数学必修5第一章 解三角形1.2 应用举例图文课件ppt

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类型一　测量高度问题【典例1】航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的高度为海拔10千米,速度为180千米/小时,飞机先看到山顶的俯角为15°,经过420秒后又看到山顶的俯角为45°,求山顶的海拔高度(取 =1.4, =1.7).
【解题指南】先由正弦定理求出BC的长,再求CD的长,从而可得山顶的高度.
【解析】如图,因为∠A=15°,∠DBC=45°,所以∠ACB=30°.
AB=180 000×420× =21 000(m),所以在△ABC中, 所以BC= ·sin 15°=10 500
因为CD⊥AD,所以CD=BCsin∠CBD=BC×sin 45°=10 500 =10 500 =10 500(1.7－1)=7 350.山顶的海拔高度=10 000-7 350=2 650(米)=2.65(千米).
【方法总结】解决测量高度问题的一般步骤(1)根据已知条件画出示意图.(2)分析与问题有关的三角形.(3)运用正、余弦定理解相关的三角形.在解题过程中,要综合运用立体几何与平面几何的知识,注意方程思想的运用.
【跟踪训练】(2019·攀枝花高一检测)如图,为了测量山坡上灯塔CD的高度,某人从高为h=40的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角为β=60°,α=30°,若山坡高为a=35,则灯塔高度是(　　)
A.15B.25C.40D.60
【解析】选B.过点B作BE⊥DC于点E,过点A作AF⊥DC于点F,如图所示,
在△ABD中,由正弦定理得, 所以AD= ,在Rt△ADF中, DF=ADsin β=
又山高为a,则灯塔CD的高度是CD=DF-CF= -a= -35=60-35=25.
类型二　测量角度问题【典例2】某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度向正东方向匀速行驶,经过t小时小艇与轮船相遇.假设小艇的最高航行速度
只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短的时间与轮船相遇,并说明理由.
【解题指南】先画出简图,再对照图形理解题意,然后确定各个角度、各条边长(边长有已知的,有用字母表示的),并尝试用正、余弦定理,函数,不等式的知识解答.
【解析】设小艇航行速度的大小是v海里/小时,如图所示,设小艇与轮船在B处相遇.
由余弦定理得:BO2=AO2+AB2-2AO·ABcs A.所以(vt)2=400+(30t)2-2×20×30tcs (90°-30°),即(v2-900)t2+600t-400=0(其中0即1 600(v2-675)=0,则v=15 ,1°当0令x= ,则x∈[0,15), 当且仅当x=0,即v= 时,等号成立;当 时,同理可得 所以当15 ≤v<30时,t> ;②当v=30时,可求得t= ;
综合①②可知,当v=30时,t取得最小值,且最小值是 ,此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=20,所以可设计方案如下:小艇的航行方向是北偏东30°,航行速度为30海里/小时,此时小艇能以最短的时间与轮船相遇.
【延伸探究】本例中若小艇无最高航行速度限制,其他条件不变.问:(1)若希望相遇时小艇航行距离最小,则小艇航行速度为多少?(2)若保证小艇在30分钟内(含30分钟)与轮船相遇,试求小艇航行速度的最小值.
【解析】(1)设相遇时小艇航行距离为s,则故当t= 时航行距离最小为s=10 海里,此时v= (海里/小时),
即小艇以30 海里/小时的速度航行,相遇时航行距离最小.
(2)设小艇航行速度的大小是v海里/小时,小艇与轮船在B处相遇如图,
由余弦定理OB2=OA2+AB2-2OA·AB·cs ∠OAB得,(vt)2=202+(30t)2-2×20×30tcs (90°-30°),化简得v2= +900=400 +675,由于0【方法总结】角度问题的解题思路(1)根据题意和图形及方向角等概念,确定所求的角在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需求哪些量.(2)从实际问题中抽象出一个或几个三角形,结合图形选择运用正弦定理,还是余弦定理.
【跟踪训练】某船在海上航行中不幸遇险,并发出呼救信号,海上救生艇在A处获悉后,立即测出该船的方位角为45°,在与之相距10 n mile的C处,还测得该船正沿方位角为105°的方向以每小时9 n mile的速度向一小岛靠近,海上救生艇立即以每小时21 n mile的速度前往营救,
试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需的时间.
【解析】设所需的时间为t h,在点B处相遇,如图所示,在△ABC中,AC=10,AB=21t,BC=9t.
∠ACB=360°-135°-105°=120°,由余弦定理得(21t)2=102+(9t)2-2×10×9t×cs 120°,整理得36t2-9t-10=0,解得t= 或t=- (舍去),由正弦定理得
即sin∠CAB= 所以∠CAB≈21.8°.综上,该海上救生艇的航向为北偏东66.8°,与呼救船相遇所需的时间为 h.