数学人教B版 (2019)4.3.1 一元线性回归模型精练

www.ks5u.com课时素养检测十七　一元线性回归模型

(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1.(多选题)下列选项中正确的是 (　　)

A.回归直线方程=x+必经过(，)

B.相关系数r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强

C.标准差越大，表明样本数据越稳定

D.相关系数r>0，表明两个变量正相关，r<0，表明两个变量负相关

【解析】选ABD.因为回归直线方程必过样本中心点(，)，所以A正确；线性相关系数r的绝对值越接近1时，两个随机变量线性相关性越强，因此B正确；标准差越大，数据的离散程度越大，越不稳定，故C错误；相关系数r>0，表明两个变量正相关，r<0，表明两个变量负相关，故D正确.

2.相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程=1x+1，相关系数为r1；方案二：剔除点(10，21)，根据剩下数据得到回归直线方程：=2x+2，相关系数为r2.则

A.0<r1<r2<1   B.0<r2<r1<1

C.-1<r1<r2<0   D.-1<r2<r1<0

【解析】选D.由题干中散点图得负相关，

所以r1<0，r2<0，

因为剔除点(10，21)后，剩下数据更具有线性相关性，|r|更接近1，所以-1<r2<r1<0.

3.新中国成立70多年来，在中国共产党的领导下，全国各族人民团结一心，迎难而上，开拓进取，奋力前行，创造了一个又一个人类发展史上的伟大奇迹，中华民族迎来了从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃.某公司统计了第x年(2013年是第一年)的经济效益为y(千万元)，得到如下表格：

若由表中数据得到y关于x的回归直线方程是=mx+0.35，则可预测2020年经济效益大约是 (　　)

A.5.95千万元   B.5.25千万元

C.5.2千万元    D.5千万元

【解析】选A.由表格中的数据得==4.5，==3.5.

所以样本中心点的坐标为(4.5，3.5)，代入=mx+0.35，得3.5=4.5m+0.35，解得m=0.7.

所以回归直线方程为=0.7x+0.35，取x=8，得=5.95.

4.以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=ln y，将其变换后得到回归直线方程=0.2x+3，则c，k的值分别是              (　　)

A.e2，0.6    B.e2，0.3

C.e3，0.2    D.e4，0.6

【解析】选C.因为y=cekx，等式两边同时取对数可得ln y=ln(cekx)

=ln c+ln ekx=kx+ln c，

设z=ln y，则上式可化为z=kx+ln c，

因为z=0.2x+3，则k=0.2，ln c=3，

所以c=e3，k=0.2.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5.已知x与y之间的一组数据：

则y与x的回归直线=x+必过点________. 

【解析】由数据可知=(2+5+7+10)=6；=(1+3+5+7)=4，故回归直线必过点(6，4).

答案：(6，4)

6.某设备的使用年限x与所支出的维修费用y的统计数据如表：

根据上表可得回归直线方程为=1.3x+，据此模型预测，若使用年限为14年，估计维修费约为________万元. 

【解析】==4，

==5，

则样本中心点为(4，5)，代入回归直线方程可得=5-1.3×4=-0.2，=1.3x-0.2.

当x=14时，=1.3×14-0.2=18(万元)，

即使用14年时，估计维修费用是18万元.

答案：18

三、解答题

7.(10分)百年大计，教育为本.某校积极响应教育部号召，不断加大拔尖人才的培养力度，为清华、北大等排名前十的名校输送更多的人才.该校成立特长班进行专项培训.据统计有如下表格.(其中x表示通过自主招生获得降分资格的学生人数，y表示被清华、北大等名校录取的学生人数)

(1)通过画散点图发现x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的回归直线方程；(保留两位有效数字)

(2)若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人，预测2019年高考该校考入名校的人数；

(3)若从2014年和2018年考入名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传，在选取的5个人中再选取2人进行演讲，求进行演讲的两人是2018年毕业的人数ξ的分布列和期望.

参考公式：=，=-；

参考数据：=53，=103，xiyi=27 797，=14 325.

【解析】(1)===≈1.79，=103-×53≈7.98，

所以回归直线方程为=1.79x+7.98.

(2)当x=61时，=1.79×61+7.98≈117，

所以预测2019年高考该校考入名校的人数约为117.

(3)从2014年和2018年考入名校的学生中分别选取2人和3人，进行演讲的两人中是2018年毕业的人数ξ的所有可能取值为0，1，2，P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，ξ的分布列为

E(ξ)=0×+1×+2×=.

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1.已知一组样本点(xi，yi)，其中i=1，2，3，…，30.根据最小二乘法求得的回归直线方程是=x+，则下列说法正确的是(　　)

A.若所有样本点都在=x+上，则变量间的相关系数为1

B.至少有一个样本点落在回归直线=x+上

C.对所有的预报变量xi(i=1，2，3，…，30)对应的估计值xi+的值一定与yi有误差

D.若=x+斜率>0，则变量x与y正相关

【解析】选D.选项A：若所有样本点都在=x+上，则变量间的相关系数|r|=1，相关系数r=±1，故A错误.选项B：回归直线必过样本中心点，但样本点可能都不在回归直线上，故B错误.

选项C：样本点可能在直线=x+上，即可以存在预报变量xi对应的估计值xi+与yi没有误差，故C错误.

选项D：相关系数r与符号相同，若=x+斜率>0，则r>0，样本点分布从左至右上升，变量x与y正相关，故D正确.

2.已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：

根据上表可得回归直线方程=x+，计算得=7，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为 (　　)

A.75万元    B.85万元

C.99万元    D.105万元

【解析】选B.由题意得=(2+4+5+6+8)=5，=(30+40+50+60+70)=50，

所以样本中心点为(5，50).

因为回归直线过样本中心点(5，50)，

所以50=7×5+，解得=15，

所以回归直线方程为=7x+15.当x=10时，=7×10+15=85，故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元.

3.(多选题)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据(i=1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归直线方程为=0.85x-85.71，则下列结论中正确的是              (　　)

A.y与x具有正的线性相关关系

B.回归直线过样本中心点(，)

C.若该大学某女生身高增加2 cm，则其体重约增加1.70 kg

D.若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg

【解析】选ABC.根据y与x的回归直线方程为=0.85x-85.71，其中0.85>0说明y与x具有正的线性相关关系，A正确；

回归直线过样本中心点(，)，B正确；

由回归直线方程知，若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg，那么若该大学某女生身高增加2 cm，则其体重约增加1.70 kg，故C正确；

若该大学某女生身高为170 cm，

则可预测其体重为58.79 kg，不可断定其体重必为58.79 kg，D错误.

4.已知5个学生的数学和英语成绩如下表：

则数学与英语成绩之间 (　　)

A.是函数关系

B.是相关关系，但相关性很弱

C.具有较好的相关关系，且是正相关

D.具有较好的相关关系，且是负相关

【解析】选C.由题意，设数学成绩和英语成绩分别为x，y，画出散点图，如图所示，

从散点图上可以看出数学成绩和英语成绩具有较好的相关关系，且是正相关.

二、填空题(每小题5分，共20分)

5.用线性回归模型求得甲、乙、丙3组不同数据的线性相关系数分别为0.81，-0.98，0.63，其中________(填甲、乙、丙中的一个)组数据的线性相关性最强. 

【解析】当数据的相关系数的绝对值越趋向于1，则相关性越强.

因为甲、乙、丙3组不同数据的线性相关系数分别为0.81，-0.98，0.63，

所以乙线性相关系数的绝对值最接近1，

所以乙组数据的线性相关性最强.

答案：乙

6.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：

由表中数据，求得回归直线方程=0.65x+，根据回归直线方程，预测加工70个零件所花费的时间为________分钟. 

【解析】由题意可得==30，==76，由回归直线过样本点中心，

所以有76=0.65×30+，故=56.5，所以=0.65x+56.5；

当x=70时，=0.65×70+56.5=102.

答案：102

7.某公司调查了商品A的广告投入费用x(万元)与销售利润y(万元)的统计数据，如下表：

由表中的数据得回归直线方程为=x+，则当x=7时销售利润y的估值为________万元. 

其中：=

【解析】由题表中数据可得：==4，==8，所以=

==1.4，

所以=-=8-1.4×4=2.4，

故回归直线方程为=1.4x+2.4，

所以当x=7时，=1.4×7+2.4=12.2.

答案：12.2

8.在研究两个变量的相关关系时，观察散点图，发现样本点集中于某一条曲线y=ebx+a的周围，令z=ln y，求得回归直线方程=0.25x-2.58，则该模型的回归方程为________　. 

【解析】由回归直线方程=0.25x-2.58得：ln =0.25x-2.58，

整理得：=e0.25x-2.58，

所以该模型的回归方程为=e0.25x-2.58.

答案：=e0.25x-2.58

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.某公司为了预测下月产品销售情况，找出了近7个月的产品销售量y(单位：万件)的统计表：

但其中数据污损不清，经查证yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55.

(1)请用相关系数说明销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系；

(2)求y关于t的回归直线方程(系数精确到0.01)；

(3)公司经营期间的广告宣传费xi=(单位：万元)(i=1，2，…，7)，每件产品的销售价为10元，预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由.(毛利润等于销售金额减去广告宣传费)

参考公式及数据：≈2.646，相关系数r=，当|r|>0.75时认为两个变量有很强的线性相关关系，回归直线=t+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=-.

【解析】(1)由表中的数据和附注中的参考数据得=4，

=28，=0.55，

=tiyi-yi=40.17-4×9.32=2.89，

所以r=≈≈0.99，

因为0.99>0.75，所以销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系.

(2)由=≈1.331及(1)得==≈0.103≈0.10，

=-=1.331-0.103×4≈0.92，

所以y关于t的回归直线方程为=0.10t+0.92.

(3)不能.当t=8时，代入回归直线方程得=0.10×8+0.92=1.72(万件)，

第8个月的毛利润为z=10×1.72-≈14.372，

14.372<15，预测第8个月的毛利润不能突破15万元.

10.某农场经过观测得到水稻产量y和施化肥量x的统计数据如下：

求：(1)水稻产量y与施化肥量x的相关系数，并判断相关性的强弱；

(2)y关于x的回归直线方程.

附：①相关系数及线性回归直线方程系数公式：r=，

②参考数据：=7 000，=1 132 725，xiyi=87 175.

【解析】(1)==30，

==，

故r=

=

≈0.97，故具有很强的相关性.

(2)==

=4.75，

故=-4.75×30≈257，

故回归直线方程为=4.75x+257.