高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第五章 统计与概率5.3 概率5.3.3 古典概型同步测试题

古 典 概 型

(15分钟　30分)

1.下列概率模型中,是古典概型的个数为 (　　)

①从区间[1,10]内任取一个数,求取到1的概率;

②从1～10中任意取一个整数,求取到1的概率;

③在一个正方形ABCD内画一点P,求点P刚好与点A重合的概率;

④向上抛掷一枚不均匀的硬币,求出现反面朝上的概率.

A.1  B.2  C.3  D.4

【解析】选A.古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的,并且每个样本点发生的可能性相等,故②是古典概型;④由于硬币质地不均匀,样本点发生的可能性不一定相等,故不是古典概型;①和③中的样本空间中的样本点的个数不是有限的,故不是古典概型.

【补偿训练】

1.下列不是古典概型的是 (　　)

A.从6名同学中,选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小

B.同时掷两颗骰子,点数和为7的概率

C.近三天中有一天降雨的概率

D.10个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率

【解析】选C.A、B、D为古典概型,因为都适合古典概型的两个特征:有限性和等可能性,而C不适合等可能性,故不为古典概型.

2.(2020·玉林高二检测)某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌,从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色,则所选颜色中含有白色的概率是              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选B.从黄、白、蓝、红 4 种颜色中任意选 2 种颜色的所有基本事件有{黄白},{黄蓝},{黄红},{白蓝},{白红},{蓝红},共 6 种.其中包含白色的有 3 种,选中白色的概率为.

2.设a是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数,b是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数,构成一个基本事件(a,b).记“这些基本事件中,满足logba≥1”为事件E,则E发生的概率是              (　　)

A.   B.  C.   D.

【解析】选B.分别从两个集合中取1个数字,共有4×3=12种结果,可以列举出所有满足logba≥1的事件,当b=2时,a=2,3,4,当b=3时,a=3,4,共有3+2=5个,所以根据古典概型的概率公式得到概率是.

3.从1,2,3,5,6,7中任意取三个数,则这三个数的和为偶数的概率为________. 

【解析】由题可知,所有可能的情况为:,,,

,,,,,,,,,,,,,,

,,,共计20个,其中符合题意的有:

,,,,,,

,,,,,,共计12个.

故这三个数的和为偶数的概率为:

P==0.6.

答案:0.6

4.从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为________. 

【解析】从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,基本事件总数n=4×4=16,抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10种,分别为:(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为=.

答案:

5.在一次“知识竞赛”活动中,有A1,A2,B,C四道题,其中A1,A2为难度相同的容易题,B为中档题,C为较难题. 现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答.

(1)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率;

(2)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.

【解析】由题意可知,甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题,所有可能的结果有16个,样本空间为Ω ={(A1,A1),(A1,A2),(A1,B),(A1,C),(A2,A1),(A2,A2),(A2,B),(A2,C),(B,A1),(B,A2),(B,B),(B,C),(C,A1),(C,A2),(C,B),(C,C)}.

(1)用M表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”,则M包含(A1,A1),(A1,A2),(A2,A1),(A2,A2),(B,B),(C,C),所以P(M)==.

(2)用N表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”,则N包含的基本事件有:(B,A1),(B,A2),(C,A1),(C,A2),(C,B).

所以P(N)=.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分,共20分)

1.古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木、木克土、土克水、水克火、火克金.”从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率为              (　　)

A.　  B.　   C.　   D.

【解析】选C.从五种不同属性的物质中随机抽取两种,样本空间为Ω ={(金,木)、(金,水)、(金,火)、(金,土)、(木,水)、(木,火)、(木,土)、(水,火)、(水,土)、(火,土) },共10种等可能发生的结果.其中金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,即相克的有5种,则不相克的也有5种,所以抽取的两种物质不相克的概率为.

2.甲、乙二人玩猜数字游戏,先由甲任想一数字,记为a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜出的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为              (　　)

A.   B.   C.  D.

【解析】选B.两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个,有16种情况,即样本空间中共包含16个样本点,且这16个样本点发生的可能性相等,其中满足|a-b|≤1的样本点有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),

(4,4),共10个,故他们“心有灵犀”的概率为=.

【补偿训练】

一个三位自然数,百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b<c时称为“凹数”(如213,312等),若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“凹数”的概率是              (　　)

A.   B.  C.   D.

【解析】选C.组成各个数位上的数字不重复的三位自然数如图所示:

由图可知样本空间中共含有24个样本点,而满足三位数是“凹数”的有214,213,312,314,324,412,413,423,共8个样本点,所以这个三位数为“凹数”的概率为=.

3.一袋中装有大小相同,且编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得的两个球的编号之和不小于15的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

【解析】选D.用(i,j)表示第一次取得的球编号为i,第二次取得的球编号为j的一个基本事件(i,j=1,2,3,…,8).则所有基本事件的总数n=64,其中取得的两个球的编号和不小于15的基本事件有(7,8),(8,7),(8,8)共3种,故所求的概率P=.

4.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,若第一次朝上一面的点数为a,第二次朝上一面的点数为b,则函数y=ax2-2bx+1在上为减函数的概率是(　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选D.函数y=ax2-2bx+1在上为减函数时,满足条件

因为第一次朝上一面的点数为a,第二次朝上一面的点数为b,所以a取1,2时,b可取1,2,3,4,5,6;a取3,4时,b可取2,3,4,5,6;a取5,6时,b可取3,4,5,6,共30种.

因为将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,共有36种等可能发生的结果,所以所求概率为=.

【补偿训练】

设a是掷一个骰子得到的点数,则方程x2+ax+2=0有两个不相等的实根的概率为(　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选A.试验的样本空间中包含的样本点的总数为6,若方程有两个不相等的实根,则a2-8>0,满足上述条件的a的取值为3,4,5,6,共4个样本点,故P==.

二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

5.以下对各事件发生的概率判断正确的是 (　　)

A.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏,则玩一局甲不输的概率是

B.每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,例如8=3+5,在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为

C.将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的概率是

D.从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是

【解析】选BCD.对于A,画树形图如下:

从树形图可以看出,所有可能出现的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,P(甲获胜)=,P(乙获胜)=,故玩一局甲不输的概率是,故A错误;对于B,不超过14的素数有2,3,5,7,11,13共6个,从这6个素数中任取2个,有2与3,2与5,2与7,2与11,2与13,3与5,3与7,3与11,3与13,5与7,5与11,5与13,7与11,7与13,11与13,共15种结果,其中和等于14的只有一组3与11,所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为,故B正确;对于C,基本事件总共有6×6=36种情况,其中点数之和是6的有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5种情况,则所求概率是,故C正确;

对于D,记三件正品为A1,A2,A3,一件次品为B,任取两件产品的所有可能为A1A2,A1A3,A1B,A2A3,A2B,A3B,共6种,其中两件都是正品的有A1A2,A1A3,A2A3,共3种,则所求概率为P==,故D正确.

6.下列关于各事件发生的概率判断正确的是 (　　)

A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为

B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是

C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为

D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为

【解析】选ABC.对于A,从甲、乙、丙三人中任选两人有(甲、乙),(甲、丙),(乙、丙),共3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率为P=,故A正确;对于B,从四条长度各异的线段中任取三条,每条被取出的可能性均相等,所以该试验属于古典概型.又所有基本事件包括(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)四种情况,而能构成三角形的基本事件只有(3,5,7)一种情况,所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=,故B正确;对于C,该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,所以获得食物的概率为=,故C正确;对于D,因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以由古典概型的概率公式得,所求的概率是,故D错误.

三、填空题(每小题5分,共10分)

7.把分别标有“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意地排成一排,则能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是________. 

【解析】“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意排成一排,共有=4×3×2×1=24种,故能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是P==.

答案:

8.现把某类病毒记作XmYn,其中正整数m,n可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为________. 

【解析】m取小于等于6的正整数,n取小于等于8的正整数,共有6×8=48种取法.m取到奇数的有1,3,5共3种情况;n取到奇数的有1,3,5,7共4种情况,

则m,n都取到奇数的方法种数为3×4=12种.

所以m,n都取到奇数的概率为=.

答案:

四、解答题(每小题10分,共20分)

9.(2020·长治高一检测)口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲胜,否则算乙胜.

(1)求甲胜且编号的和为6的事件发生的概率.

(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.

【解析】(1)设“甲胜且编号的和为6”为事件A.

甲编号为x,乙编号为y,(x,y)表示一个基本事件,则两人摸球结果包括(1,1),(1,2),(1,3),…,(1,5),(2,1),(2,2),…,(5,4),(5,5)共25个基本事件;A包括的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)共5个,所以P(A)==.

所以甲胜且编号的和为6的事件发生的概率为.

(2)这种游戏不公平.

设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件C.甲胜即两个编号的和为偶数所包含基本事件数为以下13个:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),

(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5).

所以甲胜的概率为P(B)=,

乙胜的概率为P(C)=1-=,

因为P(B)≠P(C),所以这种游戏规则不公平.

【补偿训练】

某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.

(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率.

(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.

【解析】(1)由题意知,从6个国家中任选2个国家,样本空间为Ω ={(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),

(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)},共15个.

所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点为:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3个.

则所求事件的概率为P==.

(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,其所有可能的结果组成的样本点有:

(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有:(A1,B2),(A1,B3),共2个,

则所求事件的概率为P=.

10.一个盒子中装有1个红球和2个白球,这3个球除颜色外完全相同,有放回地连续抽取2次,每次从中任意抽取出1个球,求:

(1)第一次取出白球,第二次取出红球的概率;

(2)取出的2个球是1红1白的概率;

(3)取出的2个球中至少有1个白球的概率.

【解析】设红球为数1(奇数),两个白球分别为2,4(偶数),则

(1)用A表示事件“第一次取出白球,第二次取出红球”,则P=.

(2)用B表示事件“取出的2个球是1红1白”,则P=.

(3)用C表示事件“取出的2个球中至少有1个白球”,则P=.

【补偿训练】

从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件,连续取两次.

(1)若每次取出后不放回,连续取两次,求取出的产品中恰有一件是次品的概率.

(2)若每次取出后又放回,求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率.

【解析】(1)每次取一件,取后不放回地连续取两次,样本空间为Ω ={(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2) },其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.由6个基本事件组成,而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件,则A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.

事件A由4个基本事件组成.因而P(A)==.

(2)有放回地连续取出两件,样本空间为Ω ={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1) }共9个基本事件.由于每一件产品被取到的机会均等,因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用B表示“恰有一件次品”这一事件,则B={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.事件B由4个基本事件组成,因而P(B)=.

1.“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”,讲的是西施浣纱的故事;“落雁”,指的就是昭君出塞的故事;“闭月”,是述说貂蝉拜月的故事;“羞花”,谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧,已知乙扮演杨贵妃,甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象,则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为________. 

【解析】全部结果为(甲-西施,丙-昭君,丁-貂蝉),(甲-西施,丙-貂蝉,丁-昭君),(甲-昭君,丙-西施,丁-貂蝉),(甲-昭君,丙-貂蝉,丁-西施),(甲-貂蝉,丙-昭君,丁-西施),(甲-貂蝉,丙-西施,丁-昭君),共6种,

其中满足条件的就1种,故所求事件的概率为.

答案:

2.某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选出三个科目作为选考科目.若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.某学校为了了解高一年级200名学生选考科目的意向,随机选取20名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如表:

(1)在选考方案确定的男生中,同时选考物理、化学、生物的人数有多少?

(2)从选考方案确定的男生中任选2名,试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.

【解析】(1)选考方案确定的男生中,同时选择“物理、化学和生物”的人数是2人.

(2)由数据可知,已确定选考科目的男生共5人.其中有2人选择“物理、化学和生物”,记为a1,a2;有1人选择“物理、化学和历史”,记为b;有2人选择“物理、化学和地理”,记为c1,c2.

从已确定选考科目的男生中任选2人,有a1a2,a1b,a1c1,a1c2,a2b,a2c1,a2c2,bc1,bc2,c1c2,共10种选法.

两位学生选考科目完全相同的选法种数有a1a2,c1c2,共2种选法.

设事件A:从已确定选考科目的男生中任选出2人,这两位学生选考科目完全相同.则P(A)==.

【补偿训练】

英国统计学家E.H.辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论,下面这个案例可以让我们感受到这个悖论.有甲乙两名法官,他们都在民事庭和行政庭主持审理案件,他们审理的部分案件被提出上诉.记录这些被上诉案件的终审结果如表所示(单位:件):

记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为x1,x2和x,记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为y1,y2和y,则下面说法正确的是              (　　)

A.x1<y1,x2<y2,x>y

B.x1<y1,x2<y2,x<y

C.x1>y1,x2>y2,x>y

D.x1>y1,x2>y2,x<y

【解析】选D.由题意,可得法官甲民事庭维持原判的案件率为x1=≈0.906,行政庭维持原判的案件率x2=≈0.847,总体上维持原判的案件率为x==0.86;法官乙民事庭维持原判的案件率为y1==0.9,行政庭维持原判的案件率为y2==0.8,总体上维持原判的案件率为y==0.88.所以x1>y1,x2>y2,x<y.