2021学年10.1.2 复数的几何意义巩固练习

五　复数的几何意义

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)

1.在复平面内,复数z=2i-i2对应的点在 (　　)

A.第一象限  B.第二象限

C.第三象限  D.第四象限

【解析】选A.复数z=2i-i2=1+2i对应的点为(1,2),在第一象限.

2.设z=a+bi(a,b∈R)对应的点在虚轴右侧,则 (　　)

A.a>0,b>0  B.a>0,b<0

C.b>0,a∈R  D.a>0,b∈R

【解析】选D.复数对应的点在虚轴右侧,则该复数的实部大于零,虚部可为任意实数.

3.设复数z=(3m-2)+(m-1)i(m∈R,i为虚数单位),在复平面内对应的点不可能位于 (　　)

A.第一象限  B.第二象限

C.第三象限  D.第四象限

【解析】选B.设复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面内的对应点为P(3m-2,m-1).

当m>1时,P在第一象限;

当m<时,P在第三象限;

当<m<1时,P在第四象限;

当m=时,P在虚轴上;

当m=1时,P在实轴上.

4.已知复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面内对应的点在同一条直线上,则实数a的值为 (　　)

A.5 B.-2 C.-5 D.2

【解析】选A.设复数3-5i,1-i,-2+ai对应的向量分别为,,(O为坐标原点),则=(3,-5),=(1,-1),=(-2,a).因为A,B,C三点共线,

所以=t+(1-t),

即(3,-5)=t(1,-1)+(1-t)(-2,a).

所以解得即a的值为5.

5.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则等于 (　　)

A.2+i   B.2-i   C.-2+i  D.-2-i

【解题指南】先确定复平面内点的坐标,再求其关于实轴的对称点的坐标,得到共轭复数.

【解析】选B.点Z(2,1)对应复数z=2+i,与z互为共轭复数,对应的两点关于实轴对称,所以=2-i.

6.(多选题)下列关于复数z=a+bi,a,b∈R的说法正确的是 (　　)

A.=a-bi    B.若=z,则b=0

C.若|z|=0,则z=0 D.若|z|≠0,则ab≠0

【解析】选ABC.由复数z=a+bi,a,b∈R,得=a-bi,选项A正确;若=z,则a+bi=a-bi,b=-b,所以b=0,选项B正确;若|z|=0,则a2+b2=0,所以a=b=0,z=0,选项C正确;若|z|≠0,则a2+b2≠0,所以a、b至少有一个不为0,选项D不正确.

二、填空题(每小题4分,共8分)

7.已知复平面内,点(2cos 300°,2sin 300°)对应的复数为z,则z=________,|z|=________. 

【解析】由点的坐标(2cos 300°,2sin 300°),得(1,-),对应的复数为z=1-i,|z|=2.

答案:1-i　2

8.已知z=(m+3)+(m-1)i,(m∈R),在复平面内对应的点为P,则当P在第三象限时,m的取值范围为________,当P在第四象限时,m的取值范围为________. 

【解析】当P点在第三象限时,

解得m<-3;当P点在第四象限时,解得-3<m<1.

答案:(-∞,-3)　(-3,1)

【补偿训练】

　　　已知i为虚数单位,复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=________. 

【解析】因为z1=2-3i,

所以z1对应的点为(2,-3),关于原点的对称点为(-2,3),所以z2=-2+3i.

答案:-2+3i

三、解答题(每小题14分,共28分)

9.已知z=x+yi,x,y∈R,若2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i.求:

(1)实数x,y的值;

(2).

【解析】(1)因为x,y为实数,所以2x-1,y+1,x-y,-x-y都为实数,由复数相等的充要条件得

解得.

(2)=x-yi=3+2i.

10.已知复数z=x+yi(x,y∈R)满足|(x+1)+(y-1)i|=1,求|z|的最大值和最小值.

【解题指南】由题意容易判断出z对应点的轨迹是圆,结合点与圆的位置关系求出|z|的最值.

【解析】设复数z对应的点为Z,由|(x+1)+(y-1)i|=1得(x+1)2+(y-1)2=1,所以动点Z的轨迹是以(-1,1)为圆心,半径为1的圆,所以复数z对应的点的轨迹是以-1+i对应的点为圆心,以1为半径的圆,如图,而|z|则表示该圆上的点到原点O的距离,由平面几何知识可知,使圆上的点到原点距离取最大(最小)值的点在直线OC与圆的交点处.

所以|z|最大值为|OC|+r=+1,最小值为|OC|-r=-1.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)

1.过原点和-i对应的点的直线的倾斜角是 (　　)

A.   B.-   C.   D.

【解析】选D.因为-i在复平面上的对应点是(,-1),

所以tan α==-(0≤α<π),所以α=π.

2.瑞士著名数学家欧拉发现公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位),它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当x=π时, eiπ+1=0被认为是数学上最优美的公式,数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知,ei表示的复数在复平面中位于(　　)

A.第一象限   B.第二象限

C.第三象限   D.第四象限

【解题指南】令x=1,则ei=cos 1+isin 1,又由sin 1>0,cos 1>0,根据复数的几何意义即得答案.

【解析】选A.由题意,根据公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位),令x=1,则ei=

cos 1+isin 1,又由sin 1>0,cos 1>0,所以复数ei=cos 1+isin 1表示的点位于第一象限.

【补偿训练】

　　　已知复数z=3+4i所对应的向量为,把依逆时针旋转θ得到一个新向量为,若对应一个纯虚数,当θ取最小正角时,这个纯虚数是              (　　)

A.3i  B.4i  C.5i  D.-5i

【解析】选C.因为==5,由于新向量对应的点Z1在虚轴上,则新向量=(0,5),即新向量对应的复数是5i.

3.(多选题)在复平面内,下列关于复数的叙述正确的是 (　　)

A.原点对应的复数是0

B.纯虚数对应的点在虚轴上

C.实轴上的点对应的复数是实数

D.虚轴上的点对应的复数是虚数

【解析】选ABC.复平面内,原点对应的复数是0,选项A正确;纯虚数对应的点在虚轴上,选项B正确.实轴上的点对应的复数是实数,选项C正确.虚轴上除原点以外的点对应的复数是虚数,选项D错误.

4.设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cos B-tan A)+tan Bi对应的点位于复平面的 (　　)

A.第一象限  B.第二象限

C.第三象限  D.第四象限

【解析】选B.因为A,B为锐角三角形的两个内角,所以A+B>,即A>-B,

sin A>cos B.cos B-tan A=cos B-<cos B-sin A<0,

又tan B>0,所以点(cos B-tan A,tan B)在第二象限.

二、填空题(每小题4分,共16分)

5.在复平面内,点(2,3)对应的复数的共轭复数为________. 

【解析】在复平面内,点(2,3)对应的复数为z=2+3i,共轭复数为=2-3i.

答案:2-3i

6.复数z1=3与z2=2-i对应的两点间的距离为________. 

【解析】复数z1=3与z2=2-i对应的两点Z1(3,0),Z2(2,-)间的距离为|Z1Z2|==2.

答案:2

7.已知z=x+yi(x,y∈R),且(x-|z|)+yi=-1+i,则复数z=________. 

【解析】由题意得(x-)+yi=-1+i,

所以解得所以z=i.

答案:i

8.设(sin θ-1)+(sin θ-cos θ)i对应的点在直线x+y+1=0上,则tan θ的值为________. 

【解析】(sin θ-1)+(sin θ-cos θ)i的对应点为(sin θ-1,sin θ-cos θ),由点(sin θ-1,sin θ-cos θ)在直线x+y+1=0上,

得sin θ-1+sin θ-cos θ+1=0,即2sin θ=cos θ,

所以tan θ=.

答案:

三、解答题(共38分)

9.(12分)已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R).若与共线,求a的值.

【解析】因为对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i,所以=(-3,4),=(2a,1).

因为与共线,

所以存在实数k使=k,

即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),

所以所以即a的值为-.

10.(12分)设z=log2(1+m)+ilo (3-m)(m∈R).

(1)若z在复平面内对应的点在第三象限,求m的取值范围;

(2)若z在复平面内对应的点在直线x-y-1=0上,求m的值.

【解析】(1)由已知,得解①得,-1<m<0.解②得,m<2.

故不等式组的解集为-1<m<0,所以m的取值范围是-1<m<0.

(2)由已知得,点(log2(1+m),lo(3-m))在直线x-y-1=0上,即log2(1+m)-lo(3-m)-1=0,

所以log2[(1+m)(3-m)]=1,所以(1+m)(3-m)=2,所以m2-2m-1=0,所以m=1±,

且当m=1±时都能使1+m>0,且3-m>0,

所以m=1±.

11.(14分)设复数z=(2x+a)+(2-x+a)i,x、a∈R,当x在(-∞,+∞)内变化时,求|z|的最小值g(a).

【解析】|z|2=(2x+a)2+(2-x+a)2=22x+2-2x+2a(2x+2-x)+2a2.

令t=2x+2-x,则t≥2,且22x+2-2x=t2-2.

从而|z|2=t2+2at+2a2-2=(t+a)2+a2-2,

当-a≥2,即a≤-2时,g(a)=;当-a<2,即a>-2时.g(a)==|a+1|.

综上可知,g(a)=