减函数，

且f(1－a)＜f(2a－1)，∴1－a＞2a－1，即a＜.②

由①②可知，0＜a＜，

即所求a的取值范围是0＜a＜.

答案：0＜a＜

2．对“单调区间”和“在区间上单调”两个概念理解错误而致误

若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，求实数a的取值范围．

易错分析：函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a≥4，解得a≤－3.

自我纠正：函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a.

因为函数的单调递减区间是(－∞，4]，

所以1－a＝4，

解得a＝－3.

故实数a的取值范围是{－3}．