选择性必修 第三册6.2.2 导数与函数的极值、最值学案

第2课时　函数的导数与最值　

必备知识·素养奠基

1.函数y=f(x)在闭区间[a,b]上取得最值的条件

如果在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.

(1)在闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x)有极值一定有最值,反之成立吗?

提示:反之不成立,在闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x)有极值一定有最值,但有最值不一定有极值.

(2)函数的极值与最值有什么区别?

提示:①函数的极值是函数在某一点附近的局部概念,函数的最值是函数在给定区间的整体概念.②函数极值只能在区间内部取得,函数最值可能在区间端点取得.

2.求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤

(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;

(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

函数的最值一定在区间端点处取得吗?

提示:不一定,当函数y=f(x)在闭区间[a,b]上是单调函数时,函数最值在区间端点取得,否则,函数最值不一定在区间端点取得.

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值. (　　)

(2)闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值. (　　)

(3)若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值. (　　)

(4)若函数在给定区间上有最值,则有且仅有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极值.               (　　)

提示:(1)×.函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值不一定是最大值,极小值不一定是最小值.

(2)×.闭区间上的连续的单调函数只有最值,没有极值.

(3)×.

(4)√.若函数在给定区间上有最值,则有且仅有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极值.

2.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是 (　　)

A.5,15  B.5,-4  C.5,-16  D.5,-15

【解析】选D.由y=2x3-3x2-12x+5得y′=6x2-6x-12,

令y′=0得x=-1(舍去)或x=2.

故函数y=f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值,而f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,故最大值为5,最小值为-15.

3.已知函数f(x)=sin x-2x-a,若f(x)在[0,π]上的最大值为-1,则实数a的值是______. 

【解析】由f(x)=sin x-2x-a,得f′(x)=cos x-2<0,

所以函数f(x)在[0,π]上单调递减,

所以f(x)的最大值是f(0)=-a=-1,

故a=1.

答案:1

关键能力·素养形成

类型一　求函数的最值

【典例】(2020·阳泉高二检测)当x∈[-1,1]时,函数f(x)=的最大值是________. 

【思维·引】求导,求极值,求区间端点的函数值,通过比较求函数的最值.

【解析】由f(x)=可得,f′(x)=,

因为-1≤x≤1,所以2-x>0,

当-1≤x<0时,f′(x)=<0,函数单调递减,

当0<x≤1时,f′(x)=>0,函数单调递增,

又f(1)=,f(-1)=e,故当x=-1时,函数取得最大值e.

答案:e

【内化·悟】

求函数在给定闭区间上的最值需要注意什么问题?

提示:特别要注意自变量的取值范围.

【类题·通】

　      求函数最值的四个步骤

第一步,求函数f(x)的定义域.

第二步,求f′(x),解方程f′(x)=0.

第三步,列出关于x,f(x),f′(x)的变化表.

第四步,求极值、端点值,确定最值.

警示:不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较.

【习练·破】

1.(2020·和平高二检测)函数f(x)=eln x-x在(0,2e]上的最大值为 (　　)

A.1-e   B.-1   C.-e   D.0

【解析】选D.根据条件可得f′(x)=-1,令f′(x)=0可得x=e,

则当0<x<e时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当e<x≤2e时,f′(x)<0,f(x)单调递减;则当x=e时,f(x)取极大值也为最大值,所以f(x)max=f(e)=eln e-e=0.

2.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为              (　　)

A.-37    B.-29    C.-5   D.-11

【解析】选A.因为f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),

由f′(x)=0得x=0或2.

又f(0)=m,f(2)=-8+m,f(-2)=-40+m,显然f(0)>

f(2)>f(-2),所以m=3,最小值为f(-2)=-37.

【加练·固】

函数f(x)=,x∈[-2,2]的最大值是______,最小值是______. 

【解析】因为f′(x)==,

令f′(x)=0可得x=1或-1.

又因为f(1)=2,f(-1)=-2,

f(2)=,f(-2)=-,

所以最大值为2,最小值为-2.

答案:2　-2

类型二　含参数的最值问题

【典例】已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).

(1)求函数f(x)的单调区间.

(2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.

【思维·引】

(1)求导,求单调区间.

(2)讨论函数在[1,2]上的单调性,求最值.

【解析】(1)f′(x)=-a(x>0),

①当a≤0时,f′(x)=-a>0,

即函数f(x)的单调增区间为(0,+∞).

②当a>0时,令f′(x)=-a=0,可得x=,

当0<x<时,f′(x)=>0;

当x>时,f′(x)=<0,

故函数f(x)的单调递增区间为,

单调递减区间为.

(2)①当≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以f(x)的最小值是f(2)=ln 2-2a.

②当≥2,即0<a≤时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,所以f(x)的最小值是f(1)=-a.

③当1<<2,即<a<1时,函数f(x)在上是增函数,在上是减函数.又f(2)-f(1)=ln 2-a.

所以当<a<ln 2时,最小值是f(1)=-a;

当ln 2≤a<1时,最小值为f(2)=ln 2-2a.

综上可知,

当0<a<ln 2时,函数f(x)的最小值是-a;

当a≥ln 2时,函数f(x)的最小值是ln 2-2a.

【内化·悟】

(1)求函数的单调区间需要特别注意什么?

提示:函数的定义域.

(2)求函数在给定闭区间上的最值需特别注意什么?

提示:求导,判断函数在给定区间上的单调性.

【类题·通】

1.含参数的函数最值问题的两类情况

(1)能根据条件确定出参数,从而化为不含参数函数的最值问题.

(2)对于不能求出参数值的问题,则要对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0,等于0,小于0三种情况.若导函数恒不等于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值.

2.已知函数最值求参数值(范围)的思路

已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,用参数表示出最值后求参数的值或范围.

【习练·破】

已知函数g(x)=ex-2ax-b,求g(x)在[0,1]上的最小值.

【解析】因为g′(x)=ex-2a,x∈[0,1],ex∈[1,e],

所以:

(1)若a≤,则2a≤1,g′(x)=ex-2a≥0,

所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增,

g(x)min=g(0)=1-b.

(2)若<a<,则1<2a<e,

于是当0<x<ln(2a)时,g′(x)=ex-2a<0,

当ln(2a)<x<1时,g′(x)=ex-2a>0,

所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间

[ln(2a),1]上单调递增,

g(x)min=g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.

(3)若a≥,则2a≥e,g′(x)=ex-2a≤0,

所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,

g(x)min=g(1)=e-2a-b.

综上所述,当a≤时,

g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=1-b;

当<a<时,g(x)在区间[0,1]上的最小值为

g(x)min=2a-2aln(2a)-b;

当a≥时,g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=e-2a-b.

类型三　与最值有关的综合问题

角度1　求参数的范围

【典例】(2020·襄城高二检测)若函数f(x)=2x2-ln x在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内存在最小值,则实数k的取值范围是________. 

【思维·引】利用函数的最小值点与区间的关系求范围.

【解析】函数f(x)=2x2-ln x,x∈(0,+∞),

所以f′(x)=4x-=,

令f′(x)=0得,x=,由题意可知:

解得1≤k<,所以实数k的取值范围是:1≤k<.

答案:

【素养·探】

在解答与最值相关的问题时,往往对参数的范围进行讨论,需要用到核心素养中的逻辑推理.分情况表示最值或求参数的范围.

本例中的函数不变,试求区间上的最小值.

【解析】函数f(x)=2x2-ln x,x∈(0,+∞),

所以f′(x)=4x-=,令f′(x)=0得,x=.

所以当0<x<时,f′<0,函数单调递减;

当x>时,f′>0,函数单调递增.

所以当a≤时,函数有最小值f=f=2a2-ln a;

当a>时,函数有最小值f=f=+ln 2.

角度2　探究问题

【典例】(2020·桂林高二检测)已知函数f(x)=x-aln x+b(a≠0,b∈R).

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)是否存在正实数a,b,且b≤,使得函数f(x)在区间[1,e]的值域为[2,e]?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.

【思维·引】(1)先求导,再根据a的不同取值情况讨论;

(2)借助函数的单调性,分别表示出值域后求a,b的值.

【解析】(1)函数的定义域为(0,+∞).f′(x)=1-=,

①当a<0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;

②当a>0时,令f′(x)>0,则x>a,故函数f(x)在(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减.

(2)①当1<a<e时,f(x)在[1,a]上单调递减,在(a,e]上单调递增,

由f(1)=1+b≤1+=<e,

所以必有

可得

令g(x)=2x-xln x-2(1<x<e),

g′(x)=1-ln x>0,

故函数g(x)在(1,e)上单调递增.

又由g(1)=0,故当1<a<e时,2a-aln a>2,

不存在a使得2a-aln a=2.

②当a≥e时,f(x)在[1,e]上单调递减,

得a=2e-3,b=e-1>,不合题意,舍去;

③当a<0时,由(1)可知f(x)在[1,e]上单调递增,

所以

解得a=1,b=1,不合题意,舍去;

④当0<a≤1时,由(1)可知f(x)在[1,e]上单调递增,

所以

解得a=1,b=1,符合题意.

综上所述,满足条件a,b的值为a=1,b=1.

【类题·通】

1.关于与最值有关的参数问题

一般从单调区间对参数的影响,最值的大小对参数的影响两个方面讨论.关键是弄清函数的单调性,函数的单调性决定了函数的单调区间及最值的取值.

2.关于与最值有关的探究问题

可以假定存在,根据已知条件表示出相关的量,再求参数的值,如果有解,则说明存在,否则不存在.

【习练·破】

1.f(x)=x3+f′(1)x2+1,f(x)在(-2,m)上有最大值,则m的最大值为________. 

【解析】因为f(x)=x3+f′(1)x2+1,

所以f′(x)=3x2+2f′(1)x,因此f′(1)=3+2f′(1),

解得f′(1)=-3,所以f′(x)=3x2-6x,

由f′(x)=3x2-6x>0得x>2或x<0;

由f′(x)=3x2-6x<0得0<x<2,

所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增;

所以当x=0时,f(x)取极大值f(0)=1,由f(x)=x3-3x2+1=1得x=0或x=3;

又f(x)在(-2,m)上有最大值,所以只需0<m≤3.

答案:3

2.(2020·徐州高二检测)已知函数f(x)=x2+ax-ln x(a∈R).

(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求实数a的值;

(2)令函数g(x)=f(x)-x2(x∈(0,e]),是否存在实数a使函数g(x)的最小值是4?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)f′(x)=2x+a-,因为函数f(x)在x=1处取得极值,所以f′(1)=2+a-1=0,解得a=-1.

(2)g(x)=f(x)-x2=ax-ln x,x∈(0,e],假设存在实数a使函数g(x)的最小值是4.

即a≥,x∈(0,e],令h(x)=,x∈(0,e],h′(x)=-,可得x=时,函数h(x)取得极大值即最大值.h=e3.所以a≥e3.所以存在实数a=e3,使函数g(x)的最小值是4.

课堂检测·素养达标

1.函数f(x)=ex-x在区间[-1,1]上的最大值是 (　　)

A.1+   B.1   C.e+1   D.e-1

【解析】选D.f′(x)=ex-1.令f′(x)=0,得x=0.

当x∈[-1,0]时,f′(x)≤0;

当x∈[0,1]时,f′(x)≥0.

所以 f(x)在[-1,0]上递减,在[0,1]上递增.

又因为f(-1)=+1,f(1)=e-1,

所以f(-1)-f(1)=2+-e<0,即f(-1)<f(1).

所以f(x)max=f(1)=e-1.

2.函数y=f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为 (　　)

A.-e   B.1-e   C.-1   D.0

【解析】选C.y′=-1,令y′=0,得x=1,列表如下:

从而y最大值=f(1)=-1.

3.函数y=x+2cos x在上取最大值时,x的值为 (　　)

A.0   B.   C.   D.

【解析】选B.因为y′=1-2sin x,

解y′>0得sin x<,故0≤x<,

解y′<0得sin x>,故<x≤,

所以原函数在上单调递增,

在上单调递减,当x=时函数取极大值,同时也为最大值.

4.函数f(x)=(1+x)ex的最小值为________. 

【解析】f′(x)=ex+(1+x)ex=ex(x+2),

令f′(x)=0得,x=-2,

当x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(-2,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,所以当x=-2时,函数f(x)取得最小值,最小值为f(-2)=-e-2.

答案:-e-2

【新情境·新思维】

若函数f(x)=x3-3x-a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m,n,则m-n=______. 

【解析】f′(x)=3x2-3,得当x>1或x<-1时,f′(x)>0;

当-1<x<1时,f′(x)<0.

所以f(x)在[0,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增.

所以f(x)min=f(1)=1-3-a=-2-a=n.

又f(0)=-a,f(3)=18-a,所以f(0)<f(3).

所以f(x)max=f(3)=18-a=m,

所以m-n=18-a-(-2-a)=20.

答案:20