2020-2021学年第五章 数列5.3 等比数列5.3.1 等比数列学案及答案

第2课时　等比数列的性质

必备知识·素养奠基

1.如果x,G,y是等比数列,那么G为x与y的等比中项,且G2=xy,G=±.

2.等比数列的项之间的关系

等比数列{an},m,n,p,q∈N+

　等比数列两项之间的关系an=amqn-m中,当n≤m时成立吗?

提示:成立,如a2=a5q2-5=a5q-3=.

3.等比数列的单调性

　当q=1,q<0时,分别是什么数列?

提示:当q=1时是常数列;当q<0时是摆动数列.

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)等比数列{an}中a2·a6=.  (　　)

(2)若G是a与b的等比中项,则G=.  (　　)

(3)若a,G,b满足G2=ab,则a,G,b一定是等比数列. (　　)

提示:(1)×.a2·a6=.

(2)×.G=±.

(3)×.如0,0,0满足02=0×0,但不是等比数列.

2.若三个正数1,b,16成等比数列,则b=________. 

【解析】因为三个正数1,b,16成等比数列,所以b==4.

答案:4

3.在等比数列{an}中,已知a7·a12=10,则a8·a9·a10·a11=________. 

【解析】因为a7·a12=a8·a11=a9·a10=10,

所以a8·a9·a10·a11=102=100.

答案:100

关键能力·素养形成

类型一　等比中项及其应用

【典例】1.若三个实数a,b,c成等比数列,其中a=3-,c=3+,则b= (　　)

A.2　   B.-2   C.±2    D.4

2.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于 (　　)

A.2   B.4   C.6　   D.8

【思维·引】1.利用b是a,c的等比中项求值.

2.将ak,a2k用d表示出来,再利用等比中项列式求值.

【解析】1.选C.三个实数a,b,c成等比数列,

则b2=ac=(3-)(3+)=9-5=4,则b=±2.

2.选B.因为an=(n+8)d,又因为=a1·a2k,

所以[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,

解得k=-2(舍去)或k=4.

【内化·悟】

　等比数列中,a1和a5的等比中项是哪一项?a2和a8呢?

提示:a1和a5的等比中项是a3,a2和a8的等比中项是a5.

【类题·通】

应用等比中项解题的两个关注点

(1)如果出现等比数列两项的乘积时,就要注意考虑是否能转化为等比中项表示;

(2)等比中项一般不唯一,但是如果在等比数列中,还要关注项的关系,如a4是a2,a6的等比中项,而a4=a2q2,因此a4与a2的符号相同.

【习练·破】

　-1,a,b,c,-25是等比数列,则abc=________. 

【解析】设该等比数列的公比为q,

因为b是a,c的等比中项,也是-1,-25的等比中项,

所以b2=-1×(-25)=25,所以b=±5,

又因为b=-1×q2<0,所以b=-5,所以abc=b3=-125.

答案:-125

【加练·固】

已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,求的值.

【解析】因为-1,a1,a2,-4成等差数列,设公差为d,

则a2-a1=d=×[(-4)-(-1)]=-1,

因为-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,

所以=(-1)×(-4)=4,所以b2=±2.

若设公比为q,则b2=(-1)q2,所以b2<0.

所以b2=-2,所以==.

类型二　等比数列性质的应用

【典例】1.若数列{an}是递增的等比数列,a2a5=20,a1+a6=9,则a11= (　　)

A.5   B.   C.   D.

2.已知各项都为正数的等比数列{an}满足:a3a7=2,a3=1,则a2= (　　)

A.    B.   C.   D.2

【思维·引】1.利用a2a5=a1a6转化求值.

2.利用a3a7=求出q,进而求出a2.

【解析】1.选C.因为数列{an}是递增的等比数列,

a2a5=20,a1+a6=9,所以a1a6=a2a5=20,

所以a1,a6是一元二次方程x2-9x+20=0的两个根,

且a1<a6,解得a1=4,a6=5,

所以q5=,a11=a1q10=4×=.

2.选B.各项都为正数的等比数列{an}满足:

a3a7=2,所以=2,

所以q=,

因为a3=1,

所以a2==.

【内化·悟】

　用数列项的哪个要素的关系来确定所用的性质?

提示:需要用数列项的下标关系,即项数的关系.

【类题·通】

1.解答等比数列问题的基本方法——基本量法

(1)基本步骤:运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,解出a1和q,然后利用通项公式求解.

(2)优缺点:适用面广,入手简单,思路清晰,但有时运算稍繁.

2.利用等比数列的性质解题

(1)基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.

(2)优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.

【习练·破】

　(2020·眉山高二检测)已知数列{an}为正项的递增等比数列,a1+a6=12,a2a5=20,则= (　　)

A.5   B.10   C.25   D.510

【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q.

因为数列{an}为正项的递增等比数列,a1+a6=12,a2a5=20,

所以

解得a1=2,q=,

所以===q10=25.

【加练·固】

　　(2020·惠州高二检测)已知数列{an}是等比数列,函数y=x2-5x+3的两个零点是a1,a5,则a3=              (　　)

A.1   B.-1   C.±    D.

【解析】选D.由根与系数的关系可知a1+a5=5,a1·a5=3,则a1>0,a5>0,从而a3>0,且=a1·a5=3,所以a3=.

类型三　等比数列的实际应用

【典例】朱载堉(1536-1611),明太祖九世孙,音乐家、数学家、天文历算家,在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名,在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子.他对文艺的最大贡献是创建了“十二平均律”,此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上,包括钢琴,故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”.“十二平均律”是指一个八度有13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍,设第二个音的频率为f2,第八个音的频率为f8,则等于              (　　)

A.   B.   C.    D.

【思维·引】化归成数列中项、公比的问题求解.

【解析】选A.依题意13个音的频率成等比数列,记为{an},

设公比为q,则a13=a1q12,且a13=2a1,所以q=,

所以=q6=()6=.

【内化·悟】

　在应用性问题中,判断是否为等比数列模型的关键是什么?

提示:关键是看增长(缩减)是否按照同一比例.

【类题·通】

　关于等比数列在应用问题中的应用

首先根据题意判断是否是等比数列模型,其次分析等比数列的首项、公比、项数,最后利用等比数列的通项公式计算解题.

【习练·破】

　(2020·延庆高二检测)某企业生产A,B两种型号的产品,每年的产量分别为10万支和40万支,为了扩大再生产,决定对两种产品的生产线进行升级改造,预计改造后的A,B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%,那么至少经过________年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量(参考数据:lg 2≈0.301 0)              (　　) 

A.6   B.7   C.8   D.9

【解析】选B.设经过n年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量,则10×(1+50%)n>40×(1+20%)n,化为:>4,取对数可得:n>=≈≈6.2.

所以至少经过7年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量.

【加练·固】

　　　某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍,那么该单位此年的月平均增长率是________. 

【解析】由题意可知,这一年中的每一个月的产值成等比数列,因为=m,所以月平均增长率为-1.

答案:-1

类型四　等比数列与等差数列的综合应用

角度1　灵活设项解题

【典例】三个数成等比数列,其积为64,如果第一个数与第三个数各减去1,则这三个数成等差数列,求这三个数.

【思维·引】利用等比数列设出前三项,表示出等差数列后求未知数.

【解析】因为三个数成等比数列,

设三个数为,a,aq,则×a×aq=a3=64,

所以a=4,所以三个数为,4,4q,

第一个数与第三个数各减去1为-1,4,4q-1,

则-1+4q-1=8,即2q2-5q+2=0,

解得q=2或,所以这三个数为2,4,8或8,4,2.

【素养·探】

　在利用等比数列设项解题过程中,常常用到核心素养中的数学运算,通过解方程求公比解题.

本例中的条件若改为“其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2”,试求这三个数.

【解析】设三个数依次为,a,aq,

因为·a·aq=512,所以a=8.

因为+(aq-2)=2a,

所以2q2-5q+2=0,所以q=2或q=,

所以这三个数为4,8,16或16,8,4.

角度2　等差、等比数列性质

【典例】已知{an}是等差数列,{bn}是正项等比数列,且b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5, b5=a4+2a6,则a2 018+b9=              (　　)

A.2 274   B.2 074   C.2 226   D.2 026

【思维·引】分别用等差数列的首项a1、公差d、等比数列的公比q表示出已知条件,求出a1,d,q后求a2 018+b9.

【解析】选A.设等差数列{an}的公差为d,正项等比数列{bn}的公比为q>0,

因为b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,

所以q2=q+2,q3=2a1+6d,q4=3a1+13d,

解得q=2,a1=d=1,则a2 018+b9=1+2 017+28=2 274.

【类题·通】

等比数列项的设法

(1)三数成等比数列常设成,a,aq或a,aq,aq2.

(2)若四个数成等比数列,可设为,a,aq,aq2.若四个正数成等比数列,可设为,,aq,aq3.

【习练·破】

　设公差不为零的等差数列{an}满足a3=7,且a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,则a10等于________. 

【解析】设等差数列{an}的公差为d,则d≠0,

则a1=a3-2d=7-2d,a2=a3-d=7-d,

a4=a3+d=7+d,由于a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,

则(a2-1)2=(a1-1)(a4-1),

即(6-d)2=(6-2d)(6+d),化简得d2-2d=0,由于d≠0,解得d=2,

因此,a10=a3+7d=7+7×2=21.

答案:21

【加练·固】

　　　已知数列{an}是由实数构成的等比数列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,则{an}的公比为________. 

【解析】因为数列{an}是由实数构成的等比数列,

a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,

所以2a3=(a2-4)+a4,即2×2q2=2q-4+2q3,

整理,得(q-2)(q2+1)=0,所以{an}的公比q=2.

答案:2

课堂检测·素养达标

1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是 (　　)

A.a1,a3,a9成等比数列   B.a2,a3,a6成等比数列

C.a2,a4,a8成等比数列   D.a3,a6,a9成等比数列

【解析】选D.设等比数列的公比为q,因为==q3,即=a3a9,所以a3,a6,a9成等比数列.

2.已知数列{an}是等比数列,若=4,则a5= (　　)

A.2   B.4   C.2    D.

【解析】选B.根据题意,数列{an}是等比数列,设其公比为q,

若=4,则=a3q2=a5=4.

3.(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8= (　　)

A.12    B.24   C.30   D.32

【解题指南】根据已知条件求得q的值,再由a6+a7+a8

=a1q5(1+q+q2)可求得结果.

【解析】选D.设等比数列的公比为q,

则a1+a2+a3=a1=1,

a2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1q=q=2,

因此,a6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q5=

q5=32.

4.(2020·景德镇高二检测)在正项等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(log3a1+ log3a2+…+log3a7)的值为________. 

【解析】在正项等比数列{an}中,若a3a4a5=3π=,

所以a4=.

所以sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)

=sin[log3(a1a2·…·a7)]

=sin(log3)=sin(log3)

=sin=sin=.

答案:

【新情境·新思维】

　已知数列{}是等比数列,公比为q,则数列{an}  (　　)

A.是等差数列,公差为log3q

B.是等差数列,公差为3q

C.是等比数列,公比为log3q　

D.既不是等差数列,也不是等比数列

【解析】选A.因为数列{}是等比数列,

所以==q,

所以an+1-an=log3q(常数),

所以数列{an} 是等差数列,公差为log3q.