人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.3 基本初等函数的导数导学案

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6．1.3　基本初等函数的导数最新课程标准    1.会用导数的定义求函数的导数．    2．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．(难点)3．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)[教材要点]知识点一　函数的导数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x________的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个________．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为____________．知识点二　几个常用函数的导数 原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝________f(x)＝xf′(x)＝________f(x)＝x2f′(x)＝________f(x)＝f′(x)＝________f(x)＝f′(x)＝ 知识点三　基本初等函数的导数公式 原函数导函数y＝cy′＝________y＝xn(n∈N＋)y′＝________，n为正整数y＝xμ(x＞0，μ≠0且μ∈Q)y′＝________，μ为有理数y＝ax(a＞0，a≠1)y′＝________y＝exy′＝________y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)y′＝________y＝ln xy′＝________y＝sin xy′＝________y＝cos xy′＝________[基础自测]1．给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②若y＝，则y′＝；③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中正确的个数是(　　)A．1  B．2C．3  D．02．给出下列命题：①y＝ln 2，则y′＝；②y＝，则y′＝－；③y＝2x，则y′＝2xln 2；④y＝log2x，则y′＝.其中正确命题的个数为(　　)A．1  B．2C．3  D．43．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于(　　)A.　  B．10C．10ln 10　　  D.4．已知f(x)＝xα(α∈Q＋)，若f′(1)＝，则α等于(　　)A.  B.C.  D.  题型一　利用导数公式求函数的导数例1　求下列函数的导数：(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.      　首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式． 方法归纳1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别． 跟踪训练1　若f(x)＝x3，g(x)＝log3x, 则f′(x)－g′(x)＝________.题型二　利用公式求函数在某点处的导数例2　质点的运动方程是s＝sin t，求质点在t＝时的速度．        　先求s ′(t)，再求s ′. 方法归纳1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值． 跟踪训练2　(1)求函数f(x)＝在(1,1)处的导数；(2)求函数f(x)＝cos x在处的导数．         题型三　求曲线过某点的切线方程　1．若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？[提示]　根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f ′(x0)·(x －x0)．2．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？[提示]　不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．3．函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？[提示]　区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f ′(x)在x ＝x0时的函数值． 例3　已知曲线f(x)＝.(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；(2)求满足斜率为－的曲线的切线方程．            　(1)点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A(1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．(2)设出切点坐标，由该点斜率为－，求出切点，进而求出切线方程．方法归纳1．求曲线过已知点的切线方程的步骤2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程． 跟踪训练3　试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．       题型四　导数公式的应用　点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．[提示]　如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y ′＝(ex) ′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为. 例4　(1)已知函数y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝________.(2)求过曲线f(x)＝cos x上一点P且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．          　→→→  方法归纳求曲线方程或切线方程时，应注意：1．切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；2．曲线在切点处的导数就是切线的斜率；3．必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点． 跟综训练4　已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________．6．1.3　基本初等函数的导数新知初探·自主学习知识点一都是可导　确定的导数f′(x)　f′(x)或y′(或y′x)知识点二0　1　2x　－　知识点三0　nxn－1　μxμ－1　axln a　ex　　　cos x　－sin x[基础自测]1．解析：对于①，y′＝(x－3)′＝，正确；对于②，y′＝x＝x，不正确；对于③，f′(x)＝3，故f′(1)＝3，正确．答案：B2．解析：对于①，y′＝0，故①错；显然②③④正确，故选C.答案：C3．解析：∵f′(x)＝10xln 10，∴f′(1)＝10ln 10.答案：C4．解析：∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝.答案：D课堂探究·素养提升例1　解析：(1)y′＝(x12)′＝12x11.(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.(3)y′＝()′＝′＝x.(4)y′＝(3x)′＝3xln 3.(5)y′＝(log5x)′＝.跟踪训练1　解析：∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝，∴f′(x)－g′(x)＝3x2－.答案：3x2－例2　解析：v(t)＝s′(t)＝cos t，∴v＝cos＝.即质点在t＝时的速度为.跟踪训练2　解析：(1)∵f′(x)＝′＝′＝－＝－，∴f′(1)＝－＝－.(2)∵f′(x)＝－sin x，∴f′＝－sin ＝－.例3　解析：(1)f′(x)＝－.设过点A(1,0)的切线的切点为P，①则f′(x0)＝－，即该切线的斜率为k＝－.因为点A(1,0)，P在切线上，所以＝－，②解得x0＝.故切线的斜率k＝－4.故曲线过点A(1,0)的切线方程为y＝－4(x－1)，即4x＋y－4＝0.(2)设斜率为－的切线的切点为Q，由(1)知，k＝f′(a)＝－＝－，得a＝±.所以切点坐标为或.故满足斜率为－的曲线的切线方程为y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)，即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.跟踪训练3　解析：y′＝2x.设所求切线的切点为A(x0，y0)．∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝x，又∵A是切点，∴过点A的切线的斜率k＝2x0，∵所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，∴其斜率为＝.∴2x0＝，解得x0＝1或x0＝5.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25.例4　解析：(1)设切点为(x0，y0)，∵y′＝，∴k＝，∴y＝·x，又点(x0，y0)在曲线y＝ln x上，∴y0＝ln x0，∴ln x0＝，∴x0＝e，∴k＝.(2)因为f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x，则曲线f(x)＝cos x在点P的切线斜率为f′＝－sin＝－，所以所求直线的斜率为，所求直线方程为y－＝，即y＝x－π＋.答案：(1)　(2)见解析跟踪训练4　解析：设切点为(x0，y0)．因为y′＝3xln 3，①所以k＝3x0ln 3，所以y＝3x0ln 3·x，又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以3x0ln 3·x0＝3x0，②所以x0＝＝log3 e.所以k＝eln 3.答案：eln 3