高中4.3 指数函数与对数函数的关系课时作业

这是一份高中4.3 指数函数与对数函数的关系课时作业，共9页。试卷主要包含了已知函数f=lg等内容，欢迎下载使用。

(15分钟 30分)
1.(2020·成都高一检测)已知函数f(x)=lg2x,若函数g(x)是f(x)的反函数,则f QUOTE =( )
A.1B.2C.3D.4
【解析】选B.由函数y=f(x)=lg2x ,把x与y互换,得x=lg2y(x∈R),可得y=2x,即g(x)=2x,
所以g(2)=22=4 ,
则f QUOTE =f(4)=lg24=2.
【补偿训练】
(2020·日照高一检测)已知函数f(x)=1+2lg x,则f(1)+f-1(1)=( )
A.0B.1C.2D.3
【解析】选C.根据题意:f QUOTE =1+2lg 1=1,
若f(x)=1+2lg x=1,解得x=1,
则f-1 QUOTE =1,故f QUOTE +f-1 QUOTE =1+1=2.
2.函数y= QUOTE 的反函数是( )
A.y= QUOTE (x∈R且x≠-4)
B.y= QUOTE (x∈R且x≠3)
C.y= QUOTE (x∈R且x≠ QUOTE )
D.y= QUOTE (x∈R且x≠- QUOTE )
【解析】选B.由y= QUOTE ,得x= QUOTE .
故所求反函数为y= QUOTE (x∈R且x≠3).
3.设y= QUOTE +m和y=nx-9互为反函数,那么m,n的值分别是( )
A.-6,3B.2,1C.2,3D.3,3
【解析】选D.求出y= QUOTE +m的反函数y=3x-3m,再与y=nx-9对比系数,得m=3,n=3.
4.函数f(x)是增函数,它的反函数是f-1(x),若a=f(2)+f-1(2),b=f(3)+f-1(3),则下面结论中正确的是( )
A.aC.a>bD.无法确定
【解析】选A.因为f(x)是增函数,故其反函数f-1(x)也是增函数,所以f(3)>f(2),f-1(3)>f-1(2),即b>a.
5.函数f(x)= QUOTE 的反函数是________.
【解析】函数的值域为[0,+∞),令y= QUOTE ,
将其中的x,y对调得x= QUOTE ,
解得y=4-x2,
所以反函数f-1(x)=4-x2(x≥0).
答案:f-1(x)=4-x2(x≥0)
6.若函数y=f(x)的反函数是y=- QUOTE (-1≤x≤0),求原函数的定义域和f(-1)的值.
【解析】因为原函数的定义域为反函数的值域,
又-1≤x≤0,
所以1≤2-x2≤2,
即y∈[- QUOTE ,-1].
令- QUOTE =-1,解得x=±1,
因为原函数的定义域为[- QUOTE ,-1],
所以x=-1.所以原函数y=f(x)的定义域为[- QUOTE ,-1],f(-1)=-1.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若f(x)为y=2-x的反函数,则f(x-1)的图像大致是( )
【解析】选C.由题意,f(x)的图像与y=2-x的图像关于y=x对称,即f(x)=l QUOTE x,所以f(x-1)的图像就是将f(x)=l QUOTE x右移一个单位得到.
2.函数f(x)与g(x)= QUOTE 互为反函数,则函数f(4-x2)的单调增区间是( )
A.(-∞,0]B.[0,+∞)
C.(-2,0]D.[0,2)
【解析】选D.因为f(x)与g(x)= QUOTE 互为反函数,所以f(x)=l QUOTE x,
所以f(4-x2)=l QUOTE (4-x2),x>0,
由4-x2>0,所以-2因为y=4-x2在[0,2)上是减函数,
所以f(x)在[0,2)上是增函数.
【补偿训练】
(2020·辛集高一检测)若y=f(x)是函数y=2x的反函数,则函数y=f(-x2+2x+3)的单调递增区间是( )

A.(-∞,1)B.(-3,-1)
C.(-1,1)D.(1,+∞)
【解析】选C.由y=f(x)是函数y=2x的反函数,
得y=f(x)=lg2x,
则y=f(-x2+2x+3)=lg2(-x2+2x+3),由-x2+2x+3>0,解得-1因为y=lg2u是增函数,u=-x2+2x+3在(-∞,1)上是增函数,所以y=lg2(-x2+2x+3)的递增区间为(-1,1).
3.(2020·潍坊高一检测)已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图像与函数y=lg2x的图像关于y=x对称,则g QUOTE +g QUOTE =( )
A.-7B.-9C.-11D.-13
【解析】选C.因为x>0时,f(x)的图像与函数y=lg2x的图像关于y=x对称,
所以x>0时,f(x)=2x,
所以x>0时,g(x)=2x+x2,又g(x)是奇函数,
所以g(-1)+g(-2)=-[g(1)+g(2)]
=-(2+1+4+4)=-11.
4.若函数y= QUOTE 的图像关于直线y=x对称,则a的值为( )
A.1B.-1C.2D.-2
【解析】选B.由y= QUOTE ,将x,y的位置互换得x= QUOTE ,
整理得y= QUOTE ,
则原函数的反函数是y= QUOTE ,
由题意知原函数与反函数相同,
所以 QUOTE = QUOTE ,解得a=-1.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.函数y=2|x|在下面的区间上,不存在反函数的是( )
A.[-1,1] B.(-∞,0]
C.[-2,4] D.[2,4]
【解析】选AC.函数若在区间上单调,则存在反函数,易知函数y=2|x|在[-1,1], [-2,4]上不单调.
6.函数y=f(x)是y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,则下列结论正确的是( )
A.f(x2)=2f(|x|)
B.f(2x)=f(x)+f(2)
C.f QUOTE =f(x)-f(2)
D.f(2x)=2f(x)
【解析】选ABC.因为函数y=f(x)是y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,所以f(x)=lgax,
所以f QUOTE =lga2x=lga2+lgax=f(x)+f(2)≠2f(x),B对D错;f QUOTE =lgax2=
2lga|x|=2f(|x|),A对;f QUOTE =lga QUOTE =lgax-lga2=f(x)-f(2),C对.
【补偿训练】
已知函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x-2,且f(a)=g(b)=0,则下列结论错误的是( )
A.a>b B.g(a)<0C.g(a)>0>f(b)D.a+b=2
【解析】选AC.因为函数y=ex,y=ln x,y=x-2都是增函数,所以f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x-2都是增函数,
又f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以0g(1)=ln 1+1-2=-1<0,g(2)=ln 2+2-2=ln 2>0,所以1所以0因为a0,所以g(a)<0令f(x)=ex+x-2=0,g(x)=ln x+x-2=0,则ex=2-x,ln x=2-x,
由于函数y=ex,y=ln x都和y=2-x相交,且y=ex和y=ln x关于直线y=x对称,又y=2-x和y=x的交点为(1,1),所以a+b=2,所以D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.设a>0且a≠1,若函数f(x)= QUOTE +2的反函数的图像经过定点P,则点P的坐标是________.
【解析】因为函数f(x)= QUOTE +2经过定点(1,3),
所以函数f(x)的反函数的图像经过定点P(3,1).
答案:(3,1)
【补偿训练】
若函数f(x)=lg2(x+1)+a的反函数的图像经过点(4,1),则实数a=________.
【解析】函数f(x)=lg2(x+1)+a的反函数的图像经过点(4,1),即函数f(x)=lg2(x+1)+a的图像经过点(1,4),
所以4=lg2(1+1)+a,
所以4=1+a,a=3.
答案:3
8.设点(9,3)在函数f(x)=lga(x-1)(a>0,a≠1)的图像上,则f(x)的反函数f-1(x)=________.
【解析】因为点(9,3)在函数f(x)=lga(x-1)(a>0,a≠1)的图像上,所以lga(9-1)=3,可得a=2,
则令函数f(x)=y=lg2(x-1),那么x=2y+1.
把x与y互换可得y=2x+1,
所以f(x)的反函数f-1(x)=2x+1.
答案:2x+1
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)= QUOTE 的定义域为(-∞,2].
(1)求函数f(x)的值域;
(2)求函数f(x)的反函数.
【解析】(1)f(x)的定义域为x≤2,0<2x≤4,
所以4≤8-2x<8,
所以 QUOTE 8< QUOTE ≤ QUOTE 4,
即-3< QUOTE ≤-2,故函数的值域为(-3,-2].
(2)由y= QUOTE ,将x,y互换,x=l QUOTE (8-2y)(-3整理得2y=8- QUOTE ,y=lg2 QUOTE ,
所以f-1(x)=lg2 QUOTE (-310.已知函数f(x)=lg(x+1).
(1)当x∈[1,9]时,求函数f(x)的反函数.
(2)若0【解析】(1)令y=f(x)=lg(x+1),
所以当x∈[1,9]时,y∈[lg 2,1],
且x+1=10y,即x=10y-1,
互换x,y得,y=10x-1,
所以,f-1(x)=10x-1,x∈[lg 2,1].
(2)不等式000,解得x∈ QUOTE ,
所以,原不等式中x的取值范围为: QUOTE .
1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)= QUOTE ,那么f -1(-9)的值为( )
A.2B.-2C.3D.-3
【解析】选A.设f -1(-9)=x,则f(x)=-9,
设x>0,则-x<0.
因为当x<0时,f(x)= QUOTE ,
所以f(-x)= QUOTE =3x.
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以
f(x)=-f(-x)=-3x.所以-3x=-9,故x=2.
2.已知函数f(x)=x2+bx+4满足f(1+x)=f(1-x),且函数g(x)=ax(a>0,且a≠1)与函数y=lg3x互为反函数.
(1)求函数f(x),g(x)的解析式;
(2)函数y=f(g(x))-m在x∈[-1,2]上有零点,求实数m的取值范围.
【解析】(1)由f(1+x)=f(1-x)知函数的对称轴- QUOTE =1,故b=-2;所以f(x)=x2-2x+4.
由函数g(x)=ax(a>0,且a≠1)与函数y=lg3x互为反函数,知a=3.故g(x)=3x.
(2)令t=3x,因为x∈[-1,2],所以t∈ QUOTE ,
则y=f(g(x))-m=t2-2t+4-m在t∈ QUOTE 上有零点,即函数y=m的图像与y=t2-2t+4的图像在t∈ QUOTE 上有交点,而y=(t-1)2+3,t∈ QUOTE ,
所以当t=1时,此时x=0,f(g(x))min=3,
当t=9时,此时x=2,f(g(x))max=67,
因此m的取值范围是 QUOTE .
【补偿训练】
已知函数f(x)=2x的反函数为f-1(x).
(1)若f-1(x)-f-1(1-x)=1,求实数x的值;
(2)若关于x的方程f(x)+f(1-x)-m=0在区间[1,2]内有解,求实数m的取值范围.
【解析】(1)由题意可得:f-1(x)=lg2x,
所以lg2x-lg2(1-x)=1⇒lg2 QUOTE =lg22,所以 QUOTE =2,解得x= QUOTE .
(2)由f(x)+f(1-x)-m=0可得:
m=2x+ QUOTE ,x∈[1,2].
令t=2x∈[2,4],所以m=t+ QUOTE ,
因为当t∈[2,4]时,函数m=t+ QUOTE 为增函数,
所以函数的最小值为3,最大值为 QUOTE ,
所以实数m的取值范围为 QUOTE .