高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计本章综合与测试课堂检测

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计本章综合与测试课堂检测，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

www.ks5u.com
单元素养检测(二)
(第四章)
(120分钟　150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)
1.一盒中装有5张彩票，其中2张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票.设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则P(B|A)= (　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，
所以P(B|A)=.
2.设随机变量X～B，则P(X=3)等于 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.由二项分布概率公式可得：P(X=3)=××=20×=.
3.在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若P(0<ξ<1)=0.4，则P(0<ξ<2)= (　　)
A.0.4 B.0.8 C.0.6 D.0.2
【解析】选B.由正态分布的图像和性质得P(0<ξ<2)=2P(0<ξ<1)=2×0.4=0.8.
4.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由χ2=算得，
χ2=≈7.8
附表：
P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是 (　　)
A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
【解析】选A.由χ2≈7.8>6.635，
而P(χ2≥6.635)=0.010，
故由独立性检验的意义可知选A.
5.袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.从6个球中摸出2个，共有=15种结果，两个球的号码之和是3的倍数，共有(1，2)，(1，5)，(2，4)，(3，6)，(4，5)，
所以摸一次中奖的概率是=，
5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是，所以有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是··=.
6.某市环保局举办“六·五”世界环境日宣传活动，进行现场抽奖.抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案.参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“绿色环保标志”卡即可获奖.已知从盒中抽两张都不是“绿色环保标志”卡的概率是.现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽，用ξ表示获奖的人数，那么E(ξ)+D(ξ)= (　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.设盒中装有10张大小相同的精美卡片，其中印有“环保会徽”的有n张，“绿色环保标志”图案的有10-n张，由题意得=，解得n=6，
所以参加者每次从盒中抽取卡片两张，获奖概率P==，
所以现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽，用ξ表示获奖的人数，则ξ～B，
所以E(ξ)+D(ξ)=4×+4××=.
7.盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取i(i=1，2)个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数Xi(i=1，2)，则 (　　)
A.P>P，E(X1)>E(X2)
B.PE(X2)
C.P>P，E(X1) D.P 【解析】选C.X1=3表示取出的为一个白球，
所以P==.X1=2表示取出一个黑球，
P==，
所以E(X1)=3×+2×=.X2=3表示取出两个球，其中一黑一白，P==，X2=2表示取出两个球为黑球，P==，X2=4表示取出两个球为白球，P(X2=4)==，
所以E(X2)=3×+2×+4×=.
所以P(X1=3)>P(X2=3)，E(X1) 8.已知变量x，y的关系可以用模型y=cekx拟合，设z=ln y，其变换后得到一组数据如表：
x
16
17
18
19
z
50
34
41
31
由表可得回归直线方程=-5x+，则c= (　　)
A.-5 B.e-5 C.126.5 D.e126.5
【解析】选D.==17.5，
==39，代入=-5x+得39=-5×17.5+，解得=126.5.所以=-5x+126.5.
由y=cekx，得ln y=ln(cekx)=ln c+
ln ekx=ln c+kx，令z=ln y，则z=ln c+kx，
所以ln c=126.5，则c=e126.5.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如表所示的列联表.经计算χ2≈4.762，则可以推断出 (　　)

A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为
B.调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意
C.有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D.有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
【解析】选AC.对于选项A，该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为=，故A正确；
对于选项B，该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为=>，故B错误；
因为χ2≈4.762>3.841，所以有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异，故C正确，D错误.
10.如图所示的电路中，5只盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E.盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的
是 (　　)

A.A，B两个盒子串联后畅通的概率为
B.D，E两个盒子并联后畅通的概率为
C.A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为
D.当开关合上时，整个电路畅通的概率为
【解析】选ACD.由题意知，P(A)=，P(B)=，
P(C)=，P(D)=，P(E)=，所以A，B两个盒子畅通的概率为×=，因此A正确；D，E两个盒子并联后畅通的概率为1-×=1-=，因此B错误；A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为1-×=1-=，C正确；根据上述分析可知，当开关合上时，电路畅通的概率为×=，D正确.
11.下列命题中，正确的命题的是 (　　)
A.已知随机变量服从二项分布B(n，p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p=
B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C.设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ>1)=p，则P(-1<ξ≤0)=-p
D.某人在10次射击中，击中目标的次数为X，
X～B(10，0.8)，则当X=8时概率最大
【解析】选BCD.对于选项A：随机变量服从二项分布B(n，p)，E(X)=30，D(X)=20，可得np=30，np(1-p)=20，则p=，故选项A错误；
对于选项B：根据公式易知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，一般地，E(aξ+b)=aE(ξ)+b，D(aξ+b)=a2D(ξ)(a，b为常数)，故选项B正确；
对于选项C：随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，则图像关于y轴对称，若P(ξ>1)=p，
则P(0<ξ<1)=-p，
即P(-1<ξ<0)=-p，故选项C正确；
对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B(10，0.8)，当X=k时，对应的概率P(X=k)=×0.8k×0.210-k，
所以当k≥1时，==，
由=≥1得，44-4k≥k，即1≤k≤，
因为k∈N*，所以1≤k≤8且k∈N*，即k=8时，概率P(X=8)最大，故选项D正确.
12.下列说法中，正确的命题是 (　　)
A.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P=0.84，则P=0.16.
B.以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=ln y，将其变换后得到回归直线方程=0.3x+4，则c，k的值分别是e4和0.3.
C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为=+x，若=2，=1，=3，则=1.
D.若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的方差为16
【解析】选BC.因为随机变量ξ服从正态分布
N，P=0.84，
所以P=P-0.5=0.84-0.5=0.34≠0.16，即A错；
因为y=cekx，所以ln y=ln(cekx)，所以ln y=kx+ln c，因为=0.3x+4，所以ln y=0.3x+4，从而k=0.3，ln c=4，所以k=0.3，c=e4，即B正确；
因为=+x过(，)，所以3=+，因为=2，
所以=1，即C正确；
因为样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，
所以数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的方差为2×22=8，即D错误.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知x，y取值如表：
x
0
1
3
5
6
y
1
m
3m
5.6
7.4
画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归直线方程为=x+1，则m=________. 
【解析】计算=×(0+1+3+5+6)=3，
=×(1+m+3m+5.6+7.4)=，
所以这组数据的样本中心点是，
又y与x的回归直线方程=x+1过样本中心点，
所以=1×3+1，解得m=.
答案：
14.在西非，“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小动物进行试验，得到列联表如表：

感染
未感染
总计
服用
5
45
50
未服用
15
35
50
总计
20
80
100
附：χ2=
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635
根据题表，有________的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”. 
【解析】由题中数据可得χ2
===6.25
>5.024，
根据临界值表可得：犯错误的概率不超过0.025.
即有97.5%的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”.
答案：97.5%
15.设离散型随机变量X可能取的值为1，2，3，4.P(X=k)=ak+b(k=1，2，3，4).又X的数学期望E(X)=3，则a+b=________. 
【解析】依题意得E(X)=1·(a+b)+2·(2a+b)+
3·(3a+b)+4·(4a+b)=3，且概率和(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1，解得a=，b=0，a+b=.
答案：
16.在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为.则其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率为________；甲、乙2名学生都选做第22题的概率为________. 
【解析】设事件A表示“甲选做第22题”，事件B表示“乙选做第22题”，
则甲，乙2名学生选做同一道题的事件为“AB∪”，且事件A，B相互独立，
所以P(AB∪)=P(A)P(B)+
P()P()=×+×=.
所以甲、乙两名学生选做同一道题的概率为；因为P(A)P(B)=×=，所以甲、乙两名学生都选做第22题的概率为.
答案：　
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)通过市场调查，得到某种产品的资金投入x(单位：万元)与获得的利润y(单位：万元)的数据，如表所示：
资金投入x
2
3
4
5
6
利润y
2
3
5
6
9
(1)画出数据对应的散点图；
(2)根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程=x+；
(3)现投入资金10万元，求获得利润的估计值为多少万元？参考公式：

【解析】(1)

(2)==4，==5，
=
==1.7，
所以=-=-1.8，
所以=1.7x-1.8；
(3)当x=10(万元)，=15.2(万元).
18.(12分)在某公司的一次招聘初试笔试中，随机抽取了50名应聘者的成绩(单位：分)，并把所得数据列成了如表所示的频数分布表：
组别
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
频数
3
9
14
13
8
3
(1)求抽取的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)已知样本中成绩在[80，90)中的8名考生中，有5名男生，3名女生，现从中选4人进行谈话，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E(ξ).
【解析】(1)由频数分布表，得样本平均数为
=45×0.06+55×0.18+65×0.28+75×0.26+85×0.16+95×0.06=69.6；
(2)由已知得ξ的可能取值为1，2，3，4，
P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，
P(ξ=3)==，P(ξ=4)==，
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P




E(ξ)=1×+2×+3×+4×=2.5.
19.(12分)为迎接“五一”节的到来，某单位举行“庆五一，展风采”的活动.现有6人参加其中的一个节目，该节目有A，B两个环节可供参加者选择，为增加趣味性，该单位用电脑制作了一个选择方案：按下电脑键盘“Enter”键则会出现模拟抛两枚质地均匀骰子的画面，若干秒后在屏幕上出现两个点数n和m，并在屏幕的下方计算出d=的值.现规定：每个人去按“Enter”键，当显示出来的d小于2时则参加A环节，否则参加B环节.
(1)求这6人中恰有2人参加该节目A环节的概率；
(2)用X，Y分别表示这6个人中去参加该节目A，B两个环节的人数，记ξ=|X-Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望.
【解析】(1)依题意得，由屏幕出现的点数n和m形成的有序数对(n，m)，一共有6×6=36种等可能的基本事件，符合d<2的有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(6，1)共24种，
所以选择参加A环节的概率为P1==，选择参加B环节的概率为P2=，
所以这6人中恰有2人参加该节目A环节的概率P===；
(2)依题意得ξ的可能取值为0，2，4，6，
P(ξ=0)=P(X=3)==，
P(ξ=2)=P(X=2)+P(X=4)
=+=，
P(ξ=4)=P(X=1)+P(X=5)
=+=，
P(ξ=6)=P(X=0)+P(X=6)
=+=，
所以ξ的分布列为
ξ
0
2
4
6
P




数学期望E(ξ)=0×+2×+4×+6×=.
20.(12分)某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A箱内有一个“1”号球，两个“2”号球，三个“3”号球、四个无号球，B箱内有五个“1”号球，五个“2”号球，每次摸奖后放回，每位顾客消费额满100元有一次A箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元，“2”号球奖20元，“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金.
(1)经统计，顾客消费额X服从正态分布N，某天有1 000位顾客，请估计消费额X(单位：元)在区间[100，150]内并中奖的人数.(结果四舍五入取整数)
附：若X～N(μ，σ2)，则P≈68.3%，
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%.
(2)某三位顾客各有一次A箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列.
(3)某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，
方法一：三次A箱内摸奖机会；
方法二：一次B箱内摸奖机会.
请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.
【解析】(1)依题意得μ=150，σ2=625，
得σ=25，消费额X在区间[100，150]内的顾客有一次A箱内摸奖机会，中奖率为0.6，人数约1 000×P(μ-2σ≤X≤μ)≈1 000×=477(人)，其中中奖的人数约为477×0.6≈286(人)，
(2)三位顾客每人一次A箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数ξ服从二项分布B，
P=0.6k0.43-k，
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
(3)A箱摸一次所得奖金的期望为50×0.1+20×0.2+5×0.3=10.5，
B箱摸一次所得奖金的期望为50×0.5+20×0.5=35，
方法一所得奖金的期望值为3×10.5=31.5，
方法二所得奖金的期望值为35，
所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大.
21.(12分)某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球(红、黄、黑、白).顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励.
(1)求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；
(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望.
【解析】(1)1名顾客摸球2次摸奖停止，说明第一次是从红球、黄球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，所以1名顾客摸球2次摸奖停止的概率P==.
(2)X的可能取值为：0，10，20，30，40.
P(X=0)==，P(X=10)==，
P(X=20)=+=，
P(X=30)==，
P(X=40)==，
所以随机变量X的分布列为
X
0
10
20
30
40
P





数学期望E(X)=0×+10×+20×+30×+40×=20.
22.(12分)某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[100，120)内，则为合格品，否则为不合格品.表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.



表1：甲套设备的样本的频数分布表
质量指标值
[95，
100)
[100，
105)
[105，
110)
[110，
115)
[115，
120)
[120，
125]
频数
1
5
18
19
6
1
图1：乙套设备的样本的频率分布直方图

(1)将频率视为概率.若乙套设备生产了5 000件产品，则其中的不合格品约有多少件？
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；

甲套设备
乙套设备
总计
合格品



不合格品



总计



(3)根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较.
附：
P(χ2≥k)
0.10
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
χ2=.
【解析】(1)由图1知，乙套设备生产的不合格品概率约为，
所以乙套设备生产的5 000件产品中不合格品约为5 000×=700(件).
(2)由题干表1和图1得到列联表

甲套设备
乙套设备
总计
合格品
48
43
91
不合格品
2
7
9
总计
50
50
100
将列联表中的数据代入公式计算得
χ2=
=≈3.05.
因为3.05>2.706，
所以有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.
(3)由题干表1和图1知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105，115)内，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备.