数学选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.3 离散型随机变量的数字特征精练

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1．(多选题)下列说法中，不正确的是( )
A．离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的概率平均值
B．离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的平均水平
C．离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的平均水平
D．离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的概率平均值
2．已知随机变量X满足E(1－X)＝5，D(1－X)＝5，下列说法正确的是( )
A．E(X)＝－5，D(X)＝5
B．E(X)＝－4，D(X)＝－4
C．E(X)＝－5，D(X)＝－5
D．E(X)＝－4，D(X)＝5
3．已知X的分布列为
则D(X)等于( )
A．0.7B．0.61
C．－0.3D．0
4．随机变量X的分布列如下：
若E(X)＝eq \f(15,8)，则D(X)等于( )
A．eq \f(7,32)B．eq \f(9,32)
C．eq \f(33,64)D．eq \f(55,64)
5．已知随机变量ξ的概率分别为P(ξ＝k)＝eq \f(1,3)，k＝1，2，3，则D(2ξ＋3)＝( )
A．eq \f(2,3)B．eq \f(4,3)
C．2D．eq \f(8,3)
6．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝eq \f(2,3)，P(X＝x2)＝eq \f(1,3)，且x1A．3B．eq \f(5,3)
C．eq \f(7,3)D．eq \f(11,3)
7．已知随机变量ξ的分布列如下表：
则ξ的均值为________，方差为________．
8．已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x>0，y>0，随机变量ξ的方差D(ξ)＝eq \f(1,2)，则x＋y＝________．
9.已知X的分布列如下：
(1)求X2的分布列；
(2)计算X的方差；
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
10．袋中有大小相同的小球6个，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，取1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的得分之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差．
[提能力]
11．已知随机变量ξ的均值为E(ξ)，方差为D(ξ)，随机变量η＝eq \f(ξ－E（ξ）,\r(D（ξ）))，则D(η)的值为( )
A．0B．－1
C．1D．eq \r(D（ξ）)
12．A，B两台机床同时加工零件，当生产一批数量较大的产品时，两台机床出次品的概率分别如下表：
A机床
B机床
两台机床的价格相差不大，若工厂派你去选购机床，你会选购( )
A．A机床B．B机床
C．都一样D．不确定
13．已知随机变量X的分布列如下：
且E(X)＝1.1，则D(X)＝________．
14．设0则当p变化时，D(ξ)的最大值是________．
15．最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三种方案：
第一种方案，李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票．据分析预测，投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利的概率为eq \f(1,2).
第二种方案，李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金．据分析预测，投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为eq \f(3,5)，eq \f(1,5)，eq \f(1,5).
第三种方案，李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为4%.
针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由．
[战疑难]
16．已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0A．E(ξ1)B．E(ξ1)D(ξ2)
C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
课时作业(十)
1．解析：离散型随机变量X的均值反映了X取值的平均水平，方差反映了X取值的稳定程度，故C正确．
答案：ABD
2．解析：已知E(1－X)＝5，D(1－X)＝5，根据均值和方差的性质可得1－E(X)＝5，D(X)＝5，解得E(X)＝－4，D(X)＝5.故选D.
答案：D
3．解析：E(X)＝(－1)×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.故选B.
答案：B
4．解析：由题意得，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1×\f(1,2)＋2x＋3y＝\f(15,8)，,\f(1,2)＋x＋y＝1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,8)，,y＝\f(3,8)．))
所以D(X)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(15,8))) eq \s\up12(2) × eq \f(1,2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(15,8))) eq \s\up12(2) × eq \f(1,8) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(15,8))) eq \s\up12(2) × eq \f(3,8) ＝ eq \f(55,64) .故选D.
答案：D
5．解析：由随机变量ξ的分布列，可得E(ξ)＝(1＋2＋3)× eq \f(1,3) ＝2，
E(ξ2)＝(12＋22＋32)× eq \f(1,3) ＝ eq \f(14,3) ，
∴D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2＝ eq \f(14,3) －22＝ eq \f(2,3) ，则D(2ξ＋3)＝4D(ξ)＝ eq \f(8,3) .故选D.
答案：D
6．解析：由题知 eq \f(2,3) x1＋ eq \f(1,3) x2＝ eq \f(4,3) ，
又D(X)＝(x1－E(x))2p1＋(x2－E(X))2p2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(4,3))) eq \s\up12(2) × eq \f(2,3) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(4,3))) eq \s\up12(2) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(2,9) ，两式联立可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝\f(5,3)，,x2＝\f(2,3))) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝1，,x2＝2，)) 又x1答案：A
7．解析：均值E(ξ)＝(－1)× eq \f(1,2) ＋0× eq \f(1,3) ＋1× eq \f(1,6) ＝－ eq \f(1,3) ；
方差D(ξ)＝(－1－E(ξ))2× eq \f(1,2) ＋(0－E(ξ))2× eq \f(1,3) ＋(1－E(ξ))2× eq \f(1,6) ＝ eq \f(5,9) .
答案：－ eq \f(1,3) eq \f(5,9)
8．解析：由题意可得，2x＋y＝1，即y＝1－2x，
所以E(ξ)＝x＋2y＋3x＝4x＋2y＝4x＋2(1－2x)＝2，
所以D(ξ)＝(1－2)2x＋(2－2)2(1－2x)＋(3－2)2x＝2x.
因为D(ξ)＝ eq \f(1,2) ，所以2x＝ eq \f(1,2) ，解得x＝ eq \f(1,4) ，所以y＝1－2× eq \f(1,4) ＝ eq \f(1,2) ，
所以x＋y＝ eq \f(1,4) ＋ eq \f(1,2) ＝ eq \f(3,4) .
答案： eq \f(3,4)
9．解析：(1)由分布列的性质，知 eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,4) ＋a＝1，故a＝ eq \f(1,4) ，
从而X2的分布列为
(2)方法一 由(1)知a＝ eq \f(1,4) ，
所以E(X)＝(－1)× eq \f(1,2) ＋0× eq \f(1,4) ＋1× eq \f(1,4) ＝－ eq \f(1,4) .
故D(X)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(1,4))) eq \s\up12(2) × eq \f(1,2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＋\f(1,4))) eq \s\up12(2) × eq \f(1,4) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4))) eq \s\up12(2) × eq \f(1,4) ＝ eq \f(11,16) .
方法二 由(1)知a＝ eq \f(1,4) ，所以E(X)＝(－1)× eq \f(1,2) ＋0× eq \f(1,4) ＋1× eq \f(1,4) ＝－ eq \f(1,4) ，
E(X2)＝0× eq \f(1,4) ＋1× eq \f(3,4) ＝ eq \f(3,4) ，
所以D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝ eq \f(11,16) .
(3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.
10．解析：由题意可知，X的所有可能的取值为5，4，3.
P(X＝5)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ) ＝ eq \f(1,5) ，
P(X＝4)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ) ＝ eq \f(3,5) ，
P(X＝3)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ) ＝ eq \f(1,5) ，
故X的分布列为
E(X)＝5× eq \f(1,5) ＋4× eq \f(3,5) ＋3× eq \f(1,5) ＝4，
D(X)＝(5－4)2× eq \f(1,5) ＋(4－4)2× eq \f(3,5) ＋(3－4)2× eq \f(1,5) ＝ eq \f(2,5) .
11．解析：E(ξ)与D(ξ)均为常数，不妨设E(ξ)＝a， eq \r(D（ξ）) ＝b，
则η＝ eq \f(ξ－E（ξ）,\r(D（ξ）)) ＝ eq \f(1,b) ξ－ eq \f(a,b) .
所以D(η)＝D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)ξ－\f(a,b))) ＝ eq \f(1,b2) D(ξ)＝1.故选C.
答案：C
12．解析：由题意可得，E(ξ1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44，
E(ξ2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.1＝0.44，
D(ξ1)＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44)2×0.2＋(2－0.44)2×0.06＋(3－0.44)2×0.04＝0.606 4，
D(ξ2)＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44)2×0.06＋(2－0.44)2×0.04＋(3－0.44)2×0.1＝0.926 4.
因为E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)所以选购A机床．故选A.
答案：A
13．解析：由 eq \f(1,5) ＋n＋ eq \f(3,10) ＝1，得n＝ eq \f(1,2) ，
由E(X)＝0× eq \f(1,5) ＋1× eq \f(1,2) ＋m× eq \f(3,10) ＝1.1，得m＝2，
所以D(X)＝(0－1.1)2× eq \f(1,5) ＋(1－1.1)2× eq \f(1,2) ＋(2－1.1)2× eq \f(3,10) ＝0.49.
答案：0.49
14．解析：因为E(ξ)＝0× eq \f(p,2) ＋1× eq \f(1,2) ＋2× eq \f(1－p,2) ＝ eq \f(3－2p,2) ，
所以D(ξ)＝ eq \f(p,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(3－2p,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3－2p,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(1－p,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(3－2p,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(1,4) [2－(2p－1)2]≤ eq \f(1,2) ，当且仅当p＝ eq \f(1,2) 时取等号，因此D(ξ)的最大值是 eq \f(1,2) .
答案： eq \f(1,2)
15．解析：若按方案一执行，设收益为ξ万元，则其分布列为
所以E(ξ)＝4× eq \f(1,2) ＋(－2)× eq \f(1,2) ＝1(万元).
若按方案二执行，设收益为η万元，则其分布列为
所以E(η)＝2× eq \f(3,5) ＋0× eq \f(1,5) ＋(－1)× eq \f(1,5) ＝1(万元).
若按方案三执行，收益y＝10×4%＝0.4(万元).
因为E(ξ)＝E(η)>y，所以应从方案一、方案二中选择一种投资方式．
D(ξ)＝(4－1)2× eq \f(1,2) ＋(－2－1)2× eq \f(1,2) ＝9，
D(η)＝(2－1)2× eq \f(3,5) ＋(0－1)2× eq \f(1,5) ＋(－1－1)2× eq \f(1,5) ＝ eq \f(8,5) .
易知D(ξ)>D(η).这说明虽然方案一、方案二收益均值相等，但方案二更稳定，所以建议李师傅家选择第二种投资方案．
16．解析：方法一 E(ξ1)＝0×(1－p1)＋1×p1＝p1，
同理，E(ξ2)＝p2，∵0D(ξ1)＝(0－p1)2(1－p1)＋(1－p1)2·p1＝p1－p eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ，
同理，D(ξ2)＝p2－p eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) .
D(ξ1)－D(ξ2)＝p1－p2－(p eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －p eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )＝(p1－p2)(1－p1－p2).
∵00，∴(p1－p2)(1－p1－p2)<0，∴D(ξ1)方法二 E(ξ1)＝0×(1－p1)＋1×p1＝p1，同理，E(ξ2)＝p2，∵0令f(x)＝x－x2，则f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) 上为增函数，∵0答案：AX
－1
0
1
P
0.5
0.3
0.2
X
1
2
3
P
eq \f(1,2)
x
y
ξ
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
ξ
1
2
3
P
x
y
x
X
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,4)
a
次品数ξ1
0
1
2
3
概率P
0.7
0.2
0.06
0.04
次品数ξ2
0
1
2
3
概率P
0.8
0.06
0.04
0.1
X
0
1
m
P
eq \f(1,5)
n
eq \f(3,10)
ξ
0
1
2
P
eq \f(p,2)
eq \f(1,2)
eq \f(1－p,2)
X2
0
1
P
eq \f(1,4)
eq \f(3,4)
X
5
4
3
P
eq \f(1,5)
eq \f(3,5)
eq \f(1,5)
ξ
4
－2
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
η
2
0
－1
P
eq \f(3,5)
eq \f(1,5)
eq \f(1,5)