高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.1 空间几何体与斜二测画法授课课件ppt

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从古至今,各个国家的建筑物都有各自的特色,如埃及金字塔.各城市大厦的旋转餐厅,它们都是独具匠心的建筑物,是建筑师们集体智慧的结晶.今天我们如何从数学的角度来看待这些建筑物呢?
知识点一:空间几何体
微练习观察如下各图所示的物体或建筑物,将它们可抽象出的几何体画出来.
知识点二:斜二测画法1.立体几何中,用来表示空间图形的平面图形,习惯上称为空间图形的直观图.2.一般地,用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时,步骤如下.
(1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x'轴和y'轴,使得它们正方向的夹角为45°(或135°).(2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x'轴平行(或重合)的线段,且长度不变;平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y'轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半.(3)连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.
3.一般地,用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下.(1)在立体图形中取水平平面,在其中取互相垂直的x轴与y轴,作出水平平面上图形的直观图(保留x'轴与y'轴).(2)在立体图形中,过x轴与y轴的交点取z轴,并使z轴垂直于x轴与y轴.过x'轴与y'轴的交点作z轴对应的z'轴,且z'轴垂直于x'轴.图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z'轴平行(或重合)的线段,且长度不变.连接有关线段.(3)擦去有关辅助线,并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除).
微判断(1)相等的角,在直观图中仍相等.(　　)(2)长度相等的线段,在直观图中长度仍相等(　　)(3)若两条直线垂直,在直观图中对应的直线也互相垂直.(　　)答案: (1)×　(2)×　(3)×
微练习2长方形的直观图可能为下图中的哪一个(　　)
A.①②B.①②③C.②D.③④
答案:C解析:斜二测画法中,平行性保持不变,平行于x轴的长度不变,平行于y轴的长度折半.因此长方形的直观图为②.
微练习3在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,∠A的两边平行于x轴、y轴,则在直观图中,∠A'=　　　　　. 答案:45°或135°解析:由斜二测画法,∠A'=45°或∠A'=135°
水平放置的平面图形的直观图例1按图示的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.
解:画法:(1)在图①中作AG⊥x轴于G,作DH⊥x轴于H.(2)在图②中画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.
(4)连接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去作图过程中的辅助线,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图③).
反思感悟 (1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.(2)画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.
变式训练 1如图是水平放置的由正方形ABCE和等边三角形CDE所构成的平面图形,请画出它的直观图.
解:画法:(1)以AB边所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴,两轴相交于点O(如图①),画相应的x'轴和y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°(如图②).
(3)连接E'D',D'C',C'E',并擦去作图过程中的辅助线,便得到平面图形ABCDE水平放置的直观图A'B'C'D'E'(如图③).
空间几何体的直观图例2用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.
解:画法:(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=2 cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA',BB',CC',DD'.
(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正方体的直观图(如图②).
反思感悟 画空间图形的直观图的原则(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz,并且把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面,再作z'轴与x'轴垂直.(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x'轴的线段并且长度不变.(3)平行于y轴的线段画成平行于y'轴的线段,且线段长度画成原来的二分之一.(4)平行于z轴的线段画成平行于z'轴的线段并且长度不变.
变式训练 2如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.
解:(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画底面.由三视图知该几何体是一个简单组合体,它的下部是一个正四棱台,上部是一个正四棱锥,利用斜二测画法画出底面ABCD,在z轴上截取OO',使OO'等于三视图中相应高度,过O'作Ox的平行线O'x',Oy的平行线O'y',利用O'x'与O'y'画出上底面A'B'C'D'.(3)画正四棱锥顶点.在Oz上截取点P,使PO'等于三视图中相应的高度.
(4)成图.连接PA',PB',PC',PD',A'A,B'B,C'C,D'D,整理得到三视图表示的几何体的直观图,如图②.
直观图的还原与计算例3如图所示,水平放置的平面图形A'B'C'D'为某一平面图形的斜二测直观图,它是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形,求原来的平面图形的面积.
解:如图所示,因为A'D'∥B'C',所以AD∥BC.因为∠A'B'C'=45°,所以∠ABC=90°,所以AB⊥BC.所以四边形ABCD是直角梯形,
反思感悟 由原图形求直观图的面积,关键是确定直观图的形状,作出直观图后,求出其边长和高,进而求出面积;如果由直观图求原图形的面积,则根据斜二测画法将直观图还原为原图形,再求边长和高,进而求面积.直观图的面积是原图形面积的
延伸探究 如图所示的直角梯形A'B'C'D'为某一平面图形的斜二测直观图,∠A'B'C'=45°,A'B'=A'D'=1,C'D'⊥B'C',求原平面图形的面积.
解:在斜二测直观图中(如图①所示),作A'H⊥x轴交于H.∵A'B'=A'D'=1,D'C'⊥B'C',∠A'B'C'=45°.
变式训练 3已知等边三角形ABC的边长为1,那么△ABC的斜二测直观图△A'B'C'的面积为　　　　　. 
解析:图①②分别为实际图形和直观图.
解答平面图形直观图还原问题的易错点(一题多解)
解析:(方法一)如图,由斜二测画法原理知,原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的,不一样的是两个梯形的高.
方法点睛1.原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样,但高的长度不一样.原梯形的高OC是直观图中OC'的长度的2倍,OC'长度是直观图中梯形的高的 倍,此处易出错.2.解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变化,直观图面积S'与原图形面积S满足S'= S.
1.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,正确的是(　　)A.水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B.平行四边形的直观图仍是平行四边形C.两条相交直线的直观图可能是平行直线D.两条垂直直线的直观图仍互相垂直答案:B解析:斜二测画法保持平行性不变,正方形的直观图是平行四边形,故选项A错误;平行四边形的对边平行,则在直观图中仍然平行,故选项B正确;斜二测画法保持相交性不变,故两条相交直线的直观图仍是相交直线,故选项C错误;两条垂直直线的直观图应是夹角为45°或135°的两条相交直线,故选项D错误.
2.一水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A'B'C',已知A'C'=6,B'C'=4,则AB边的实际长度是　　　　　. 
解析:易知AC⊥BC,且AC=6,BC=8,AB应为Rt△ABC的斜边,故
3.如图,Rt△O'A'B'是一平面图形的斜二测直观图,直角边O'B'=1,则这个平面图形的面积是　　　　　. 
4.如图,△A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其恢复成原图形.