2020-2021学年2.3 等差数列的前n项和当堂达标检测题

这是一份2020-2021学年2.3 等差数列的前n项和当堂达标检测题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(45分钟 75分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.若数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,且a2=3a4-6,则S9等于( )
A.54B.50C.27D.25
【解析】选C.设{an}公差为d,则a4=a2+2d,
所以a2=3(a2+2d)-6,2a2+6d-6=0,a2+3d=3,即a5=3,所以S9= QUOTE =9×a5=27.
2.已知等差数列{an}的公差d≠0,Sn是其前n项和,若a1+a3+a5=-15,a2+a4+a6=-21,则 QUOTE S3的值是( )
A.-5B.- QUOTE C.- QUOTE D.- QUOTE
【解析】选C.由等差数列性质知3a3=-15,3a4=-21,
故a3=-5,a4=-7,则a2=-3.
则 QUOTE S3= QUOTE × QUOTE = QUOTE =- QUOTE .
3.设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5S8,则下列结论错误的是( )
A.d<0
B.a7=0
C.S9>S5
D.S6和S7均为Sn的最大值
【解析】选C.因为S5S8,所以a7=0且S6与S7均是Sn的最大值,因此d<0.
4.若数列{an}的通项an=2n-6,设bn=|an|,则数列{bn}的前7项和为( )
A.14B.24C.26D.28
【解析】选C.当n≤3时,an≤0,bn=|an|=-an=6-2n,
即b1=4,b2=2,b3=0.
当n>3时,an>0,bn=|an|=an=2n-6,
即b4=2,b5=4,b6=6,b7=8.
所以数列{bn}的前7项和为4+2+0+2+4+6+8=26.
5.在数列{an}中,an= QUOTE ,其前n项和为 QUOTE ,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n=0在y轴上的截距为( )
A.-10B.-9C.10D.9
【解析】选B.{an}的前n项和为 QUOTE + QUOTE +…+ QUOTE =1- QUOTE + QUOTE - QUOTE +…+ QUOTE - QUOTE =1- QUOTE = QUOTE = QUOTE ,所以n=9,直线(n+1)x+y+n=0即为10x+y+9=0,所以其在y轴上的截距为-9.
6.数列{an},{bn}满足anbn=1,an=n2+3n+2,则{bn}的前10项和为( )
A. QUOTE B. QUOTE C. QUOTE D. QUOTE
【解析】选B.由已知,bn= QUOTE = QUOTE = QUOTE = QUOTE - QUOTE ,所以{bn}的前10项和为S10= QUOTE + QUOTE + QUOTE +…+ QUOTE = QUOTE - QUOTE = QUOTE .
二、填空题(每小题5分,共15分)
7.(2019·北京高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=-3,S5=-10,则a5=________,Sn的最小值为________.
【解析】设公差为d,a2=a1+d=-3,S5=5a1+ QUOTE d=-10,即a1+2d=-2,解得a1=-4,d=1,所以a5=a1+4d=0,Sn=na1+ QUOTE d= QUOTE ,当n=4或5时,Sn最小,为-10.
答案:0 -10
8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为________.
【解析】S奇=a1+a3+a5+a7+a9=15,
S偶=a2+a4+a6+a8+a10=30,
所以S偶-S奇=5d=15,d=3.
答案:3
9.已知数列{an}满足an=11-2n则,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=________.
【解析】原式=(a1+a2+a3+a4+a5)-(a6+a7+a8)
=(9+7+5+3+1)-(-1-3-5)
=34.
答案:34
三、解答题(每小题10分,共30分)
10.已知数列{bn}满足bn= QUOTE ,求{bn}的前n项和Sn.
【解析】因为bn= QUOTE = QUOTE - QUOTE
所以Sn=b1+b2+…+bn
=1- QUOTE + QUOTE - QUOTE +…+ QUOTE - QUOTE
=1- QUOTE = QUOTE
11.(2019·杭州高一检测)已知数列{an}中,a7=6,a10=-3,Sn为等差数列{an}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式及Sn的最大值.
(2)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a19|+|a20|.
【解析】(1)因为a7=6,a10=-3,
故: QUOTE ,解得a1=24,d=-3,
则an=-3n+27,
数列的前n项和公式为:
Sn=n×24+ QUOTE ×(-3)=- QUOTE n2+ QUOTE n,
注意到数列{an}单调递减,且a8>0,a9=0,
所以Sn的最大值=S8=S9=108.
(2)因为|a1|+|a2|+|a3|+…+|a19|+|a20|=a1+a2+a3+…+a9-(a10+a11+…+a20),
所以a1+a2+a3+…+a9-(a10+a11+…+a20)=2S9-S20,
由于S9=108,S20=-90,即|a1|+|a2|+|a3|+…+|a19|+|a20|=306.
12.已知Sn为各项均为正数的数列{an}的前n项和,a1∈(0,2), QUOTE +3an+2=6Sn.
(1)求{an}的通项公式.
(2)设bn= QUOTE ,数列{bn}的前n项和为Tn,若对任意n∈N*,t≤4Tn恒成立,求实数t的最大值.
【解析】(1)①当n=1时, QUOTE +3a1+2=6S1=6a1,
即 QUOTE -3a1+2=0,又因为a1∈(0,2),解得a1=1.
②对任意n∈N*,由 QUOTE +3an+2=6Sn知
QUOTE +3an+1+2=6Sn+1,两式相减,得
QUOTE - QUOTE +3(an+1-an)=6an+1,
即(an+1+an)(an+1-an-3)=0,
由an>0得an+1-an-3=0,即an+1-an=3,
所以{an}是首项为1,公差为3的等差数列,
所以an=1+3(n-1)=3n-2.
(2)由an=3n-2得
bn= QUOTE = QUOTE = QUOTE ,
所以Tn=b1+b2+…+bn= QUOTE
= QUOTE = QUOTE .
因为Tn+1-Tn= QUOTE - QUOTE = QUOTE >0,
所以Tn+1>Tn,即数列{Tn}是递增数列,
所以t≤4Tn, QUOTE ≤Tn, QUOTE ≤T1= QUOTE ,t≤1,
所以实数t的最大值是1.
(45分钟 85分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是
( )
A.5B.6C.7D.8
【解析】选C.方法一:由S3=S11得a4+a5+…+a11=0,由等差数列性质得a7+a8=0,由首项等于13可知数列递减,所以a7>0,a8<0,所以n=7时Sn最大.
方法二:由S3=S11得3a1+3d=11a1+55d,
把a1=13代入,得d=-2,
所以Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n,由二次函数的性质知当n=7时Sn最大.
2.(2019·大庆高一检测)已知数列{an}是等差数列,a1<0,a8+a9>0,a8·a9<0.则使Sn>0的n的最小值为( )
A.8B.9C.15D.16
【解析】选D.因为等差数列{an},首项a1<0,a8+a9>0,a8·a9<0,
所以a8<0,a9>0,
由Sn= QUOTE n(a1+an),可得S15=15a8<0,S16= QUOTE =8(a8+a9)>0,
所以使前n项和Sn>0成立的最小自然数n的值为16.
3.已知在数列{an}中,an= QUOTE ,若{an}的前n项和为 QUOTE ,则项数n为
( )
A.2 015B.2 016C.2 017D.2 018
【解析】选D.设Sn为{an}的前n项和,
因为an= QUOTE = QUOTE - QUOTE ,故Sn=a1+a2+…+an= QUOTE + QUOTE +…+ QUOTE =
1- QUOTE = QUOTE ,令Sn= QUOTE = QUOTE ,
故n=2 018.
4.已知函数f(x)是(-1,+∞)上的单调函数,且函数y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,若数列{an}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则数列{an}的前100项的和为( )
A.-200B.-100C.0D.-50
【解析】选B.因为函数y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,又因为函数f(x)是(-1,+∞)上的单调函数,{an}是公差不为0的等差数列,f(a50)=f(a51),
所以a50+a51=-2,S100= QUOTE =50(a50+a51)=-100.
5.在等差数列{an}中,a100<0,a101>0,且|a100|<|a101|,Sn为其前n项和,则使Sn<0的最大正整数n为( )
A.202B.201C.200D.199
【解析】选D.由条件得,等差数列{an}的公差d>0,
因为a100<0,a101>0,且|a100|<|a101|,
所以-a1000.
所以S200= QUOTE = QUOTE >0,
S199= QUOTE = QUOTE =199a100<0,
所以使Sn<0的最大正整数n为199.
二、填空题(每小题5分,共20分)
6.若Sn是等差数列{an}的前n项和,且 QUOTE = QUOTE ,则 QUOTE =________.
【解析】由 QUOTE = QUOTE , QUOTE = QUOTE ,2a1=5d,
而 QUOTE = QUOTE = QUOTE = QUOTE .
答案: QUOTE
7.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,满足a2+a8=6,S5=-5,则a6=________,Sn的最小值为________.
【解析】依题意得: QUOTE
解得 QUOTE 所以a6=-5+10=5,
Sn=-5n+ QUOTE ×2=n2-6n,
当n=3时,Sn的最小值为-9.
答案:5 -9
8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列 QUOTE 的前99项和为________.
【解析】由题意得 QUOTE 解得 QUOTE
所以an=a1+(n-1)d=n.
所以 QUOTE = QUOTE = QUOTE - QUOTE
故数列 QUOTE 的前99项和为S99=1- QUOTE + QUOTE - QUOTE +…+ QUOTE - QUOTE =1- QUOTE = QUOTE
答案: QUOTE
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若1≤a1≤3,3≤a1+S3≤6,则 QUOTE 的取值范围是________.
【解析】在等差数列{an}中,a1+a3=2a2,所以S3=a1+a2+a3=3a2,
又3≤a1+S3≤6,所以3≤a1+3a2≤6.
由1≤a1≤3得 QUOTE ≤ QUOTE ≤1.
所以1≤ QUOTE ≤6,即1≤1+ QUOTE ≤6,
所以0≤ QUOTE ≤ QUOTE .
即 QUOTE 的取值范围是 QUOTE .
答案: QUOTE
三、解答题(每小题10分,共40分)
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=8,a4=4.
(1)求a9.
(2)求Sn的最大值.
【解析】(1)因为 QUOTE 解得 QUOTE
所以a9=a1+8d=-6.
(2)Sn=10n-n(n-1)=-n2+11n=- QUOTE + QUOTE ,
由二次函数的性质,当n=5或6时,Sn取最大值为30.
11.数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*.
(1)证明:数列 QUOTE 是等差数列.
(2)若Tn=a1-a2+a3-a4+…+(-1)n+1·an,求Tn.
【解析】(1)由已知可得 QUOTE = QUOTE +1,
即 QUOTE - QUOTE =1,
所以 QUOTE 是以 QUOTE =1为首项,1为公差的等差数列.
(2)由(1)得 QUOTE =1+(n-1)·1=n,所以an=n2,
因为Tn=a1-a2+a3-a4+…+(-1)n+1·an,
所以Tn=12-22+32-42+…+(-1)n(n-1)2+(-1)n+1·n2.
当n为偶数时,Tn=-(3+7+…+2n-1)=- QUOTE ;
当n为奇数时,Tn=-(3+7+…+2n-3)+n2= QUOTE .
综上,Tn=(-1)n+1· QUOTE .
12.已知公差大于零的等差数列 QUOTE 的前n项和为Sn,且满足a3·a4=117,a2+a5=22.
(1)求数列 QUOTE 的通项公式.
(2)求Sn的最小值.
(3)若数列 QUOTE 是等差数列,且bn= QUOTE ,求非零常数c.
【解析】(1)因为a2+a5=22, QUOTE 为等差数列,故a3+a4=22,
由 QUOTE 可得 QUOTE 或 QUOTE ,
因为d>0,所以a3=9,a4=13,
所以d=4,a1=1,所以an=4n-3.
(2)由(1)知Sn=na1+ QUOTE =2n2-n=
2 QUOTE - QUOTE ,
所以当n=1时,Sn最小,最小值为S1=a1=1.
(3)由(1)知Sn=na1+ QUOTE d=2n2-n,
所以bn= QUOTE .
因为 QUOTE 为等差数列,所以b1+b3=2b2,
所以 QUOTE + QUOTE =2× QUOTE ,
所以2c2+c=0,所以c=0 (舍)或c=- QUOTE .
当c=- QUOTE 时,bn= QUOTE =2n,此时bn-bn-1=2,
故 QUOTE 为等差数列,
故c=- QUOTE .
13.数列{an}满足a1= QUOTE ,an+1= QUOTE (n∈N*).
(1)求证: QUOTE 为等差数列,并求出{an}的通项公式.
(2)设bn= QUOTE -1,数列{bn}的前n项和为Bn,对任意n≥2都有B3n-Bn> QUOTE 成立,求正整数m的最大值.
【解析】(1)因为an+1= QUOTE ,
所以 QUOTE = QUOTE = QUOTE =-1+ QUOTE ,
即 QUOTE - QUOTE =-1,
所以 QUOTE 是首项为-2,公差为-1的等差数列,
QUOTE =-2+(n-1)×(-1)=-(n+1),
所以an= QUOTE .
(2)bn= QUOTE -1= QUOTE ,
令Cn=B3n-Bn= QUOTE + QUOTE +…+ QUOTE ,
所以Cn+1-Cn= QUOTE + QUOTE +…+ QUOTE -
QUOTE -…- QUOTE =- QUOTE + QUOTE + QUOTE + QUOTE
= QUOTE - QUOTE + QUOTE > QUOTE - QUOTE =0,
所以Cn+1-Cn>0,
{Cn}为单调递增数列,又因为n≥2,
所以(B3n-Bn)min=B6-B2= QUOTE + QUOTE + QUOTE + QUOTE = QUOTE ,
QUOTE < QUOTE ,m<19.
又因为m∈N*,
所以m的最大值为18.