高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.1 基本计数原理课后作业题

www.ks5u.com课时素养检测一　基本计数原理

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1.从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为              (　　)

A.13   B.16   C.24   D.48

【解析】选A.由分类加法计数原理可知，不同走法种数为8+2+3=13.

2.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有              (　　)

A.24种   B.18种   C.12种   D.6种

【解析】选B.种植黄瓜有3种不同的种法，其余两块地从余下的3种蔬菜中选2种种植有3×2=6种不同种法.由分步乘法计数原理知共有3×6=18种不同的种植方法.

3.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与该平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是              (　　)

A.48   B.18   C.24   D.36

【解析】选D.分类讨论：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12=24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36(个).

4.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有              (　　)

A.280种   B.240种   C.180种   D.96种

【解析】选B.由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3=240种不同的选派方案.

5.已知直线方程Ax+By=0，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示出的不同直线的条数为              (　　)

A.19   B.20   C.21   D.22

【解析】选D.当A或B中有一个为零时，则可表示出2条不同的直线；当AB≠0时，A有5种选法，B有4种选法，则可表示出5×4=20条不同的直线.由分类加法计数原理知，共可表示出20+2=22条不同的直线.

6.4名学生参加跳高、跳远、游泳比赛，4人都来争夺这三项冠军，则冠军分配的种数有 (　　)

A.16   B.132   C.48   D.64

【解析】选D.本题中要完成的一件事：“将比赛的各项冠军逐一分配给4名参赛学生”.

因为跳高冠军的分配有4种不同的方法；

跳远冠军的分配有4种不同的方法；

游泳冠军的分配有4种不同的方法.

所以根据分步乘法计数原理，冠军的分配方法有4×4×4=64(种).

二、填空题(每小题5分，共10分)

7.某城市的电话号码，由七位升为八位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是_______. 

【解析】电话号码是七位数字时，该城市可安装电话9×106部，同理升为八位时为9×107.所以可增加的电话部数是9×107-9×106=81×106=8.1×107.

答案：8.1×107

8.某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息.

若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有_______种坐法；若小明与爸爸分别坐下，有________种坐法. 

【解析】小明爸爸选凳子可以分两类：

第一类，选东面的空闲凳子，有8种坐法；

第二类，选西面的空闲凳子，有6种坐法.

根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8+6=14种坐法.

小明与爸爸分别坐下，可以分两步完成：

第一步，小明先坐下，从东西面共8+6=14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)

第二步，小明爸爸再坐下，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法.

由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13=182种坐法.

答案：14　182

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.有一项活动，需从3位老师、8名男同学和5名女同学中选人参加.

(1)若只需1人参加，则有多少种不同的选法？

(2)若需老师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？

(3)若需1位老师、1名同学参加，则有多少种不同的选法？

【解析】(1)选1人，可分三类：第一类，从老师中选1人，有3种不同的选法；第二类，从男同学中选1人，有8种不同的选法；第三类，从女同学中选1人，有5种不同的选法.共有3+8+5=16种不同的选法.

(2)选老师、男同学、女同学各1人，则分三步进行：第一步，选老师，有3种不同的选法；第二步，选男同学，有8种不同的选法；第三步，选女同学，有5种不同的选法.共有3×8×5=120种不同的选法.

(3)选1位老师、1名同学，可分两步进行：第一步，选老师，有3种不同的选法；第二步，选同学，有8+5=13种不同的选法.共有3×13=39种不同的选法.

10.用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在①，②，③，④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色.

(1)若n=6，则为甲着色时共有多少种不同方法？

(2)若为乙着色时共有120种不同方法，求n.

【解析】完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为①，②，③，④着色时各自的方法数，再由分步乘法计数原理确定总的着色方法数.

(1)为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也有4种方法.

所以共有着色方法6×5×4×4=480(种).

(2)与(1)的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是n(n-1)(n-2)(n-3)，由n(n-1)(n-2)(n-3)=120，得(n2-3n)(n2-3n+2)-120=0，

即(n2-3n)2+2(n2-3n)-12×10=0.

所以n2-3n-10=0(不合题意的，舍去)，

所以n=5(负值舍去).

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1.设集合A={1，2，3，…，10}，若方程x2-bx-c=0满足b，c属于A，且方程至少有一个根a属于A，称方程为漂亮方程，则漂亮方程的总个数为              (　　)

A.8   B.10   C.12   D.14

【解析】选C.当c=2 时，有2×1=2，b=2-1=1，则漂亮方程为x2-x-2=0；

当c=3时，有3×1=3，b=3-1=2，则漂亮方程为x2-2x-3=0；

当c=4时，有4×1=4，b=4-1=3，则漂亮方程为x2-3x-4=0；

当c=5时，有5×1=5，b=5-1=4，则漂亮方程为x2-4x-5=0；

当c=6时，有6×1=6，b=6-1=5，则漂亮方程为x2-5x-6=0，

同时，有2×3=6，b=3-2=1，则漂亮方程为x2-x-6=0；

当c=7时，有7×1=7，b=7-1=6，则漂亮方程为x2-6x-7=0；

当c=8时，有8×1=8，b=8-1=7，则漂亮方程为x2-7x-8=0，

同时，有2×4=8，b=4-2=2，则漂亮方程为x2-2x-8=0；

当c=9时，有9×1=9，b=9-1=8，则漂亮方程为x2-8x-9=0；

当c=10时，有10×1=10，b=10-1=9，则漂亮方程为x2-9x-10=0，

同时，有2×5=10，b=5-2=3，则漂亮方程为x2-3x-10=0.

综合可得，共12个漂亮方程.

2.用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由分类加法计数原理及分步乘法计数原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法是              (　　)

A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5

B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5

C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)

D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)

【解析】选A.因为无区别，所以取红球的方法数为1+a+a2+a3+a4+a5；因为蓝球要都取出，或都不取出，所以方法为1+b5，因为黑球有区别，因此，取黑球的方法数为(1+c)5，所以所有取法数为(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5.

3.用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有              (　　)

A.4 320种   B.2 880种

C.1 440种   D.720种

【解析】选A.分步进行：1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法.

根据分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×3×3×4=4 320种不同的涂色方法.

4.在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用5局3胜制的比赛规则，先赢3局者获胜，直到决出胜负为止.若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有              (　　)

A.6种   B.12种   C.18种   D.20种

【解析】选D.分三种情况：恰好打3局(一人赢3局)，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2×3=6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2×=12种情形.所有可能出现的情形共有2+6+12=20(种).

二、填空题(每小题5分，共20分)

5.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案有________种. 

【解析】完成承建任务可分五步：

第一步，安排1号有4种；

第二步，安排2号有4种；

第三步，安排3号有3种；

第四步，安排4号有2种；

第五步，安排5号有1种.

由分步乘法计数原理知，共有4×4×3×2×1=96(种).

答案：96

6.现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________. 

【解析】因为正整数m，n满足m≤7，n≤9，所以(m，n)所有可能的取值有7×9=63(种)，其中m，n都取到奇数的情况有4×5=20(种)，因此所求概率为.

答案：

7.(创新型)若m，n均为非负整数，在做m+n的加法时各位均不进位(例如：134+3 802=3 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m+n称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是________. 

【解析】第1步，1=1+0，1=0+1，共2种组合方式；

第2步，9=0+9，9=1+8，9=2+7，9=3+6，…，9=9+0，共10种组合方式；第3步，4=0+4，4=1+3，4=2+2，4=3+1，4=4+0，共5种组合方式；第4步，2=0+2，2=1+1，2=2+0，共3种组合方式.根据分步乘法计数原理，值为1 942的“简单的”有序对的个数为2×10×5×3=300.

答案：300

8.x+y+z=10的正整数解的组数为________. 

【解析】可按x的值分类：

当x=1时，y+z=9，共有8组；

当x=2时，y+z=8，共有7组；

当x=3时，y+z=7，共有6组；

当x=4时，y+z=6，共有5组；

当x=5时，y+z=5，共有4组；

当x=6时，y+x=4，共有3组；

当x=7时，y+z=3，共有2组；

当x=8时，y+z=2，共有1组.

由分类加法计数原理可知：共有8+7+6+5+4+3+2+1==36(组).

答案：36

三、解答题(每小题10分，共30分)

9.某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人.

(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？

(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？

【解析】从O型血的人中选1人有28种不同的选法；

从A型血的人中选1人有7种不同的选法；

从B型血的人中选1人有9种不同的选法；

从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.

(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理.有28+7+9+3=47种不同的选法.

(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理.有28×7×9×3=5 292种不同的选法.

10.已知集合M={-3，-2，-1，0，1，2}，若a，b，c∈M，则：

(1)y=ax2+bx+c可以表示多少个不同的二次函数？

(2)y=ax2+bx+c可以表示多少个图像开口向上的二次函数？

【解析】(1)y=ax2+bx+c表示二次函数时，a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y=ax2+bx+c可以表示5×6×6=180个不同的二次函数.

(2)当y=ax2+bx+c的图像开口向上时，a的取值有2种情况，b，c的取值均有6种情况，因此y=ax2+bx+c可以表示2×6×6=72个图像开口向上的二次函数.

11.现有高三年级四个班的学生共34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.

(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？

(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？

(3)推选二人作发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？

【解析】(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.所以，共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种).

(2)分四步：第一、二、三、四步分别为从一、二、三、四班的学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N=7×8×9×10=5 040(种).

(3)分六类：每类又分两步，从一、二班的学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班的学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班的学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班的学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班的学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班的学生中各选1人，有9×10种不同的选法.所以共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种).