高中数学人教B版 (2019)选择性必修第三册6.2.2 导数与函数的极值、最值导学案及答案

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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修第三册6.2.2 导数与函数的极值、最值导学案及答案，共11页。学案主要包含了思维·引，内化·悟，类题·通，习练·破，加练·固，新情境·新思维等内容，欢迎下载使用。

必备知识·素养奠基
1.极值点与极值
1.一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x,都有
(1)f(x)(2)f(x)>f(x0),则称x0为函数f(x)的一个极小值点,且f(x)在x0处取极小值.
(1)函数的极小值点是点吗?
提示:函数的极小值点不是点,它是函数极小值对应的自变量的值.
(2)函数的极小值唯一吗?
提示:不一定,有的函数无极小值,有的函数有唯一一个极小值,有的函数有多个极小值.
(3)函数的极大值一定大于它的极小值吗?
提示:不一定.
2.极值点、极值的定义
(1)极小值点、极大值点统称为极值点.
(2)极小值、极大值统称为极值.
极值点的分布有什么规律吗?
提示:有规律.如果函数y=f(x)既有极大值又有极小值,那么
①函数y=f(x)在极值点处导数为0;
②极大值点与极小值点交替出现,相邻两个极大值点之间一定有一个极小值点,相邻两个极小值点之间一定有一个极大值点.
3.求函数y=f(x)极值的方法
(1)一般地,如果x0是y=f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则必有f′(x0)=0,若f′(x0)=0存在,则“f′(x0)=0”是“x0是y=f(x)的极值点”的必要条件;
(2)一般地,设函数f(x)在x0处可导且f′(x0)=0
①如果对于x0左侧附近的任意x,都有f′(x)>0;对于x0右侧附近的任意x,都有f′(x)<0,那么此时x0是f(x)的极大值点;
②如果对于x0左侧附近的任意x,都有f′(x)<0;对于x0右侧附近的任意x,都有f′(x)>0,那么此时x0是f(x)的极小值点;
③如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号),则x0一定不是y=f(x)的极值点.
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)导数值为0的点一定是函数的极值点.( )
(2)函数的极小值一定小于它的极大值.( )
(3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值.( )
(4)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数.( )
提示:(1)×.导数值为0的点不一定是函数的极值点.
(2)×.有的函数的某个极小值大于它的某个极大值.
(3)×.有的函数只有一个极大值或极小值;有的函数有一个极大值和一个极小值;有的函数有多个极小值和极大值;也有的函数无极值.
(4)√.若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)极值点的两侧附近其单调性一定相反,所以它在(a,b)内不是单调函数.
2.函数y=1+3x-x3有( )
A.极小值-2,极大值2B.极小值-2,极大值3
C.极小值-1,极大值1D.极小值-1,极大值3
【解析】选D.y′=3-3x2=3(1+x)(1-x).
令y′=0得x1=-1,x2=1.
当x<-1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数;
当-10,函数y=1+3x-x3是增函数;
当x>1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数.
所以当x=-1时,函数y=1+3x-x3有极小值-1;
当x=1时,函数y=1+3x-x3有极大值3.
3.已知函数f(x)的导数为f′(x)=4x3-4x,且f(x)的图象过点(1,-6),当函数f(x)取得极大值-5时,x的值应为( )
A.1B.0C.-5D.5
【解析】选B.设f(x)=x4-2x2+c,
又f(x)的图象过点(1,-6),
所以c=-5.故f(x)=x4-2x2-5.
又当f′(x)=0时,x=0或1或-1,
所以当函数f(x)取得极大值-5,
即f(x)=-5时,x=0.
关键能力·素养形成
类型一求函数的极值(点)
【典例】1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
2.设函数f(x)=xex,则( )
A.x=1为f(x)的极大值点
B.x=1为f(x)的极小值点
C.x=-1为f(x)的极大值点
D.x=-1为f(x)的极小值点
【思维·引】
1.结合图象判断导数的符号,找出函数的极值点及极值.
2.求导,利用极值的定义求解.
【解析】1.选D.由函数的图象可知,f′(-2)=0,f′(2)=0,并且当x<-2时,f′(x)>0;当-22时,f′(x)>0,则函数f(x)有极小值f(2).
2.选D.因为f(x)=xex,
所以f′(x)=ex+xex=ex(1+x).
当f′(x)≥0,即ex(1+x)≥0时,解得x≥-1,
所以当x≥-1时,函数f(x)为增函数.
同理可得,当x<-1时,函数f(x)为减函数.
所以当x=-1时,函数f(x)取得极小值.
【内化·悟】
函数的极值点满足的条件是什么?
提示:(1)导数为0.
(2)两侧导数异号.
【类题·通】
函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求方程f′(x)=0的根.
(3)用方程f′(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格.
(4)由f′(x)在方程f′(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
提醒:当实数根较多时,要充分利用表格,使极值点的确定一目了然.
【习练·破】
(2020·平顶山高二检测)函数f(x)=-x2-2ln x+5x的极大值是( )
A.6-ln 2B.6-ln 4
C. QUOTE +ln 4D. QUOTE
【解析】选B.函数定义域为(0,+∞),且f′(x)=-2x- QUOTE +5= QUOTE = QUOTE ,
令f′(x)= QUOTE =0,则x1= QUOTE ,x2=2.
当x∈ QUOTE 时,f′(x)<0;
当x∈ QUOTE 时,f′(x)>0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)<0.
所以函数f(x)=-x2-2ln x+5x的极大值为f(2)=6-2ln 2=6-ln 4.
类型二与参数相关的极值问题
【典例】1.若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是________.
2.函数f(x)=x3+mx2+x+1在R上无极值点,则m的取值范围是________.
【思维·引】
1.求出极小值点,令其在(0,1)内,求b的范围.
2.f′(x)≥0恒成立.
【解析】1.f′(x)=3x2-6b.
当b≤0时,f′(x)≥0恒成立,函数f(x)无极值.
当b>0时,令3x2-6b=0得x=± QUOTE .
由函数f(x)在(0,1)内有极小值,可得0< QUOTE <1,
解得0答案: QUOTE
2.因为f′(x)=3x2+2mx+1,
f(x)=x3+mx2+x+1在R上无极值点,
所以f′(x)≥0对x∈R恒成立,
所以Δ=(2m)2-4×3×1≤0⇒- QUOTE ≤m≤ QUOTE .
答案:[- QUOTE , QUOTE ]
【内化·悟】
解决与参数相关的极值问题的范围的关键是什么?
提示:根据极值条件列不等式(组).
【类题·通】
已知函数的极值情况求参数时的注意问题
(1)待定系数法:常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组,用待定系数法求解.
(2)验证:因为导数值为0不一定此点就是极值点,故利用上述方程组解出的解必须验证.
【习练·破】
1.设a∈R,若函数y=x+aln x在区间 QUOTE 上有极值点,则a的取值范围为( )
A. QUOTE
B. QUOTE
C. QUOTE ∪(e,+∞)
D.(-∞,-e)∪ QUOTE
【解析】选B.函数y=f(x)=x+aln x在区间 QUOTE 上有极值点⇔y′=0在区间 QUOTE 上有零点.f′(x)=1+ QUOTE = QUOTE (x>0).所以f′ QUOTE ·f′(e)<0,所以 QUOTE (e+a)<0,
解得-e2.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是__________.
【解析】由题意知f′(x)=3x2+2ax+a+6=0有两个不等实根,所以Δ=4a2-12(a+6)>0,
解得a<-3或a>6.
答案:(-∞,-3)∪(6,+∞)
【加练·固】
已知函数f(x)=2x3+3(a+2)x2+3ax的两个极值点为x1,x2,且x1x2=2,则a=________.
【解析】f′(x)=6x2+6(a+2)x+3a.
因为x1,x2是f(x)的两个极值点,
所以f′(x1)=f′(x2)=0,
即x1,x2是6x2+6(a+2)x+3a=0的两个根,
从而x1x2= QUOTE =2,解得a=4.
答案:4
类型三函数极值的综合问题
角度1 已知极值点求参数的值
【典例】已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值,且f(1)=-1.
(1)试求常数a,b,c的值.
(2)试判断x=±1是函数的极小值点还是极大值点,并说明理由.
【思维·引】
(1)x=±1是导函数的零点,结合f(1)=-1列方程组,求a,b,c的值.
(2)求导,确定极大值点还是极小值点.
【解析】(1)f′(x)=3ax2+2bx+c,
由f′(-1)=f′(1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0.
又f(1)=-1,即a+b+c=-1.
解得a= QUOTE ,b=0,c=- QUOTE .
(2)f(x)= QUOTE x3- QUOTE x,
所以f′(x)= QUOTE x2- QUOTE = QUOTE (x-1)(x+1);
当x<-1或x>1时,f′(x)>0;
当-1所以函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上为增函数,
在(-1,1)上为减函数.所以当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1,x=-1是极大值点;
当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1,x=1是极小值点.
角度2 求含参数的函数极值
【典例】已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程.
(2)求函数f(x)的极值.
【思维·引】(1)求导,点斜式求切线方程.
(2)求导,对a讨论判断导数符号求极值.
【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1- QUOTE .
(1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,f′(x)=1- QUOTE (x>0),
则f(1)=1,f′(1)=-1,
故y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
(2)由f′(x)=1- QUOTE = QUOTE ,x>0可知:
①当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;
②当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a.
当x∈(0,a)时,f′(x)<0;
当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0.
故f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.
【类题·通】
1.三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极值的充要条件
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极值⇔导函数f′(x)=3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac>0.
2.三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)单调性与极值(设x1(1)当Δ≤0时,①若a>0,则f(x)在R上是增函数;
②若a<0,则f(x)在R上是减函数.
(2)当Δ>0时,①若a>0,则f(x)的增区间为(-∞,x1)和(x2,+∞),减区间为(x1,x2),f(x1)为极大值,f(x2)为极小值;②若a<0,则f(x)的减区间为(-∞,x1)和(x2,+∞),增区间为(x1,x2),f(x1)为极小值,f(x2)为极大值.
(如图所示)
【习练·破】
(2020·平谷高二检测)已知函数f(x)= QUOTE ,其中a∈R.
(1)当a=0时,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(2)求证:f(x)的极大值恒大于0.
【解析】(1)f′(x)= QUOTE = QUOTE ,
当a=0时,f′(1)= QUOTE ,f(1)= QUOTE ,
则f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y= QUOTE x.
(2)令f′(x)=0,解得x=2或x=-a,
①当a=-2时,f′(x)≤0恒成立,此时函数f(x)在R上单调递减,所以函数f(x)无极值;
②当a>-2时,令f′(x)>0,解得-a2,
所以函数f(x)在(-a,2)上单调递增,在(-∞,-a),(2,+∞)上单调递减,
所以f(x)极大值=f(2)= QUOTE >0;
③当a<-2时,令f′(x)>0,解得2-a,
所以函数f(x)在(2,-a)上单调递增,在(-∞,2),(-a,+∞)上单调递减,
所以f(x)极大值=f(-a)= QUOTE >0,
综上,函数f(x)的极大值恒大于0.
课堂检测·素养达标
1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解析】选A.极小值点应有先减后增的特点,即f′(x)<0→f′(x)=0→f′(x)>0.由图象可知只有1个极小值点.
2.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则关于f(x)的结论正确的是( )
A.在区间(-2,2)上单调递减
B.在x=-2处取得极小值
C.在区间(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增
D.在x=0处取得极大值
【解析】选B.由图象得:f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,故f(x)在x=-2处取极小值,在x=2处取极大值.
3.函数f(x)= QUOTE 的极大值为________.
【解析】因为函数f(x)= QUOTE ,x∈(0,+∞),
所以f′(x)= QUOTE = QUOTE ,
令f′(x)=0得,x=e2,所以当x∈(0,e2)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(e2,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,所以当x=e2时,函数f(x)取到极大值,极大值为f(e2)= QUOTE = QUOTE .
答案: QUOTE
【新情境·新思维】
设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1为函数y=f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)图象的是( )
【解析】选D.因为[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′
=[f(x)+f′(x)]ex,
且x=-1为函数y=f(x)ex的一个极值点,
所以f(-1)+f′(-1)=0;
选项D中,f(-1)>0,f′(-1)>0,
不满足f′(-1)+f(-1)=0.新版课程标准
学业水平要求
1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值
3.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系
1.借助教材实例了解函数的极值及相关的概念.(数学抽象)
2.能利用导数求某些函数极值.(数学运算)
3.能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最值.(数学运算)
4.体会导数在求极值、最值中的应用.(数学运算)
Δ>0
Δ≤0
a>0
a<0