人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.3 空间中的平行关系11.3.3 平面与平面平行复习练习题

十七　平面与平面平行

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)

1.(多选题)下列命题中不正确的是 (　　)

A.一个平面内两条直线都平行于另一平面,那么这两个平面平行

B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行

C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行

D.如果一个平面内的无数条直线都平行于另一平面,那么这两个平面平行

【解析】选ACD.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,即两个平面没有公共点,则两平面平行,所以B正确.

2.设平面α,β,直线a,b,a⊂α,b⊂α,则“a∥β,b∥β”是“α∥β”的________条件. (　　) 

A.充分不必要  B.必要不充分

C.充要    D.既不充分也不必要

【解析】选B.由平面与平面平行的判定定理可知,若直线a,b是平面α内两条相交直线,且a∥β,b∥β,则α∥β;当α∥β,若a⊂α,b⊂α,则a∥β,b∥β,因此“a∥β,b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.

3.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对平面彼此平行的一对是 (　　)

A.平面E1FG1与平面EGH1

B.平面FHG与平面F1H1G

C.平面F1H1H与平面FHE1

D.平面E1HG1与平面EH1G

【解析】选A.如图,

因为EFGH-E1F1G1H1是正方体,所以E1E?GG1,

所以四边形EE1G1G为平行四边形,

所以EG∥E1G1,

又因为EG⊄平面E1FG1,E1G1⊂平面E1FG1,

所以EG∥平面E1FG1.

同理可证H1E∥平面E1FG1,

又因为H1E⊂平面H1EG,EG⊂平面H1EG,

且H1E∩EG=E,所以平面E1FG1∥平面EGH1.

4.(多选)下列命题中正确的是 (　　)

A.两个平面α∥β,一条直线a平行于平面α,则a一定平行于平面β

B.平面α∥平面β,则α内的任意一条直线都平行于平面β

C.一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,那么三角形所在平面与这个平面平行

D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线

【解析】选BCD.选项A中直线a可能与β平行,也可能在β内,故选项A不正确;三角形两边必相交,这两条相交直线平行于一个平面,那么三角形所在的平面与这个平面平行,故选项C正确;由平面与平面平行的性质定理可知,故选项B,D正确.

5.平面α∥平面β,平面γ∥平面δ,且α∩γ=a,α∩δ=b,β∩γ=c,β∩δ=d,则交线a,b,c,d的位置关系是              (　　)

A.互相平行  B.交于一点

C.相互异面  D.不能确定

【解析】选A.由平面与平面平行的性质定理知,a∥b,a∥c,b∥d,c∥d,所以a∥b∥c∥d.

6.已知m,n是两条直线,α,β是两个平面.有以下命题:①m,n相交且都在平面α,β外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β;②若m∥α,m∥β,则α∥β;③若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.其中正确命题的个数是              (　　)

A.0  B.1  C.2  D.3

【解析】选B.把符号语言转换为文字语言或图形语言.可知①是面面平行的判定定理;②③中平面α,β还有可能相交,所以选B.

【补偿训练】

给出下列说法:

①α内任意一条直线都与β平行;

②直线a∥α,a∥β;

③直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥α;

④平面α内的三点A,B,C到平面β的距离相等.

其中能得出平面α与平面β平行的是 (　　)

A.①②④  B.①

C.①②  D.①③④

【解析】选B.根据平面与平面平行的定义及判定定理可知,只有①正确.

二、填空题(每小题4分,共8分)

7.若夹在两个平面间的三条平行线段相等,那么这两个平面的位置关系为________. 

【解析】三条平行线段共面时,两平面可能平行也可能相交,当三条平行线段不共面时,两平面可能平行也可能相交.

答案:平行或相交

8.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中:

①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;

③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.

以上四个命题中,正确命题的序号是________. 

【解析】以ABCD为下底面还原正方体,如图,则易判定四个命题都是正确的.

答案:①②③④

三、解答题(每小题14分,共28分)

9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是A1C1的中点,平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N.求证:N为AC的中点.

【证明】因为平面AB1M∥平面BC1N,

平面ACC1A1∩平面AB1M=AM,

平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N,

所以C1N∥AM,又AC∥A1C1,

所以四边形ANC1M为平行四边形,

所以AN∥C1M且AN=C1M,

又C1M=A1C1,A1C1=AC,所以AN=AC,

所以N为AC的中点.

10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN.

求证:MN∥平面AA1B1B.

【证明】如图,作MP∥BB1交BC于点P,连接NP,

因为MP∥BB1,所以=.

因为BD=B1C,DN=CM,所以B1M=BN,

所以=,

所以=,所以NP∥CD∥AB.

因为NP⊄平面AA1B1B,AB⊂平面AA1B1B,

所以NP∥平面AA1B1B.

因为MP∥BB1,MP⊄平面AA1B1B,BB1⊂平面AA1B1B.

所以MP∥平面AA1B1B.

又因为MP⊂平面MNP,NP⊂平面MNP,MP∩NP=P,

所以平面MNP∥平面AA1B1B.

因为MN⊂平面MNP,所以MN∥平面AA1B1B.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)

1.(多选题)已知α,β是两个不重合的平面,下列选项中,不能得出平面α与平面β平行的是 (　　)

A.α内有无穷多条直线与β平行

B.直线a∥α,a∥β

C.直线a,b满足:b∥a,a∥α,b∥β

D.异面直线a,b满足:a⊂α,b⊂β,且a∥β,b∥α

【解析】选ABC.对于选项A,当α内有无穷多条直线与β平行时,平面α与平面β可能平行,也可能相交;对于选项B,若直线a∥α,a∥β,则平面α与平面β可能平行,也可能相交;对于选项C,若b∥a,a∥α,b∥β,则平面α与平面β可能平行,也可能相交;对于选项D,当a⊂α,b⊂β,且a∥β,b∥α时,可在a上取一点P,过点P作直线b′∥b,由线面平行的判定定理,得b′∥β,再由面面平行的判定定理,得α∥β.

【补偿训练】

　　　已知α,β是两个不重合的平面,下列选项中,一定能得出平面α与平面β平行的是 (　　)

A.平面α内有一条直线与平面β平行

B.平面α内有两条直线与平面β平行

C.平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行

D.平面α与平面β不相交

【解析】选D.选项A,C不正确,因为两个平面可能相交;选项B不正确,因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行;选项D正确,因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种.

2.已知a,b,c,d是四条直线,α,β是两个不重合的平面,若a∥b∥c∥d,a⊂α,b⊂α,c⊂β,d⊂β,则α与β的位置关系是              (　　)

A.平行   B.相交

C.平行或相交 D.以上都不对

【解析】选C.根据图1和图2可知α与β平行或相交.

3.a是平面α外的一条直线,过a作平面β,使β∥α,这样的β (　　)

A.只能作一个 B.至少可以作一个

C.不存在   D.至多可以作一个

【解析】选D.因为a是平面α外的一条直线,所以a∥α或a与α相交,当a∥α时,β只有一个;当a与α相交时,β不存在.

4.如图,在下列四个正方体中,P,R,Q,M,N,G,H为所在棱的中点,则在这四个正方体中,阴影平面与PRQ所在平面平行的是              (　　)

【解析】选A.A中,因为PQ∥AC∥A1C1,所以可得PQ∥平面A1BC1,又RQ∥A1B,可得RQ∥平面A1BC1,从而平面PQR∥平面A1BC1.

B中,作截面可得平面PQR∩平面A1BN=HN(H为C1D1中点),如图:

C中,作截面可得平面PQR∩平面HGN=HN(H为C1D1中点),如图:

D中,作截面可得QN,C1M为两相交直线,

因此平面PQR与平面A1MC1不平行,如图:

二、填空题(每小题4分,共16分)

5.若平面α∥平面β,a⊂α,下列说法正确的是________. 

①a与β内任一直线平行;

②a与β内无数条直线平行;

③a与β内任一直线不垂直;

④a与β无公共点.

【解析】因为a⊂α,α∥β,所以a∥β,

所以a与β无公共点,④正确;

如图,在正方体中,

令线段B1C1所在的直线为a,显然a与β内无数条直线平行,故②正确;又AB⊥B1C1,故在β内存在直线与a垂直,故①③错误.

答案:②④

【补偿训练】

　　　设α,β是两个不重合的平面,a,b是两条不同的直线,给出下列条件:

①α,β都平行于直线a,b;

②a,b是α内两条直线,且a∥β,b∥β;

③若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β.其中可判定α∥β的条件的序号为__________. 

【解析】①中,只有当a与b相交或异面时,才能判定α∥β;②中,只有a,b相交时才能判定α∥β;③中,由于a,b相交,设a,b确定平面γ,

则γ∥α,γ∥β,所以α∥β.

答案:③

6.如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A1B1C1分别在平面α,β内,线段AA1,BB1,CC1相交于点O,点O在α,β之间,若AB=2,AC=1,OA∶OA1=3∶2,且BA⊥AC,则△A1B1C1的面积为________. 

【解析】因为相交直线AA1,BB1所在的平面和两平行平面α,β分别交于AB,A1B1,所以AB∥A1B1.

同理可得AC∥A1C1,BC∥B1C1,

所以△ABC和△A1B1C1的三个内角相等,

所以△ABC∽△A1B1C1,且==,

所以=S△ABC=××2×1=.

答案:

7.a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合平面,现给出六个命题.

①⇒a∥b;②⇒a∥b;③⇒α∥β;

④⇒α∥β;⑤⇒a∥α;⑥⇒a∥α,

其中正确的命题是________.(填序号) 

【解析】①是平行线的传递性,正确;②中a,b还可能异面或相交;③中α,β还可能相交;④是平面平行的传递性,正确;⑤还有可能a⊂α;⑥也是忽略了a⊂α的情形.

答案:①④

【补偿训练】

　　　已知下列说法:

①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;

②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;

③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;

④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;

⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.

其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上). 

【解析】①错.a与b也可能异面;

②错.a与b也可能平行;

③对.因为α∥β,所以α与β无公共点.

又因为a⊂α,b⊂β,所以a与b无公共点;

④对.由已知及③知:a与b无公共点,

那么a∥b或a与b异面;

⑤错.a与β也可能平行.

答案:③④

8.在如图所示的几何体中,三个侧面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是平行四边形,则平面ABC与平面A1B1C1平行吗?________(填“是”或“否”). 

【解析】因为侧面AA1B1B是平行四边形,

所以AB∥A1B1,

因为AB⊄平面A1B1C1,A1B1⊂平面A1B1C1,

所以AB∥平面A1B1C1,

同理可证:BC∥平面A1B1C1.

又因为AB∩BC=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,

所以平面ABC∥平面A1B1C1.

答案:是

三、解答题(共38分)

9.(12分)如图所示,在直角梯形ABCP中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD.E,F,G分别为线段PC,PD,BC的中点,现将△PDC折起,使点P∉平面ABCD.

求证:平面PAB∥平面EFG.

【证明】因为PE=EC,PF=FD,所以EF∥CD,

又因为CD∥AB,所以EF∥AB,

又EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,

所以EF∥平面PAB,同理可证EG∥平面PAB.

又因为EF⊂平面EFG,EG⊂平面EFG且EF∩EG=E,所以平面PAB∥平面EFG.

10.(12分)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,E分别是BC与B1C1的中点.求证:平面A1EB∥平面ADC1.

【证明】由棱柱性质知,B1C1∥BC,B1C1=BC,

又D,E分别为BC,B1C1的中点,

所以C1E?DB,则四边形C1DBE为平行四边形,

因此EB∥C1D,

又C1D⊂平面ADC1,EB⊄平面ADC1,

所以EB∥平面ADC1.

连接DE,同理,EB1?BD,

所以四边形EDBB1为平行四边形,则ED?B1B.

因为B1B?A1A(棱柱的性质),

所以ED?A1A,则四边形EDAA1为平行四边形,

所以A1E∥AD,又A1E⊄平面ADC1,AD⊂平面ADC1,所以A1E∥平面ADC1.

因为A1E⊂平面A1EB,EB⊂平面A1EB且A1E∩EB=E,所以平面A1EB∥平面ADC1.

11.(14分)如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2,当点M在何位置时,BM∥平面AEF.

【解析】如图,取EC的中点P,AC的中点Q,连接PQ,PB,BQ,则PQ∥AE.

因为EC=2FB=2,所以PE=BF.

又因为ABC-A1B1C1是三棱柱,所以PE∥BF.

所以四边形BFEP为平行四边形,所以PB∥EF.

又AE,EF⊂平面AEF,PQ,PB⊄平面AEF,

所以PQ∥平面AEF,PB∥平面AEF.

又PQ∩PB=P,所以平面PBQ∥平面AEF.

又BQ⊂平面PBQ,所以BQ∥平面AEF.

故点Q即为所求的点M,

即点M为AC的中点时,BM∥平面AEF.