高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.4 棱锥与棱台达标测试

十一　棱锥与棱台

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)

1.(多选题)下列说法正确的是 (　　)

A.一个棱锥至少有四个面

B.如果四棱锥的底面是正方形,那么这个四棱锥的四条侧棱都相等

C.五棱锥只有五条棱

D.用与底面平行的平面去截三棱锥,得到的截面三角形和底面三角形相似

【解析】选AD.A正确.B不正确.四棱锥的底面是正方形,它的侧棱可以相等,也可以不等.C不正确.五棱锥除了五条侧棱外,还有五条底边,共10条棱.D正确.

2.一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面 (　　)

A.必定都不是直角三角形

B.至多有一个直角三角形

C.至多有两个直角三角形

D.可能都是直角三角形

【解析】选D.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

三棱锥A1-ABC的底面ABC是直角三角形,三个侧面也都是直角三角形.

3.如图所示,从三棱台A′B′C′-ABC中截去三棱锥A′-ABC,则剩余部分是 (　　)

A.三棱锥   B.四棱锥

C.三棱柱   D.三棱台

【解析】选B.剩余部分是四棱锥A′-BB′C′C.

4.有两个面平行的多面体不可能是 (　　)

A.棱柱   B.棱锥

C.棱台   D.以上都不正确

【解析】选B.因为棱锥的任意两个面都相交,所以不可能是棱锥.

5.棱台不具备的性质是 (　　)

A.两底面相似 B.侧面都是梯形

C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都相交于一点

【解析】选C.正棱台的侧棱都相等,非正棱台的侧棱不一定相等.

6.若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等,则该棱锥一定不是 (　　)

A.三棱锥  B.四棱锥

C.五棱锥  D.六棱锥

【解析】选D.因为正六边形的边长与它的外接圆半径相等,所以满足上述条件的棱锥一定不是六棱锥.

二、填空题(每小题4分,共8分)

7.下列命题中正确的是________. 

①底面是正多边形的棱锥为正棱锥.

②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥.

③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥.

④底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥是正棱锥.

【解析】①不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心;②不能保证底面为正多边形;③不能保证这些全等的等腰三角形的腰长都作为侧棱长,故不正确.只有④正确.

答案:④

8.一个正四棱台上、下底面的边长分别是a,b,高是h,则经过相对两侧棱的截面面积是________. 

【解析】经过相对两侧棱的截面是等腰梯形,上底长为a,下底长为b,高为h,所以S=(a+b)h.

答案:(a+b)h

三、解答题(每小题14分,共28分)

9.如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,

求△AEF周长的最小值.

【解题指南】把三棱锥的侧面展开,当△AEF的各边在同一直线上时,其周长最小.

【解析】将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图,线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.因为∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,

所以∠AVA1=90°.

又VA=VA1=4,所以AA1=4,

所以△AEF周长的最小值为4.

10.一个正四棱台的高是17 cm,上、下底面边长分别为4 cm和16 cm,求这个棱台的侧棱长和斜高.

【解题指南】本题主要考查正棱台中基本量的计算,求解的关键是把已知和所求放入合适的直角梯形中求解.

【解析】如图,取上、下底面的中心O1、O,B1C1和BC的中点E1,E.

连接O1O,OE,EE1,O1E1,OB,O1B1.

因为A1B1=4 cm,AB=16 cm,

所以O1E1=2 cm,OE=8 cm,

O1B1=2 cm,OB=8 cm.

在直角梯形OBB1O1中,B=O1O2+(OB-O1B1)2=361,

所以BB1=19 cm.在直角梯形OEE1O1中,

E1E2=O1O2+(OE-O1E1)2=325,

所以E1E=5 cm.

故正四棱台的侧棱长为19 cm,斜高为5 cm.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题4分,共16分)

1.给出下列三个命题,其中正确的有 (　　)

①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台.

②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台.

③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.

A.0个  B.1个  C.2个  D.3个

【解析】选A.①中,平面不一定平行于棱锥底面,故①错;②③中,侧棱延长后不一定交于一点,故②③错.

2.观察如图所示的四个几何体,其中判断不正确的是(　　)

A.①是棱柱  B.②不是棱锥

C.③不是棱锥 D.④是棱台

【解析】选B.结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥,④是棱台,③不是棱锥,故B错误.

3.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是(　　)

A.棱柱

B.棱台

C.由一个棱柱与一个棱锥构成

D.不能确定

【解析】选A.根据棱柱的结构特征,当倾斜后水槽中的水形成了以左右(或前后)两个侧面为底面的棱柱.

4.(2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为              (　　)

A.   B.   C.  D.

【解析】选C.如图,设CD=a,PE=b,

则PO==,

由题意PO2=ab,即b2-=ab,化简得4-2·-1=0,解得=(负值舍去).

二、填空题(每小题4分,共16分)

5.如图,在三棱台A′B′C′-ABC中,截去三棱锥A′-ABC,则剩余部分的几何体是一个________. 

【解析】剩余的几何体是四棱锥A′-BCC′B′.

答案:四棱锥

6.下列关于棱锥、棱台的说法:

①棱台的侧面一定不会是平行四边形;

②棱锥的侧面只能是三角形;

③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;

④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.

其中正确说法的序号是________. 

【解析】①正确,棱台的侧面都是梯形.

②正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形.

③正确,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.

④错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.

答案:①②③

7.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则在正方体表面上,从顶点A到顶点C1的最短距离为________. 

【解析】将侧面ABB1A1与上底面A1B1C1D1展开在同一平面上,连接AC1,则线段AC1的长即为所求.如图AC1=2.

答案:2

8.如图所示,在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知AB=10,棱台一个侧面的面积为,O1,O分别为上、下底面正三角形的中心,D1D为棱台的斜高,∠D1DA=60°,上底面的边长为________. 

【解析】因为AB=10,所以AD=AB=5,

所以OD=×AD=.

设上底面边长为x,则O1D1=x.

过D1作D1H⊥AD于点H,

则DH=OD-OH=OD-O1D1=-x.

在Rt△D1DH中,DD1==2,

所以在梯形B1C1CB中,

S=(B1C1+BC)·D1D,

即=(x+10)·2,

解得x=2,

所以上底面的边长为2.

答案:2

三、解答题(共38分)

9.(12分)如图所示,已知三棱台ABC-A′B′C′.

(1)把它分成一个三棱柱和一个多面体,并用字母表示.

(2)把它分成三个三棱锥并用字母表示.

【解析】(1)如图①所示,

三棱柱是棱柱A′B′C′-AB″C″,

多面体是C′B′-BCC″B″.

(2)如图②所示,三个三棱锥分别是A′-ABC,B′-A′BC,C′-A′B′C.

10.(12分)设计一个正四棱锥形冷水塔,高是0.85 m,底面边长是1.5 m,求制造这种水塔需要多少铁板(结果保留1位小数).

【解析】如图,S表示冷水塔的顶点,O表示底面的中心,则SO是高,设SE是斜高.

在Rt△SOE中,根据勾股定理,

得SE=≈1.13(m).

故S正棱锥侧=×(1.5×4)×1.13≈3.4(m2).

答:制造这种水塔需要铁板约3.4 m2.

11.(14分)已知三棱台ABC-A′B′C′的上、下两底均为正三角形,边长分别为3和6,平行于底的截面将侧棱分为1∶2两部分,求截面的面积.

【解析】如图所示,延长AA′,BB′,CC′交于点S,设截面为A″B″C″,

由题意知A″A′∶AA″=1∶2.

由棱锥的截面性质得===,

所以SA=2SA′=2AA′.

所以由A″A′∶AA″=1∶2得A″A′=AA′.

所以SA′∶SA″=3∶4.

所以=,所以A″B″=A′B′=4.

所以S△A″B″C″=(A″B″)2=×42=4.

所以截面面积为4.