高中数学人教版新课标A必修13.1.2用二分法求方程的近似解导学案

3．1.2　用二分法求方程的近似解

授课提示：对应学生用书第60页

[基础认识]

知识点　二分法

　模拟一档电视节目“幸运52”，现有一款华为手机，目前知道它的价格在2 000～3 000元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过20元)

学生自由发言，每猜一个价格，教师指出是高了还是低了，然后由学生继续猜下去，猜价格方案：①随机；②每次增加20元；③每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？

(1)已知函数f(x)＝x2－5，f(x)在区间[2,3]内有零点吗？

提示：有，因为f(2)·f(3)＜0.

(2)如果取区间(2,3)的中点2.5，能否判断零点在区间(2.5,3)内还是在区间(2,2.5)内？

提示：能．由f(2)＝－1＜0，f(2.5)＝1.25＞0知零点在(2,2.5)内．

(3)能不能进一步把零点所在的区间缩小？

提示：能．取(2,2.5)的中点2.25，计算知f(2.25)＝0.062 5＞0，而f(2)＝－1＜0，知零点在(2,2.25)内．　　　

　知识梳理　1.二分法的定义

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

2．二分法求函数零点近似值的步骤

思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？

提示：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．

[自我检测]

1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为(　　)

A．4,4　　　　　　　　 B．3,4

C．5,4  D．4,3

解析：由图象知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)·f(b)<0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．

答案：D

2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间为(　　)

A．[－2,1]  B．[－1,0]

C．[0,1]  D．[1,2]

解析：由f(－2)·f(1)<0知初始区间可以取[－2,1]．

答案：A

授课提示：对应学生用书第61页

探究一　二分法的概念

[例1]　下面关于二分法的叙述，正确的是(　　)

A．用二分法可求所有函数零点的近似值

B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位

C．二分法无规律可循

D．只有在求函数零点时才用二分法

[解析]　只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号时，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错．

[答案]　B

方法技巧　运用二分法求函数的零点应具备的条件

(1)函数图象在零点附近连续不断．

(2)在该零点左右函数值异号．

只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．

跟踪探究　1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A．x1　　　　　　　　　 B．x2

C．x3  D．x4

解析：由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间[a，b]，使得f(a)·f(b)<0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3∈[a，b]时均有f(a)·f(b)≥0，故不可以用二分法求该零点．

答案：C

探究二　用二分法求函数零点的近似值

　[阅读教材P90例2]借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解(精确度0.1)．

题型：求方程的近似解

方法步骤：

第1步，构造函数；

第2步，用二分法求零点所在区间；

第3步，由精确度确定近似解．

[例2]　求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度0.01).

[解析]　确定一个包含负数零点的区间(m，n)，

且f(m)·f(n)<0.因为f(－1)>0，f(－2)<0，

所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，

当然选取在较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下：

由于|－1.929 687 5＋1.937 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数的一个负零点近似值可取为－1.929 687 5.

延伸探究　1.求本例函数f(x)在区间[－2，－1]上精确度为0.1的一个零点近似值．

解析：因为f(－1)>0，f(－2)<0，且函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的图象是连续的曲线，根据函数零点的存在性定理可知，它在区间[－2，－1]内有零点，用二分法逐步计算，列表如下：

由于|－1.875＋1.937 5|＝0.062 5<0.1，所以函数在区间[－2，－1]内的一个近似零点可取为－1.937 5.

2．若将例题中函数改为“f(x)＝x3＋2x2－3x－6”，如何求该函数的正数零点？(精确度0.1)

解析：确定一个包含正数零点的区间(m，n)，

且f(m)·f(n)<0.

因为f(0)＝－6<0，f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，

所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间，

用二分法逐步计算，列表如下：

由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1.所以函数的正数零点的近似值可取为1.687 5.

方法技巧　利用二分法求方程的近似解的步骤

(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z；

(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M；

(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点.

授课提示：对应学生用书第61页

[课后小结]

1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．

2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：

(1)在区间[a，b]上连续不断；

(2)f(a)·f(b)<0.

上述两个条件的函数方程可采用二分法求得零点的近似值．

3．确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．

[素养培优]

　对精确度理解不准确致误

用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解(精确度0.1)．

易错分析：解答本题的易错点是对“精确度0.1”理解不正确，忽视区间长度与精确度的比较，无法确定零点最终所在区间导致错误．

自我纠正：令f(x)＝x2－5.

因为f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0，

所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0.

取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，

因为f(2.2)·f(2.3)＜0，

所以x0∈(2.2,2.3)．

再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，

因为f(2.2)·f(2.25)＜0，

所以x0∈(2.2,2.25)．

由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，

因此原方程的近似正解可取为2.25.