高中人教B版 (2019)第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体11.1.3 多面体与棱柱同步训练题

十　多面体与棱柱

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)

1.(多选题)下列命题中错误的是 (　　)

A.四棱柱是平行六面体

B.直平行六面体是长方体

C.底面是矩形的四棱柱是长方体

D.六个面都是矩形的六面体是长方体

【解析】选ABC.四棱柱的底面可以为任意四边形,而平行六面体的底面一定是平行四边形,故A不正确;直平行六面体的底面可为平行四边形,而长方体则要求直平行六面体的底面为矩形,故B不正确;底面是矩形的四棱柱可能是斜四棱柱,长方体则要求是直四棱柱,故C不正确;六个面都是矩形的六面体,以任意相对的两个面为底面,都可以是一个直平行六面体,它符合长方体的定义,故D正确.

2.下列几何体是棱柱的有 (　　)

A.5个  B.4个  C.3个  D.2个

【解析】选D.棱柱的结构特征有三个方面:有两个面互相平行;其余各面是平行四边形;这些平行四边形面中,每相邻两个面的公共边都互相平行.当一个几何体同时满足这三个方面的结构特征时,这个几何体才是棱柱.很明显,几何体②④⑤⑥均不符合,仅有①③符合.

3.下列说法错误的是 (　　)

A.多面体至少有四个面

B.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形

C.长方体、正方体都是棱柱

D.三棱柱的侧面为三角形

【解析】选D.三棱柱的侧面是平行四边形,故D错误.

4.下列说法中,正确的是 (　　)

A.棱柱的侧面可以是三角形

B.若棱柱有两个侧面是矩形,则该棱柱的其他侧面也是矩形

C.正方体的所有棱长都相等

D.直四棱柱是直平行六面体

【解析】选C.棱柱的侧面都是平行四边形,选项A错误;其他侧面可能是平行四边形,选项B错误;底面不是平行四边形时的直四棱柱不是直平行六面体,选项D错误;易知选项C正确.

5.一个长方体同一顶点的三个面的面积分别是,,,这个长方体体对角线的长是 (　　)

A.2   B.3   C.6  D.

【解析】选D.设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,体对角线长为d.

则,解得.

所以d===.

6.正三棱柱ABC-A′B′C′的底面边长是4 cm,过BC的一个平面交侧棱AA′于D,若AD的长是2 cm,则截面BCD的面积为              (　　)

A.6 cm2 B.2 cm2

C.8 cm2 D.2 cm2

【解析】选C.如图,取BC的中点E,连接AE,DE,

则AE⊥BC,DE⊥BC.

因为AE=×4=2(cm),

所以DE==4(cm),

所以S△BCD=BC·DE=×4×4=8(cm2).

所以截面BCD的面积为8 cm2.

二、填空题(每小题4分,共8分)

7.下列说法正确的是________.(填序号) 

(1)棱柱的各个侧面都是平行四边形.

(2)棱柱的两底面是全等的正多边形.

(3)有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.

(4)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.

【解析】从棱柱的特征及直棱柱的定义入手解决.

由棱柱的定义可知(1)正确,(2)(3)(4)均不正确.

其中,(2)中两底面全等,但不一定是正多边形,(3)(4)均不能保证侧棱与底面垂直.

答案:(1)

8.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是________. 

【解析】如图所示,取AC的中点G,连接EG,FG,

则易得FG=2,EG=1,

所以EF=.

答案:

三、解答题(每小题14分,共28分)

9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,P为棱AA1的中点,Q为BB1上任意一点,求PQ+QC的最小值.

【解析】将面BCC1B1展开至如图位置,由图可知.

当P,Q,C三点共线时,PQ+QC最小,

此时PQ+QC=PC===a.

10.一个正三棱柱的底面边长是4,高是6,过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面,求此截面的面积.

【解析】如图所示,正三棱柱ABC-A′B′C′,符合题意的截面为A′BC.

易知△A′BC为等腰三角形,A′B=A′C.

取BC的中点O,连接A′O.在Rt△A′AC中,

AC=4,AA′=6,

所以A′C===2,在等腰△A′BC中,CO=×4=2,A′O⊥BC,

所以A′O===4,

所以S△A′BC=BC·A′O=×4×4=8,

所以此截面的面积为8.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)

1.(多选题)下列说法错误的是 (　　)

A.棱柱的侧面都是矩形

B.棱柱的侧棱都相等

C.棱柱的棱都平行

D.棱柱的侧棱总与底面垂直

【解析】选ACD.由棱柱的定义知,棱柱的侧面都是平行四边形,不一定都是矩形,故A不正确;平行四边形的对边相等,故侧棱都相等,所以B正确;对选项C,侧棱都平行,但底面多边形的边(也是棱)不一定平行,所以错误;棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直,故D不正确.

2.给出下列命题:①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱;②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体;③长方体一定是正四棱柱.

其中正确的命题个数是 (　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】选A.①底面是菱形的直平行六面体,满足条件但不是正棱柱;②底面是等腰梯形的直棱柱,满足条件但不是长方体;③显然错误.

3.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图所示),则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(　　)

【解析】选A.两个不能并列相邻,B,D错误;两个不能并列相邻,C错误.

【补偿训练】

　　　下列图形不是正方体表面展开图的是 (　　)

【解析】选C.选项C不能围成正方体.

4.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积之比为 (　　)

A. B. C. D.

【解析】选A.设圆柱的底面半径为r,高为h,则有h=2πr,所以表面积与侧面积的比为2π(r2+rh)∶2πrh=(r+h)∶h=(2π+1)∶2π.

二、填空题(每小题4分,共16分)

5.如图所示,在正方体的8个顶点中任意选择4个顶点,它们可能构成的平面图形或几何体是________. 

①矩形;②不是矩形的平行四边形;③每个面都是等边三角形的四面体;④每个面都是直角三角形的四面体.

【解析】①正确,如四边形A1D1CB为矩形;②不正确,任选四个顶点若组成平面图形,则一定为矩形;③正确,如四面体A1-C1BD;④正确,如四面体B1-ABD.

答案:①③④

6.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为

________ cm. 

【解析】由题设可知,该棱柱为五棱柱,共5条侧棱.

所以每条侧棱的长为=12(cm).

答案:12

7.如图所示,在所有棱长均为1的三棱柱上,有一只蚂蚁从点A出发,围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1,则爬行的最短路程为________. 

【解析】将三棱柱沿AA1展开如图所示,则线段AD1即为最短路线,即AD1==.

答案:

8.下列四个平面图形都是正方体的展开图,还原成正方体后,数字排列规律完全一样的两个是________. 

【解析】(2)(3)中,①④为相对的面,②⑤为相对的面,③⑥为相对的面,故它们的排列规律完全一样.

答案:(2)(3)

三、解答题(共38分)

9.(12分)如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1,其中E,F,G,H是三棱柱对应边上的中点,过此四点做截面EFGH,把三棱柱分成两部分,各部分形成的几何体是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,请说明理由

【解析】各部分形成的几何体是棱柱.截面以上的几何体是三棱柱AEF-A1HG,截面以下的几何体是四棱柱BEFC-B1HGC1.

10.(12分)已知几何体为一个直三棱柱,且底面为直角三角形.试根据图中数据求该几何体的表面积.

【解析】三棱柱底面三角形的直角边长分别为3和4,斜边长为5,三棱柱的高为5,

所以表面积为2+(3+4+5)×5=72.

11.(14分)直平行六面体的底面是菱形,两个对角面面积分别为Q1,Q2,求直平行六面体的侧面积.

【解析】如图所示,设底面边长为a,侧棱长为l,两条底面对角线的长分别为c,d,即BD=c,AC=d,则

由式①得c=,由式②得d=,

代入式③得+=a2,

所以+=4l2a2,

所以2la=,

所以S侧=4al=2.