高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.1 等比数列学案

5.3　等 比 数 列

5.3.1　等 比 数 列

第1课时　等比数列的定义

必备知识·素养奠基

1.等比数列

一般地,如果数列{an}从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q,即=q恒成立,则称{an}为等比数列,其中q称为等比数列的公比.

　(1)定义中为什么“从第2项起”,从第1项起可以吗?

提示:因为数列的第1项没有前一项,因此必须“从第2项起”.

(2)怎样利用递推公式表示等比数列?

提示:=q(n≥2)或=q(q≠0).

2.等比数列的通项公式

首项为a1,公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为an=a1qn-1.

3.等比数列的通项公式与函数

由an=a1qn-1=×qn,记f(x)=×qx,可看成an=f(n),而且

(1)当公比q=1时,f(x)是常数函数,此时数列{an}是常数列(因此,公比为1的等比数列为常数列);

(2)当公比q≠1时,f(x)是与y=qx的乘积,此时,f(x)的增减性既与a1有关,也与q有关.

　等比数列的单调性与a1和q有什么关系?

提示:

4.两个结论

(1)数列{an}是等比数列的充要条件是an=kqn,其中k,q都是不为0的常数;

(2)等比数列中,所有奇数项的符号相同,所有偶数项的符号相同.

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于常数,这个数列一定是等比数列. (　　)

(2)当等比数列的公比q>1时,一定是递增数列. (　　)

(3)等比数列{an}中,a1,a4,a7,a10,…仍然是等比数列. (　　)

提示:(1)×.应等于同一个常数.

(2)×.当数列的公比q>1时,若a1<0,则是递减数列.

(3)√.a1,a4,a7,a10,…是以a1为首项,q3为公比的等比数列.

2.等比数列{an}的公比q=-,a1=,则数列{an}是 (　　)

A.递增数列   B.递减数列

C.常数列    D.摆动数列

【解析】选D.由于公比q=-<0,所以数列{an}是摆动数列.

3.在等比数列{an}中,a1=-3,a4=81,则an=________. 

【解析】设等比数列{an}的公比为q,

因为a1=-3,a4=81,所以81=-3×q3,

解得q=-3,则该数列的通项an=(-3)×(-3)n-1=(-3)n.

答案:(-3)n

关键能力·素养形成

类型一　等比数列基本量的计算

【典例】1.在等比数列{an}中,若a2=3,a5=-24,则a1= (　　)

A.    B.-   C.-   D.

2.已知各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,a4a6=64,则公比q= (　　)

A.4   B.3   C.2　   D.

3.在公比为整数的等比数列{an}中,a2-a3=-2,a1+a3=,则{an}的通项公式an=________. 

【思维·引】1.用a1,q表示出a2,a5代入解题.

2.将条件用a1,q表示,消元求公比.

3.联立方程组,利用两式相除计算解题.

【解析】1.选C.设公比为q,则==q3=-8,

则q=-2,则a1==-.

2.选C.因为各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,a4a6=64,所以,

且q>0,解得a1=,q=2,

所以公比q=2.

3.设等比数列的首项为a1,公比为q,

因为a2-a3=-2,a1+a3=,所以

两式相除整理可得,2q2-5q-3=0,

由公比q为整数可得,q=3,a1=.所以an=3n-2.

答案:3n-2

【内化·悟】

　计算等比数列的基本量时常用到哪种运算?

提示:常用到两式相除.

【类题·通】

关于等比数列基本量的运算

　(1)基本量:a1,q,n,an;

(2)联系:基本量之间的联系就是通项公式an=a1qn-1,将条件表示后采用代入、等式相除、整体构造等方法计算.

【习练·破】

1.(2020·天津高二检测)在等比数列{an}中,已知a3=6,a3-a5+a7=78,则a5= (　　)

A.12   B.18   C.24   D.36

【解析】选C.根据题意,在等比数列{an}中,设其公比为q,

已知a3=6,a3-a5+a7=78,则6-6q2+6q4=78,解得q2=4或q2=-3(舍),故a5=6q2=24.

2.(2020·开封高二检测)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a1= (　　)

A.1   B.2   C.-   D.-1

【解析】选A.设等比数列{an}的公比为q,

因为a1+a2=-1,a1-a3=-3,

所以a1(1+q)=-1,a1(1-q2)=-3,显然q≠±1,

解得a1=1,q=-2.

【加练·固】

　　　已知an=625,n=4,q=5,求a1.

【解析】a1===5,故a1=5.

类型二　等比数列的判定

角度1　利用定义证明等比数列

【典例】已知数列{an}满足a1=1,2an+1=3an+1.

证明:{an+1}是等比数列.

【思维·引】证明为常数,或整体构造证明.

【证明】方法一:因为2an+1=3an+1,所以an+1=an+,

====,

所以=.

方法二:因为2an+1=3an+1,所以2an+1+2=3an+1+2,

即2an+1+2=3an+3,所以2(an+1+1)=3(an+1),

所以=.所以是以为公比的等比数列.

【素养·探】

　在利用定义法证明等比数列的过程中,常常用到核心素养中的逻辑推理,利用等比数列的定义进行证明.

若将本例中的条件改为“an+1=2an+1”,其他条件不变,

证明:{an+1}是等比数列.

证明:因为an+1=2an+1,

所以===2,

所以{an+1}是以2为公比的等比数列.

角度2　已知Sn与an的关系证明等比数列

【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=an+b(n∈N+,b∈R,b≠0).

(1)求证:{an}是等比数列;

(2)求证:{an+1}不是等比数列.

【思维·引】(1)消去Sn,利用an,an-1的关系证明;(2)算出数列的前三项进行证明.

【证明】(1)因为Sn=an+b,

所以当n≥2时Sn-1=an-1+b,

两式相减得Sn-Sn-1=an+b-an-1-b,

所以an=an-an-1,

所以an=3an-1,又a1=-2b≠0,

故{an}是公比为q=3的等比数列.

(2)令n=1,则S1=a1+b,

所以a1=-2b,

所以a2=-6b,a3=-18b,

所以数列{an+1}的前三项为a1+1=1-2b,a2+1=1-6b,a3+1=1-18b,

(a2+1)2=1+36b2-12b.

(a1+1)(a3+1)=1+36b2-20b,

因为b≠0,所以(a2+1)2≠(a1+1)(a3+1),故数列{an+1}不是等比数列.

【类题·通】

　关于等比数列的证明

(1)定义法

①涉及an+1,an,an-1的式子,将关系式代入后证明或(n≥2)为常数.

②涉及Sn与an的式子,则利用an=Sn-Sn-1,n≥2,消去Sn,判断an,an-1或an+1,an的关系证明.

(2)等比中项法

证明=an-1an+1(n≥2)即可,常用于证明表达式较为复杂的三项成等比数列.

【习练·破】

　(2020·西城高二检测)已知等比数列{an}的前n项和Sn=p-23-n,其中n∈N+.

(1)求p的值及数列{an}的通项公式;

(2)判断数列{}和{nan}是否为等比数列?证明你的结论.

【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q.

因为Sn=p-23-n,

所以S1=a1=p-4,S2=a1+a2=p-2,S3=a1+a2+a3=p-1,

所以a1=p-4,a2=2,a3=1,

因为数列{an}为等比数列,

所以q=,所以==,

所以p=8,a1=4,所以an=4×=23-n;

(2)数列{}是等比数列,{nan}不是等比数列.

证明如下:由(1)得=(23-n)2=43-n,

所以==,

所以数列{}是以为公比的等比数列,

由(1)可得,{nan}=n·23-n,其前3项分别为4,4,3构不成等比数列,故{nan}不是等比数列.

【加练·固】

已知数列{an}是首项为2,公差为-1的等差数列,令bn=,求证数列{bn}是等比数列,并求其通项公式.

【解析】由已知得an=2+(n-1)×(-1)=3-n,

故====2,

所以数列{bn}是等比数列.因为b1==,

所以bn=×2n-1=2n-3.

课堂检测·素养达标

1.已知数列{an}是等比数列,且a1=1,a4=8,则a6= (　　)

A.15   B.24   C.32   D.64

【解析】选C.由a1=1,a4=8可得公比q=2,

故a6=a1q5=32.

2.在等比数列{an}中,a1+a2=6,a3=3,则公比q的值为 (　　)

A.-    B.-1

C.-或1   D.-或-1

【解析】选C.因为a1+a2=a1·(1+q)=6,a3=a1·q2=3,所以=2,整理,得2q2-q-1=0,解得q=1,或q=-.

3.已知数列{an}中,an+1=2an,且a3=12,则a1=________. 

【解析】因为an+1=2an,所以=2,所以公比为2,因为12=a3=2a2,所以a2=6.

因为6=a2=2a1,所以a1=3.

答案:3

4.若等比数列{an}满足a1=,a2a3=2,则a7=________. 

【解析】设等比数列{an}的公比为q.

因为等比数列{an}满足a1=,a2a3=2,

所以q·q2=2,解得q=2,所以a7=×26=32.

答案:32

【新情境·新思维】

　已知等比数列{an},则下面对任意正整数k都成立的是 (　　)

A.ak·ak+1>0    B.ak·ak+2>0

C.ak·ak+1·ak+2>0   D.ak·ak+3>0

【解析】选B.根据题意,依次分析选项:

对于A,当q<0时,ak与ak+1异号,则ak·ak+1<0,A错误;对于B,ak·ak+2=ak·ak·q2=(ak·q)2>0,B正确;对于C,

ak·ak+1·ak+2=(ak+1)3,则ak·ak+1·ak+2>0不一定成立,C错误;对于D,ak·ak+3=·q3,则ak·ak+3>0不一定成立,D错误.