高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.2 乘法公式与全概率公式测试题

www.ks5u.com课时素养检测九　乘法公式与全概率公式

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1.(多选题)在一次对一年级学生上、下两学期数学成绩的统计调查中发现，上、下两学期成绩均得优的学生占5%，仅上学期得优的占7.9%，仅下学期得优的占8.9%.则              (　　)

A.已知某学生上学期得优，则下学期也得优的概率为0.388

B.已知某学生上学期得优，则下学期也得优的概率为0.139

C.上、下两学期均未得优的概率为0.782

D.上、下两学期均未得优的概率为0.95

【解析】选AC.设A表示“上学期数学成绩得优”，B表示“下学期数学成绩得优”，则P(AB)=0.05，P(A)=0.079，P(B)=0.089，

所以P(A)=P(AB)+P(A)=0.05+0.079=0.129，

P(B)=P(AB)+P(B)=0.05+0.089=0.139，

P(B|A)==≈0.388，

P(B|)==≈0.102，

P( )=P()P(|)≈(1-0.129)(1-0.102)≈0.782.

2.根据以往资料，某一家3口患某种传染病的概率有以下特点：P(孩子得病)=0.6，P(母亲得病|孩子得病)=0.5，P(父亲得病|母亲及孩子得病)=0.4.则母亲及孩子得病但父亲未得病的概率为              (　　)

A.0.18   B.0.3   C.0.36   D.0.24

【解析】选A.设A={孩子得病}，B={母亲得病}，C={父亲得病}，则P(A)=0.6，P(B|A)=0.5，P(C|AB)=0.4，P(AB)=P(|AB)P(B|A)P(A)

=0.6×0.5×0.6=0.18.

3.设袋中有5个红球，3个黑球，2个白球，现有放回地摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸得白球的概率为              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选C.设A={第1次未摸得白球}，B={第2次未摸得白球}，C={第3次摸得白球}，则事件“第3次才摸得白球”可表示为ABC.

P(A)=，P(B|A)=，P(C|AB)=，

P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)

=××=.

4.某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是，在第一次闭合出现红灯的条件下第二次闭合还出现红灯的概率是，则两次闭合都出现红灯的概率为              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选A.记第一次闭合出现红灯为事件A，第二次闭合出现红灯为事件B，则P(A)=，P(B|A)=，所以P(AB)=P(B|A)·P(A)=×=.

5.设袋中含有5件同样的产品，其中3件正品，2件次品，每次从中取一件，无放回地连续取2次，则第2次取到正品的概率为              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选C.设事件A表示“第1次取到正品”，事件B表示“第2次取到正品”，B=BA+B，

所以P(B)=P(BA+B)=P(BA)+P(B)

=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.

6.某地区空气质量检测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.9，已知某天的空气质量为优良，且随后一天的空气质量也为优良的概率为，则连续两天为优良的概率是              (　　)

A.0.75   B.   C.   D.

【解析】选A.设“某天的空气质量为优良”是事件A，“随后一天的空气质量为优良”是事件B，由题意可得P(A)=0.9，P(B)=，所以连续两天为优良的概率P(AB)=P(B)P(A)=0.9×=0.75.

二、填空题(每小题5分，共10分)

7.袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，进行不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________. 

【解析】记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才能取到黄球”为事件C，

所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.

答案：

8.已知在所有男子中有5%的人患有色盲症，在所有女子中有0.25%的人患有色盲症.随机抽一人发现患色盲症的概率为________(设男子与女子的人数相等). 

【解析】设A表示“男子”，B表示“女子”，C表示“这人患色盲症”，

则P(C|A)=0.05，P(C|B)=0.002 5，P(A)=0.5，

P(B)=0.5，则P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)

=0.5×0.05+0.5×0.002 5=0.026 25.

答案：0.026 25

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球.如果不放回地依次取出2个球.回答下列问题：

(1)第一次取出的是黑球的概率；

(2)第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率；

(3)在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率.

【解析】依题意，设事件A表示“第一次取出的是黑球”，设事件B表示“第二次取出的是白球”.

(1)黑球有3个，球的总数为5个，所以P(A)=；

(2)第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为P(AB)=×=；

(3)在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率为P(B|A)===.

10.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品.

(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率.

(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率.

【解析】(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为=28，这2个产品都是次品的事件数为=3，所以这2个产品都是次品的概率为.

(2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥.P(B1)==，P(B2)==，P(B3)==，P(A|B1)=，P(A|B2)=，P(A|B3)=，所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+×=.

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1.8支步枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校准的步枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8支中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选B.设A表示“射击时中靶”，B1表示“使用的枪校准过”，B2表示“使用的枪未校准”，则B1，B2是Ω的一个划分.

则P(A)=P(AB1)+P(AB2)

=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)

=0.8×+0.3×=，

所以P(B1|A)==

==.

2.一批同型号的螺钉由编号为1，2，3的三台机器共同生产，各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别为35%，40%，25%，各台机器生产的螺钉次品率分别为3%，2%和1%，现从这批螺钉中抽到一颗次品，则次品来自2号机器生产的概率为              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选B.设A={螺钉是次品}，B1={螺钉由1号机器生产}，B2={螺钉由2号机器生产}，B3={螺钉由3号机器生产}，

则P(B1)=0.35，P(B2)=0.40，P(B3)=0.25，

P(A|B1)=0.03，P(A|B2)=0.02，P(A|B3)=0.01，

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+

P(A|B3)P(B3)=0.03×0.35+0.02×0.40+0.01×0.25=0.021，

所以P(B2|A)==.

3.(多选题)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的有              (　　)

A.P(B)=

B.P(B|A1)=

C.事件B与事件A1是互斥事件

D.A1，A2，A3是两两互斥的事件

【解析】选BD.由题意知A1，A2，A3是两两互斥的事件，P(A1)==，P(A2)==，P(A3)=，

P(B|A1)=，P(B|A2)=，P(B|A3)=，而

P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+

P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×=.事件B与事件A1不是互斥事件.

4.根据以往临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果，若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”.且有P(A|C)=0.95，P(|)=0.95.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)=0.005，则P(C|A)约为              (　　)

A.0.05   B.0.95   C.0.087   D.0.995

【解析】选C.因为P(A|C)=0.95，P(C)=0.005，P(|)=0.95，则P(A|)=1-P(|)=0.05，P()=0.995，

所以P(C|A)==≈0.087.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5.某保险公司认为，人可以分为两类，第一类容易出事故；另一类，则是比较谨慎，保险公司统计数字表明，一个容易出事故的人在一年内出一次事故的概率为0.04，而对于比较谨慎的人这个概率为0.02，如果第一类人占总人数的30%，那么一客户在购买保险单后一年内出一次事故的概率为________. 

【解析】设A表示“客户购买保险单后一年内出一次事故”，B表示“他属于容易出事故的人”.

P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=0.3×0.04+(1-0.3)×0.02=0.026.

答案：0.026

6.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应，由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占的比例为2∶3∶5，混合在一起，从中任取一件，则此产品为正品的概率为________；现取到一件产品为正品，则它是由甲、乙、丙三个厂中________厂生产的可能性大. 

【解析】设事件A表示“取到产品为正品”，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”.

由已知P(B1)=0.2，P(B2)=0.3，P(B3)=0.5，

P(A|B1)=0.95，P(A|B2)=0.9，

P(A|B3)=0.8，P(A)=P(Bi)P(A|Bi)

=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86.

P(B1|A)==≈0.220 9，

P(B2|A)==≈0.314 0，

P(B3|A)==≈0.465 1，

0.465 1>0.314 0>0.220 9，故由丙厂生产的可能性最大.

答案：0.86　丙

三、解答题(每小题10分，共30分)

7.有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？

【解析】设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i=1，2，3.

由全概率公式得P(A)=P(B1)P(A|B1)+

P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3).

P(B1)=0.3，P(B2)=0.5，P(B3)=0.2，

P(A|B1)=0.02，P(A|B2)=0.01，P(A|B3)=0.01，

故P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+

P(B3)P(A|B3)=0.3×0.02+0.5×0.01+0.2×0.01=0.013.

8.在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若考生至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率.

【解析】设事件A为“该考生6道题全答对”，

事件B为“该考生答对了其中5道题而另一道答错”，

事件C为“该考生答对了其中4道题而另2道题答错”，

事件D为“该考生在这次考试中通过”，

事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，

且D=A∪B∪C，E=A∪B，

所以P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=，

P(E|D)=P((A∪B)|D)=P(A|D)+P(B|D)=+=+=，

即所求概率为.

9.轰炸机轰炸某目标，它能飞到距目标400，200，100(米)的概率分别是0.5，0.3，0.2，又设它在距目标400，200，100(米)时的命中率分别是0.01，0.02，0.1.求目标被命中的概率.

【解析】设事件A1表示“飞机能飞到距目标400米处”，设事件A2表示“飞机能飞到距目标200米处”，

设事件A3表示“飞机能飞到距目标100米处”，

用事件B表示“目标被击中”.

由题意，P(A1)=0.5， P(A2)=0.3， P(A3)=0.2，且A1、A2、A3构成一个完备事件组.又已知 P(B|A1)=0.01，P(B|A2)=0.02， P(B|A3)=0.1.

由全概率公式得到：P(B)=P(B|A1)P(A1)+

P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=0.01×0.5+0.02×0.3+0.1×0.2=0.031.