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高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步本章综合与测试教课内容课件ppt
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步本章综合与测试教课内容课件ppt，共21页。
专题一 共点、共线、共面问题 例1如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,求证:
(1)E,F,G,H四点共面;(2)EG与HF的交点在直线AC上.
证明:(1)因为BG∶GC=DH∶HC,所以GH∥BD.又因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD.所以EF∥GH.所以E,F,G,H四点共面.(2)因为G,H不是BC,CD的中点,所以EF∥GH,且EF≠GH.所以EG与FH必相交,设交点为M.而EG⊂平面ABC,HF⊂平面ACD,所以点M∈平面ABC,且点M∈平面ACD.因为平面ABC∩平面ACD=AC,所以点M∈AC,即EG与HF的交点在直线AC上.
专题二 空间中的平行关系 例2如图所示,四边形ABCD是平行四边形,PB⊥平面ABCD,MA∥PB,PB=2MA.在线段PB上是否存在一点F,使平面AFC∥平面PMD?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.
解:当点F是PB的中点时,平面AFC∥平面PMD.证明如下:如图连接BD和AC交于点O,连接FO,则PF= PB.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是BD的中点.∴OF∥PD.又OF⊄平面PMD,PD⊂平面PMD,∴OF∥平面PMD.
∴四边形AFPM是平行四边形.∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD,PM⊂平面PMD.∴AF∥平面PMD.又AF∩OF=F,AF⊂平面AFC,OF⊂平面AFC.∴平面AFC∥平面PMD.
专题三 空间中的垂直关系 例3如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形,∠ACB=90°,点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点,且BC=CA=AA1.(1)求证:平面ACC1A1⊥平面B1C1CB;(2)求证:BC1⊥AB1.
证明:(1)设BC的中点为M,连接B1M.∵点B1在底面ABC上的射影恰好是点M,∴B1M⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC,∴B1M⊥AC.又∵BC⊥AC,B1M∩BC=M,∴AC⊥平面B1C1CB.又∵AC⊂平面ACC1A1,∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.
(2)连接B1C.∵AC⊥平面B1C1CB,∴AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∵BC=CC1.∴四边形B1C1CB是菱形,∴B1C⊥BC1.又∵B1C∩AC=C,∴BC1⊥平面ACB1,∴BC1⊥AB1.
专题四 空间角的计算 例4如图,在Rt△AOB中,∠OAB=30°,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,动点D在斜边AB上.(1)求证:平面COD⊥平面AOB;(2)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的正切值;(3)求CD与平面AOB所成角的正切值的最大值.
(1)证明:由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角,又∵二面角B-AO-C是直二面角.∴CO⊥BO.又∵AO∩BO=O,∴CO⊥平面AOB.又CO⊂平面COD,∴平面COD⊥平面AOB.
(2)解:作DE⊥OB,垂足为点E,连接CE(如图),则DE∥AO.∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角.
(3)解:由(1)知,CO⊥平面AOB,∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角,
例5在《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.
(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是不是鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由.
解:(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,由底面ABCD为长方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.而DE⊂平面PCD,所以BC⊥DE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC.而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC,所以PB⊥DE.又PB⊥EF,DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.又DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.
(2)如图,在平面PBC内,延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ABCD的交线.由(1)知,PB⊥平面DEF,所以PB⊥DG.又因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥DG.而PD∩PB=P,所以DG⊥平面PBD.故∠BDF是平面DEF与平面ABCD所成二面角的平面角,设
专题五 逻辑推理的核心素养 例6如图所示,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD⊥平面ABC,AE⊥BD于点E,AF⊥CD于点F.求证:BD⊥平面AEF.
证明:∵AB为☉O直径,C为☉O上一点,∴BC⊥AC,
⇒BD⊥平面AEF.
专题六 函数与方程思想 例7如图所示,正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0
专题一 共点、共线、共面问题 例1如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,求证:
(1)E,F,G,H四点共面;(2)EG与HF的交点在直线AC上.
证明:(1)因为BG∶GC=DH∶HC,所以GH∥BD.又因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD.所以EF∥GH.所以E,F,G,H四点共面.(2)因为G,H不是BC,CD的中点,所以EF∥GH,且EF≠GH.所以EG与FH必相交,设交点为M.而EG⊂平面ABC,HF⊂平面ACD,所以点M∈平面ABC,且点M∈平面ACD.因为平面ABC∩平面ACD=AC,所以点M∈AC,即EG与HF的交点在直线AC上.
专题二 空间中的平行关系 例2如图所示,四边形ABCD是平行四边形,PB⊥平面ABCD,MA∥PB,PB=2MA.在线段PB上是否存在一点F,使平面AFC∥平面PMD?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.
解:当点F是PB的中点时,平面AFC∥平面PMD.证明如下:如图连接BD和AC交于点O,连接FO,则PF= PB.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是BD的中点.∴OF∥PD.又OF⊄平面PMD,PD⊂平面PMD,∴OF∥平面PMD.
∴四边形AFPM是平行四边形.∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD,PM⊂平面PMD.∴AF∥平面PMD.又AF∩OF=F,AF⊂平面AFC,OF⊂平面AFC.∴平面AFC∥平面PMD.
专题三 空间中的垂直关系 例3如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形,∠ACB=90°,点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点,且BC=CA=AA1.(1)求证:平面ACC1A1⊥平面B1C1CB;(2)求证:BC1⊥AB1.
证明:(1)设BC的中点为M,连接B1M.∵点B1在底面ABC上的射影恰好是点M,∴B1M⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC,∴B1M⊥AC.又∵BC⊥AC,B1M∩BC=M,∴AC⊥平面B1C1CB.又∵AC⊂平面ACC1A1,∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.
(2)连接B1C.∵AC⊥平面B1C1CB,∴AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∵BC=CC1.∴四边形B1C1CB是菱形,∴B1C⊥BC1.又∵B1C∩AC=C,∴BC1⊥平面ACB1,∴BC1⊥AB1.
专题四 空间角的计算 例4如图,在Rt△AOB中,∠OAB=30°,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,动点D在斜边AB上.(1)求证:平面COD⊥平面AOB;(2)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的正切值;(3)求CD与平面AOB所成角的正切值的最大值.
(1)证明:由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角,又∵二面角B-AO-C是直二面角.∴CO⊥BO.又∵AO∩BO=O,∴CO⊥平面AOB.又CO⊂平面COD,∴平面COD⊥平面AOB.
(2)解:作DE⊥OB,垂足为点E,连接CE(如图),则DE∥AO.∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角.
(3)解:由(1)知,CO⊥平面AOB,∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角,
例5在《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.
(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是不是鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由.
解:(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,由底面ABCD为长方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.而DE⊂平面PCD,所以BC⊥DE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC.而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC,所以PB⊥DE.又PB⊥EF,DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.又DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.
(2)如图,在平面PBC内,延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ABCD的交线.由(1)知,PB⊥平面DEF,所以PB⊥DG.又因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥DG.而PD∩PB=P,所以DG⊥平面PBD.故∠BDF是平面DEF与平面ABCD所成二面角的平面角,设
专题五 逻辑推理的核心素养 例6如图所示,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD⊥平面ABC,AE⊥BD于点E,AF⊥CD于点F.求证:BD⊥平面AEF.
证明:∵AB为☉O直径,C为☉O上一点,∴BC⊥AC,
⇒BD⊥平面AEF.
专题六 函数与方程思想 例7如图所示,正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0
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