数学必修5第二章 数列2.4 等比数列课文课件ppt

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主题　等比数列的性质1.在等差数列中有an=am+(n-m)d,类比此结论,在等比数列{an}中an与am满足什么关系式呢?
提示:an=am·qn-m.证明如下:因为 =qn-m,所以an=amqn-m.
2.在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq (m,n,p,q∈N*),类比此性质,在等比数列{an}中有什么性质呢?并证明.
提示:在等比数列{an}中,若m+n=p+λ(m,n,p,λ∈N*),则am·an=ap·aλ.证明如下因为am·an=a1qm-1·a1qn-1= qm+n-2,ap·aλ=a1qp-1·a1qλ-1= qp+λ-2,又m+n=p+λ,故am·an=ap·aλ.
3.观察下面几个等比数列中项的变化趋势,指出它们的单调性.(1)-1, …(2)9,3,1, …(3)-1,-2,-4,-8,-16,…
(4)1, …(5)2,2,2,2,2,…
提示:(1)项是增加的,且a1<0,00,01,是单调递减数列.(4)项是摆动的,a1>0,q<0,不是单调数列.(5)项是不变的,a1>0,q=1,是常数列.
结论:1.等比数列的常用性质设等比数列{an}的公比为q,则(1)an=amqn-m(m,n∈N*).(2)若m+n=k+l(m,n,k,l∈N*),则____________.
am·an=ak·al
2.等比数列的单调性(1)当a1>0,____或a1<0,______时,{an}为递增数列.(2)当____,0【对点训练】1.等比数列{an}的公比q=- ,a1= ,则数列{an}是(　　)　　　　　　 　　　　　　 A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列
【解析】选D.由于公比q=- <0,所以数列{an}是摆动数列.
2.若数列{an}为等比数列,则下列式子一定成立的是(　　)　 　　　　　　 　　　　　　 A.a2+a5=a1+a6B.a1a9=a10C.a1a9=a3a7D.a1a2a7=a4a6【解析】选C.由等比数列{an}的性质知a1a9=a3a7.
3.在等比数列{an}中,若a2,a9是方程x2-x-6=0的两根,则a5·a6的值为(　　)A.6B.-6C.-1D.1【解析】选B.因为a2,a9是方程x2-x-6=0的两根,所以,a2·a9=-6,因为数列{an}是等比数列,所以a5·a6=a2·a9=-6.
类型一　利用等比数列的性质求解基本量【典例1】(1)(2019·定州高一检测)在递增的等比数列{an}中,a4,a6是方程x2-10x+16=0的两个根,则数列{an}的公比q=(　　)　　　　　　 　　　　　　 A.2B.±2C. D. 或2
(2)(2019·南昌高一检测)在等比数列{an}中,a6·a12=6,a4+a14=5,则 =(　　)A. 或 B. C. 或 D. 或
【解题指南】(1)由根与系数的关系得关于a4,a6的方程组,求得a4,a6再由{an}为递增数列,从而求出q的值.(2)根据等比数列的性质,得a6·a12=a4·a14=6,又由a4+a14=5,联立方程组,解得a4,a14的值,分类讨论求解,即可得到答案.
【解析】(1)选A.因为a4,a6是方程x2-10x+16=0的两个根,所以 解得 或 又因为等比数列{an}是递增的,所以 且q>1,则q= =2.
(2)选A.由题意,根据等比数列的性质,可得a6·a12=a4·a14=6,又由a4+a14=5,联立方程组,解得 当 时,q10= ,此时 当 时,q10= ,此时
【方法总结】巧用等比数列的性质解题(1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法①基本步骤:运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,解出a1和q,然后利用通项公式求解;②优缺点:适用面广,入手简单,思路清晰,但有时运算稍繁.
(2)利用等比数列的性质解题①基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题;②优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.
【跟踪训练】　在等比数列{an}中,已知a3=9,a6=243,求a5.
【解析】方法一:由已知a3=a1q2=9,a6=a1q5=243,所以q3= =27,则q=3,a1=1,所以a5=a1q4=1×34=81.
方法二:因为a6=a3q3,所以q3= =27,q=3,所以a5=a3q2=9×32=81.
类型二　等比数列性质的应用【典例2】(1)计算机的价格不断降低,若每件计算机的价格每年降低 ,现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降为(　　)A.300元B.900元C.2 400元 D.3 600元
(2)三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2,则这三个数成等差数列,求这三个数.
【解题指南】(1)建立等比数列模型,运用等比数列的性质求解.(2)巧妙设未知量,根据等比数列、等差数列的性质列出方程组,求解.
【解析】(1)选C.降低后的价格构成以 为公比的等比数列.则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降为8 100× =2 400(元).
(2)设三个数依次为 ,a,aq,因为 ·a·aq=512,所以a=8.因为 +(aq-2)=2a,所以2q2-5q+2=0,所以q=2或q= ,所以这三个数为4,8,16或16,8,4.
【方法总结】解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用.(2)对于解答题注意基本量及方程思想.
(3)注意问题的转化,利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列,以便利用公式和性质解题.(4)当题中出现多个数列时,既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系,又要横向考查各数列之间的内在联系.
【拓展延伸】“子数列”的概念与性质对于无穷等比数列{an},若将其前k项去掉,剩余各项仍为等比数列,首项为ak+1,公比为q;若取出所有的k的倍数项,组成的数列仍为等比数列,首项为ak,公比为qk.例如k=3,取出所有3的倍数项,即a3,a6,a9,…,则首项为a3,公比为q3.
【延伸探究】已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,由{an}中的部分项组成的数列 …, ,…为等比数列,其中b1 =1,b2 = 5,b3 = 17.求数列{bn}的通项公式.
【解题指南】根据 成等比数列,得出等差数列{an}的首项与公差的关系,从而求出数列{ }的通项,再根据 为等差数列{an}中的第bn项,求出数列{bn}的通项.
【解析】依题意 = a1a17,即(a1 +4d)2= a1 ( a1+16d),所以 a1d = 2d2,因为d≠0,所以a1=2d,数列{ }的公比q= =3,所以 =a1 3n-1,①
又 =a1+(bn-1)d= ,②由①②得a1·3n-1= ·a1.因为a1= 2d≠0,所以bn = 2·3n-1-1.
【跟踪训练】已知等比数列{an},{bn},{cn}的公比分别为2,A,B,记bn=a4(n-1)+1+a4(n-1)+2+a4(n-1)+3+a4(n-1)+4,cn=a4(n-1)+1·a4(n-1)+2·a4(n-1)+3·a4(n-1)+4(n∈N*),则 =________. 
【解析】根据题意,等比数列{an},{bn},{cn}公比分别为2,A,B,又由bn=a4(n-1)+1+a4(n-1)+2+a4(n-1)+3+a4(n-1)+4,则bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4,则有A= =24,
cn=a4(n-1)+1·a4(n-1)+2·a4(n-1)+3·a4(n-1)+4,则cn+1=a4n+1·a4n+2·a4n+3·a4n+4,则有B= =216,则 答案: