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2021年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟试卷（4月份） 解析版
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这是一份2021年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟试卷（4月份） 解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）的相反数是（ ）
A． B．﹣6 C．6 D．﹣
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a+2a＝3a2 B．a3•a2＝a5 C．（3a）2＝6a2 D．a6÷a2＝a3
3．（4分）2020年，在全球经济受到新冠疫情的影响下，我国GDP仍逆势增长2.3%，经济总量达到1016000亿元．数1016000用科学记数法表示为（ ）
A．1.016×107 B．1.016×106 C．1.016×105 D．10.16×105
4．（4分）如图是一个“凹”字形几何体，下列关于该几何体的俯视图画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）甲、乙、丙、丁四位同学的五次数学测验成绩统计如表所示，如果要从这四位同学中，选出一位成绩好又稳定的同学参加数学竞赛，则应选的同学是（ ）
甲
乙
丙
丁
平均分
90
85
90
85
方差
42
50
50
42
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（4分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．55°
7．（4分）如图，是一张矩形纸片ABCD，AB＝12，AD＝12，按如图方式剪出一张扇形纸片OEF，O为BC中点，弧EF与AD相切，把这张扇形纸片围成一个无底圆锥，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
8．（4分）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）小明同学利用计算机软件绘制了某一函数的图象，如图所示．由学习函数的经验，可以推断这个函数可能是（ ）
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
10．（4分）已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（ ）
A．AD＝4AE B．AD＝2AB C．AB＝2AE D．AB＝3AE
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）二次根式中字母x的取值范围是 ．
12．（5分）分解因式：3a2﹣12＝ ．
13．（5分）学校组织春游，安排九年级三辆车，小王和小菲都可以从三辆车中任选一辆搭乘，则小王和小菲乘同一辆车的概率是 ．
14．（5分）已知命题：“关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0，当b＞0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是 ．
15．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以C为圆心，r为半径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 ．
16．（5分）如图，点A、C分别是x轴、y轴正半轴上的点，矩形ABCO的边AB，BC分别交函数y＝（x＞0，k≠0，k为常数）的图象于点P，Q，连接PQ．
（1）若P为AB中点，则＝ ．
（2）若把△BPQ沿PQ翻折，点B恰好落在x轴上的点E，且OE＝6，EA＝2，则k＝ ．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（1）计算：（a﹣1）2+2（a﹣2）；
（2）解不等式：7﹣x＞2（x+2）﹣3．
18．（8分）图1，图2都是由边长为1的小正方形构成的网格，△ABC的三个顶点都在格点上，请在该4×4的网格中，分别按下列要求画一个与△ABC有公共边的三角形：
（1）使得所画出的三角形和△ABC组成一个轴对称图形．
（2）使得所画出的三角形和△ABC组成一个中心对称图形．
（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
19．（8分）今年的7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，我市某中学开展了爱党宣传教育活动．为了了解这次宣传活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行知识测试，并将测试成绩分为A，B，C，D，E五个等级，绘制成了统计图（部分信息未给出）．
（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图．
（2）求扇形统计图中“A”所对应的扇形圆心角的度数．
（3）如果测试成绩为A、B等级的均为优秀，请估计该校学生中成绩为优秀的人数．
20．（10分）图1是某景区的纪念币，一面有一个正十边形，示意图如图2所示，其外接圆的圆心为O，直径为20mm．
（1）求这个正十边形的边长AB．
（2）求这个正十边形的面积．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B、C两点，与y轴交于D，点B的坐标是（﹣1，0）．
（1）求二次函数图象的顶点坐标并直接写出直线CD的函数关系式．
（2）作一条平行于x轴的直线交二次函数的图象于点M，N，与直线CD于点R．若点M，N，R的横坐标分别为m，n，r，且r＜m≤n，求m+n+r的取值范围．
22．（10分）小聪和小慧去某风景区游览，约好在飞瀑见面．上午9：00，小聪从塔林出发，沿景区公路（如图1）步行15分钟至草甸，休息若干分钟后搭乘景区班车赶往飞瀑，车速为36km/h．小慧也于上午9：00从古刹出发，骑自行车前往飞瀑．两人离古刹的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．已知古刹与塔林的路程为1500m．
（1）求小聪步行时离古刹的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式．
（2）求小聪乘坐景区班车的时间．
（3）若小慧比小聪早到2分钟，求两人几时几分相遇．
23．（12分）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C，分别过A、B两点作AE⊥l，BD⊥l，垂足分别为E、D．求证：△BDC∽△CEA．
【尝试应用】
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，过D作AD的垂线交AB于点E．若BE＝DE，tan∠BAD＝，AC＝20，求BD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在▱ABCD中，在BC上取点E，使得∠AED＝90°，若AE＝AB，＝，CD＝，求▱ABCD的面积．
24．（14分）定义：从三角形一个角的顶点引一条射线与对边相交，把这个角分成两个角，如果其中一个角与这条射线另一侧的原三角形的内角互余，那么这条射线上三角形顶点到对边交点的线段称为这个三角形的“交互线”．
（1）判断下列命题是真命题还是假命题？
①直角三角形的斜边上的高是它的交互线；
②若三角形的角平分线是它的交互线，则这个三角形是等腰三角形．
（2）如图1，巳知BE为锐角△ABC的交互线．
①求证：BE过△ABC外接圆的圆心O．
②若AB＝AC，交互线BE＝25，⊙O的半径为16，求AB的长．
（3）如图2，已知，在△ABC中，∠C＝45°，它的两条交互线AD，BE相交于点F，且AD＝m，BE＝n，求△ABC外接圆的面积（用含m，n的代数式表示）．
2021年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）的相反数是（ ）
A． B．﹣6 C．6 D．﹣
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，在数轴上表示，分别位于原点的两侧，且到原点距离相等的两点所表示的数是互为相反数．
【解答】解：的相反数是﹣，
故选：D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a+2a＝3a2 B．a3•a2＝a5 C．（3a）2＝6a2 D．a6÷a2＝a3
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a+2a＝3a，故本选项不合题意；
B、a3•a2＝a5，故本选项符合题意；
C、（3a）2＝9a2，故本选项不合题意；
D、a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
故选：B．
3．（4分）2020年，在全球经济受到新冠疫情的影响下，我国GDP仍逆势增长2.3%，经济总量达到1016000亿元．数1016000用科学记数法表示为（ ）
A．1.016×107 B．1.016×106 C．1.016×105 D．10.16×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1016000＝1.016×106．
故选：B．
4．（4分）如图是一个“凹”字形几何体，下列关于该几何体的俯视图画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用三视图画法结合俯视图的观察角度得出答案．
【解答】解：如图所示，其俯视图是：．
故选：D．
5．（4分）甲、乙、丙、丁四位同学的五次数学测验成绩统计如表所示，如果要从这四位同学中，选出一位成绩好又稳定的同学参加数学竞赛，则应选的同学是（ ）
甲
乙
丙
丁
平均分
90
85
90
85
方差
42
50
50
42
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先找到四人中平均数大的，即成绩好的；再从平均成绩好的人中选择方差小，即成绩稳定的，从而得出答案．
【解答】解：∵＝＞＝，
∴四位同学中甲、丙的平均成绩较好，
又∵S甲2＜S丙2，
∴甲的成绩好又稳定，
故选：A．
6．（4分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．55°
【分析】根据平行线的性质即可得到∠3的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到结论．
【解答】解：∵直线m∥n，
∴∠3＝∠1＝25°，
又∵三角板中，∠ABC＝60°，
∴∠2＝60°﹣25°＝35°，
故选：C．
7．（4分）如图，是一张矩形纸片ABCD，AB＝12，AD＝12，按如图方式剪出一张扇形纸片OEF，O为BC中点，弧EF与AD相切，把这张扇形纸片围成一个无底圆锥，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【分析】过O点作OH⊥AD于H，如图，根据切线的性质得OH＝OE＝OF＝AB＝12，再利用三角函数求出∠BOE＝∠COF＝30°，则∠EOF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，设这个圆锥的底面半径为r，利用弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可．
【解答】解：过O点作OH⊥AD于H，如图，
∵弧EF与AD相切，
∴OH＝OE＝OF＝AB＝12，
∵O为BC中点，
∴OB＝OC＝AD＝6，
在Rt△OBE中，∵cos∠BOE＝＝＝，
∴∠BOE＝30°，
同理可得∠COF＝30°，
∴∠EOF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
设这个圆锥的底面半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝4，
即这个圆锥的底面半径为4．
故选：D．
8．（4分）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2＝快马速度，根据等量关系，可得方程．
【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得：
×2＝，
故选：A．
9．（4分）小明同学利用计算机软件绘制了某一函数的图象，如图所示．由学习函数的经验，可以推断这个函数可能是（ ）
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
【分析】由图象可知，当x＝0时，y＝0，当x＞0时，y＜0，x＝﹣2时，函数值不存在；
【解答】解：由图象可知，当x＝0时，y＝0，当x＞0时，y＜0，x＝﹣2时，函数值不存在，
故选：A．
10．（4分）已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（ ）
A．AD＝4AE B．AD＝2AB C．AB＝2AE D．AB＝3AE
【分析】设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，根据S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）＝（a﹣2c）x+bc，F为BC上一动点，x是变量，（a﹣2c）是x的系数，根据平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，为固定值，x的系数为0，bc为固定值，a﹣2c＝0，进而可得点E是AB的中点，即可进行判断．
【解答】解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）
＝ab﹣2[cx+（a﹣c）（b﹣x）]
＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx）
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝（a﹣2c）x+bc，
∵F为BC上一动点，
∴x是变量，（a﹣2c）是x的系数，
∵平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，为固定值，
∴x的系数为0，bc为固定值，
∴a﹣2c＝0，
∴a＝2c，
∴E是AB的中点，
∴AB＝2AE，
故选：C．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）二次根式中字母x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
12．（5分）分解因式：3a2﹣12＝ 3（a+2）（a﹣2） ．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：3a2﹣12＝3（a+2）（a﹣2）．
13．（5分）学校组织春游，安排九年级三辆车，小王和小菲都可以从三辆车中任选一辆搭乘，则小王和小菲乘同一辆车的概率是 ．
【分析】列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：设3辆车分别为A，B，C，
共有9种情况，在同一辆车的情况数有3种，
所以坐同一辆车的概率为：．
故答案为：．
14．（5分）已知命题：“关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0，当b＞0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是 ﹣1（答案不唯一）． ．
【分析】先根据判别式得到△＝b2﹣4，在满足b＜0的前提下，取b＝﹣1得到△＜0，根据判别式的意义得到方程没有实数解，于是b＝﹣1可作为说明这个命题是假命题的一个反例．
【解答】解：△＝b2﹣4，由于当b＝﹣1时，满足b＜0，
而△＜0，方程没有实数解，所以当b＝﹣1时，
可说明这个命题是假命题．
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
15．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以C为圆心，r为半径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 r＝或2＜r≤2． ．
【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出BC，即可得出答案．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△BCA中，
∵∠ACB＝90°，AC＝2，∠B＝30°，
∴AB＝4，
∴BC＝＝＝2，
根据三角形的面积公式得：AB•CD＝AC•BC，
∴CD＝＝＝，
当圆与时AB相切时，r＝，
当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤2，
综上所述：r的取值范围是r＝或2＜r≤2，
故答案为：r＝或2＜r≤2．
16．（5分）如图，点A、C分别是x轴、y轴正半轴上的点，矩形ABCO的边AB，BC分别交函数y＝（x＞0，k≠0，k为常数）的图象于点P，Q，连接PQ．
（1）若P为AB中点，则＝ ．
（2）若把△BPQ沿PQ翻折，点B恰好落在x轴上的点E，且OE＝6，EA＝2，则k＝ 12 ．
【分析】（1）设B（m，n），则A（m，0），C（0，n），Q点的纵坐标为n，根据反比例函数定义可得xQ，从而可得答案；
（2）连接BE，过Q作QH⊥x轴于H，设Q（m，n），在△QHE中，用勾股定理得n2＝28﹣4m①，由△QHE∽△EAP对应边成比例可得mn2＝96﹣16m②，从而可以解除m、n，得到答案．
【解答】解：（1）设B（m，n），则A（m，0），C（0，n），Q点的纵坐标为n，
∵P为AB中点，
∴P（m，n），
∵函数y＝（x＞0，k≠0，k为常数）的图象过点P，Q，
∴xQ•n＝k＝mn，
∴xQ＝m，
∴CQ＝m，Q是BC的中点，
∴＝；
故答案为：；
（2）连接BE，过Q作QH⊥x轴于H，如图：
∵把△BPQ沿PQ翻折，点B恰好落在x轴上的点E，
∴∠PBQ＝∠PEQ＝90°，BP＝EP，QE＝QB，
设Q（m，n），则CQ＝OH＝m，HQ＝n，
∵OE＝6，EA＝2，
∴OA＝BC＝8，HE＝OE﹣OH＝6﹣m，
∴QE＝QB＝BC﹣CQ＝8﹣m，
在△QHE中，HQ2+HE2＝QE2，即n2+（6﹣m）2＝（8﹣m）2，
化简得n2＝28﹣4m①，
∵Q在函数y＝（x＞0，k≠0，k为常数）的图象上，
∴k＝mn，
∵OA＝8
∴xP＝8，代入y＝得y＝，
∴P（8，），
∴AP＝，
∵∠PEQ＝90°，
∴∠PEA＝90°﹣∠QEH＝∠EQH，
而∠QHE＝∠PAE＝90°，
∴△QHE∽△EAP，
∴＝，
∴＝，化简得mn2＝96﹣16m②，
将n2＝28﹣4m①代入②得m（28﹣4m）＝96﹣16m，
解得m＝3或m＝8（舍去），
∴n＝4或n＝﹣4（舍去），
∴Q（3，4），
∴k＝12．
故答案为12．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（1）计算：（a﹣1）2+2（a﹣2）；
（2）解不等式：7﹣x＞2（x+2）﹣3．
【分析】（1）直接利用完全平方公式以及合并同类项法则计算得出答案；
（2）直接利用一元一次不等式的解法分析得出答案．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣2a+1+2a﹣4
＝a2﹣3；
（2）7﹣x＞2（x+2）﹣3
则7﹣x＞2x+4﹣3，
故﹣3x＞﹣6，
解得：x＜2．
18．（8分）图1，图2都是由边长为1的小正方形构成的网格，△ABC的三个顶点都在格点上，请在该4×4的网格中，分别按下列要求画一个与△ABC有公共边的三角形：
（1）使得所画出的三角形和△ABC组成一个轴对称图形．
（2）使得所画出的三角形和△ABC组成一个中心对称图形．
（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案；
（2）直接利用中心对称图形的性质分析得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△ADC即为所求（答案不唯一）；
（2）如图所示：△BEC即为所求（答案不唯一）．
19．（8分）今年的7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，我市某中学开展了爱党宣传教育活动．为了了解这次宣传活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行知识测试，并将测试成绩分为A，B，C，D，E五个等级，绘制成了统计图（部分信息未给出）．
（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图．
（2）求扇形统计图中“A”所对应的扇形圆心角的度数．
（3）如果测试成绩为A、B等级的均为优秀，请估计该校学生中成绩为优秀的人数．
【分析】（1）根据C等级的人数和所占的百分比求出调查的总人数，再用总人数减去其它等级的人数，求出D等级的人数，从而补全统计图；
（2）用360°乘以“A”所占的百分比即可；
（3）用总人数乘以成绩为优秀的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次被调查的学生人数是：39÷26%＝150（人），
D等级的人数有：150﹣24﹣51﹣39﹣6＝30（人），补全统计图如下：
（2）“A”所对应的扇形圆心角的度数是：360°×＝57.6°；
（3）1200×＝600（人），
答：该校学生中成绩为优秀的人数有600人．
20．（10分）图1是某景区的纪念币，一面有一个正十边形，示意图如图2所示，其外接圆的圆心为O，直径为20mm．
（1）求这个正十边形的边长AB．
（2）求这个正十边形的面积．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
【分析】（1）根据圆内接正十边形可得∠AOB＝36°，根据三角函数可求得AB的长；
（2）结合（1）根据三角函数可求OC的长，进而求出三角形AOB的面积，最后求出正十边形的面积．
【解答】解：（1）如图，过点O作OC⊥AB于点C，
由题意可知：∠AOB＝36°，
∵OA＝OB＝10mm，
∴∠AOC＝∠BOC＝18°，AC＝BC，
∴AC＝OA•sin18°≈10×031＝3.1（mm），
∴AB＝2AC＝6.2mm；
（2）∵OC＝OA•cos18°≈10×0.95＝9.5（mm），
∴S△AOB＝AB•OC＝6.2×9.5＝29.45（mm2），
∴S正十边形＝10×S△AOB＝2945（mm2）．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B、C两点，与y轴交于D，点B的坐标是（﹣1，0）．
（1）求二次函数图象的顶点坐标并直接写出直线CD的函数关系式．
（2）作一条平行于x轴的直线交二次函数的图象于点M，N，与直线CD于点R．若点M，N，R的横坐标分别为m，n，r，且r＜m≤n，求m+n+r的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）因为r＜m≤n，则直线在点D的下方、点A的上方（不能过点D，可以过点A），进而求解．
【解答】解：（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：a+2﹣3＝0，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
故顶点坐标为（1，﹣4）；
对于y＝x2﹣2x﹣3，令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，令x＝0，则y＝﹣3，
故点C、D的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），
设直线CD的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线CD的表达式为y＝x﹣3；
（2）∵r＜m≤n，
∴直线在点D的下方、点A的上方（不能过点D，可以过点A），
当y＝﹣4时，即﹣x﹣3＝﹣4，解得x＝﹣1，
故﹣1≤r＜0，
由抛物线的对称性知，点M、N关于抛物线的对称轴对称，故（m+n）＝2，
∴1≤m+n+r＜2．
22．（10分）小聪和小慧去某风景区游览，约好在飞瀑见面．上午9：00，小聪从塔林出发，沿景区公路（如图1）步行15分钟至草甸，休息若干分钟后搭乘景区班车赶往飞瀑，车速为36km/h．小慧也于上午9：00从古刹出发，骑自行车前往飞瀑．两人离古刹的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．已知古刹与塔林的路程为1500m．
（1）求小聪步行时离古刹的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式．
（2）求小聪乘坐景区班车的时间．
（3）若小慧比小聪早到2分钟，求两人几时几分相遇．
【分析】（1）设y＝kx+b，运用待定系数法求解即可；
（2）把x＝15代入（1）的结论，再根据题意列式计算即可解答；
（3）求出小慧骑自行车的函数表达式，联立（1）的结论求解即可．
【解答】解：（1）设小聪步行时离古刹的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式为y＝kx+b，
根据题意得：，
解得，
∴小聪步行时的函数表达式为y＝60x+1500（0≤x≤15）；
（2）当x＝15时，y＝60x+1500＝60×15+1500＝2400，
∵36km/h＝10m/s＝600m/min，
∴（5400﹣2400）÷600＝5（分钟）；
（3）∵27+5﹣2＝30（分钟），
5400÷30＝180（m/min），
∴小慧骑自行车的函数表达式y＝180x，
∴，
解得，
答：两人相遇的时间是上午9时12分30秒．
23．（12分）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C，分别过A、B两点作AE⊥l，BD⊥l，垂足分别为E、D．求证：△BDC∽△CEA．
【尝试应用】
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，过D作AD的垂线交AB于点E．若BE＝DE，tan∠BAD＝，AC＝20，求BD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在▱ABCD中，在BC上取点E，使得∠AED＝90°，若AE＝AB，＝，CD＝，求▱ABCD的面积．
【分析】（1）由直角三角形的性质证得∠BDC＝∠AEC，由相似三角形的判定定理可得出结论；
（2）过点E作EF⊥BC于点F，由相似三角形的性质得出，由锐角三角函数的定义求出DF＝16，则可求出答案；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC，交BC的延长线于点N，证明△ABM≌△DCN（AAS），由全等三角形的性质得出BM＝CN，AM＝DN，设BE＝4a，EC＝3a，由（1）得△AEM∽△EDN，得出比例线段，求出a＝1，b＝，由平行四边形的面积公式可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACE＝90°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BCD＝∠CAE，
∵BD⊥DE，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠AEC，
∴△BDC∽△CEA；
（2）解：过点E作EF⊥BC于点F，
由（1）得△EDF∽△DAC，
∴，
∵AD⊥DE，tan∠BAD＝，AC＝20，
∴，
∴DF＝16，
∵BE＝DE，
∴BF＝DF，
∴BD＝32；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC，交BC的延长线于点N，
∴∠AMB＝∠DNC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠B＝∠DCN，
∴△ABM≌△DCN（AAS），
∴BM＝CN，AM＝DN，
∵AB＝AE，AM⊥BC，
∴BM＝ME，
∵，
设BE＝4a，EC＝3a，
∴BM＝ME＝CN＝2a，EN＝5a，
∵∠AED＝90°，
由（1）得△AEM∽△EDN，
∴，
∴，
∴b＝a，
∵CD＝，
∴（2a）2+b2＝14，
∴a＝1，b＝，
∴▱ABCD的面积＝．
24．（14分）定义：从三角形一个角的顶点引一条射线与对边相交，把这个角分成两个角，如果其中一个角与这条射线另一侧的原三角形的内角互余，那么这条射线上三角形顶点到对边交点的线段称为这个三角形的“交互线”．
（1）判断下列命题是真命题还是假命题？
①直角三角形的斜边上的高是它的交互线；
②若三角形的角平分线是它的交互线，则这个三角形是等腰三角形．
（2）如图1，巳知BE为锐角△ABC的交互线．
①求证：BE过△ABC外接圆的圆心O．
②若AB＝AC，交互线BE＝25，⊙O的半径为16，求AB的长．
（3）如图2，已知，在△ABC中，∠C＝45°，它的两条交互线AD，BE相交于点F，且AD＝m，BE＝n，求△ABC外接圆的面积（用含m，n的代数式表示）．
【分析】（1）根据三角形的“交互线”定义即可判断；
（2）①延长BE交⊙O于N，连接CN，证明∠BCN＝90°即可；
②连接并延长AO交BC于D，由已知可得△AEO∽△BEA，从而可求AE长度，再由＝即可得答案；
（3）首先确定F为△ABC外接圆圆心，设AF＝r，则BF＝r，由△ABE∽△ACB，可得＝＝，即＝＝，从而有2r2＝AE•AC①，rn＝AE•BC②，同理可得：△ABD∽△CBA，有2r2＝BD•BC③，rm＝BD•AC④，将四个等式适当变形即可用m、n表示r2，即可得到答案．
【解答】解：（1）①假命题，如图：
∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
∵∠BCD＝90°﹣∠ACD＝∠A，
∴∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠A不应定为90°，
同理∠ACD＝∠B，∠ACD+∠B不应定为90°，
根据“交互线”定义，CD不一定是△ABC的“交互线”，
∴“直角三角形的斜边上的高是它的交互线”是假命题；
②真命题，如图：
∵AD是△ABC角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD是△ABC的“交互线”，
∴∠BAD+∠C＝90°或∠CAD+∠B＝90°，
若∠BAD+∠C＝90°，根据三角形内角和定理可得：∠CAD+∠B＝90°，
又∠BAD＝∠CAD，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，
若∠CAD+∠B＝90°，同理可得△ABC是等腰三角形，
∴“若三角形的角平分线是它的交互线，则这个三角形是等腰三角形”是真命题；
（2）①延长BE交⊙O于N，连接CN，如图：
∵BE为锐角△ABC的交互线，
∴∠ABN+∠ACB＝90°，
∵∠ABN＝∠ACN，
∴∠ACN+∠ACB＝90°，即∠NCB＝90°，
∴BN为直径，
∴BE过△ABC外接圆的圆心O；
②连接并延长AO交BC于D，如图：
∵AB＝AC，△ABC外接圆为⊙O，
∴由对称性可得：AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∵BE为△ABC的交互线，
∴∠ABE+∠ACD＝90°，
∵∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠ABE＝∠DAC，
又∠AEO＝∠BEA，
∴△AEO∽△BEA，
∴＝，
∵BE＝25，⊙O的半径为16，
∴EO＝9，
∴，
解得AE＝15，
∵△AEO∽△BEA，
∴＝＝，
∴AB＝；
（3）∵两条交互线AD，BE相交于点F，
∴F为△ABC外接圆圆心，
设AF＝r，则BF＝r，
∵∠C＝45°，
∴∠AFB＝2∠C＝90°，
∴∠ABF＝∠BAD＝∠C＝45°，AB＝r，
∵∠ABE＝∠ACB，
且∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴＝＝，即＝＝，
∴2r2＝AE•AC①，
rn＝AE•BC②，
同理可得：△ABD∽△CBA，
∴2r2＝BD•BC③，
rm＝BD•AC④，
①×③得4r4＝AE•AC•DB•BC，
②×④2mnr2＝AE•BC•DB•AC，
∴4r4＝2r2mn，
∴r2＝，
∴△ABC外接圆的面积为．
2021年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）的相反数是（ ）
A． B．﹣6 C．6 D．﹣
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a+2a＝3a2 B．a3•a2＝a5 C．（3a）2＝6a2 D．a6÷a2＝a3
3．（4分）2020年，在全球经济受到新冠疫情的影响下，我国GDP仍逆势增长2.3%，经济总量达到1016000亿元．数1016000用科学记数法表示为（ ）
A．1.016×107 B．1.016×106 C．1.016×105 D．10.16×105
4．（4分）如图是一个“凹”字形几何体，下列关于该几何体的俯视图画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）甲、乙、丙、丁四位同学的五次数学测验成绩统计如表所示，如果要从这四位同学中，选出一位成绩好又稳定的同学参加数学竞赛，则应选的同学是（ ）
甲
乙
丙
丁
平均分
90
85
90
85
方差
42
50
50
42
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（4分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．55°
7．（4分）如图，是一张矩形纸片ABCD，AB＝12，AD＝12，按如图方式剪出一张扇形纸片OEF，O为BC中点，弧EF与AD相切，把这张扇形纸片围成一个无底圆锥，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
8．（4分）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）小明同学利用计算机软件绘制了某一函数的图象，如图所示．由学习函数的经验，可以推断这个函数可能是（ ）
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
10．（4分）已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（ ）
A．AD＝4AE B．AD＝2AB C．AB＝2AE D．AB＝3AE
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）二次根式中字母x的取值范围是 ．
12．（5分）分解因式：3a2﹣12＝ ．
13．（5分）学校组织春游，安排九年级三辆车，小王和小菲都可以从三辆车中任选一辆搭乘，则小王和小菲乘同一辆车的概率是 ．
14．（5分）已知命题：“关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0，当b＞0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是 ．
15．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以C为圆心，r为半径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 ．
16．（5分）如图，点A、C分别是x轴、y轴正半轴上的点，矩形ABCO的边AB，BC分别交函数y＝（x＞0，k≠0，k为常数）的图象于点P，Q，连接PQ．
（1）若P为AB中点，则＝ ．
（2）若把△BPQ沿PQ翻折，点B恰好落在x轴上的点E，且OE＝6，EA＝2，则k＝ ．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（1）计算：（a﹣1）2+2（a﹣2）；
（2）解不等式：7﹣x＞2（x+2）﹣3．
18．（8分）图1，图2都是由边长为1的小正方形构成的网格，△ABC的三个顶点都在格点上，请在该4×4的网格中，分别按下列要求画一个与△ABC有公共边的三角形：
（1）使得所画出的三角形和△ABC组成一个轴对称图形．
（2）使得所画出的三角形和△ABC组成一个中心对称图形．
（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
19．（8分）今年的7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，我市某中学开展了爱党宣传教育活动．为了了解这次宣传活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行知识测试，并将测试成绩分为A，B，C，D，E五个等级，绘制成了统计图（部分信息未给出）．
（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图．
（2）求扇形统计图中“A”所对应的扇形圆心角的度数．
（3）如果测试成绩为A、B等级的均为优秀，请估计该校学生中成绩为优秀的人数．
20．（10分）图1是某景区的纪念币，一面有一个正十边形，示意图如图2所示，其外接圆的圆心为O，直径为20mm．
（1）求这个正十边形的边长AB．
（2）求这个正十边形的面积．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B、C两点，与y轴交于D，点B的坐标是（﹣1，0）．
（1）求二次函数图象的顶点坐标并直接写出直线CD的函数关系式．
（2）作一条平行于x轴的直线交二次函数的图象于点M，N，与直线CD于点R．若点M，N，R的横坐标分别为m，n，r，且r＜m≤n，求m+n+r的取值范围．
22．（10分）小聪和小慧去某风景区游览，约好在飞瀑见面．上午9：00，小聪从塔林出发，沿景区公路（如图1）步行15分钟至草甸，休息若干分钟后搭乘景区班车赶往飞瀑，车速为36km/h．小慧也于上午9：00从古刹出发，骑自行车前往飞瀑．两人离古刹的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．已知古刹与塔林的路程为1500m．
（1）求小聪步行时离古刹的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式．
（2）求小聪乘坐景区班车的时间．
（3）若小慧比小聪早到2分钟，求两人几时几分相遇．
23．（12分）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C，分别过A、B两点作AE⊥l，BD⊥l，垂足分别为E、D．求证：△BDC∽△CEA．
【尝试应用】
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，过D作AD的垂线交AB于点E．若BE＝DE，tan∠BAD＝，AC＝20，求BD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在▱ABCD中，在BC上取点E，使得∠AED＝90°，若AE＝AB，＝，CD＝，求▱ABCD的面积．
24．（14分）定义：从三角形一个角的顶点引一条射线与对边相交，把这个角分成两个角，如果其中一个角与这条射线另一侧的原三角形的内角互余，那么这条射线上三角形顶点到对边交点的线段称为这个三角形的“交互线”．
（1）判断下列命题是真命题还是假命题？
①直角三角形的斜边上的高是它的交互线；
②若三角形的角平分线是它的交互线，则这个三角形是等腰三角形．
（2）如图1，巳知BE为锐角△ABC的交互线．
①求证：BE过△ABC外接圆的圆心O．
②若AB＝AC，交互线BE＝25，⊙O的半径为16，求AB的长．
（3）如图2，已知，在△ABC中，∠C＝45°，它的两条交互线AD，BE相交于点F，且AD＝m，BE＝n，求△ABC外接圆的面积（用含m，n的代数式表示）．
2021年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）的相反数是（ ）
A． B．﹣6 C．6 D．﹣
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，在数轴上表示，分别位于原点的两侧，且到原点距离相等的两点所表示的数是互为相反数．
【解答】解：的相反数是﹣，
故选：D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a+2a＝3a2 B．a3•a2＝a5 C．（3a）2＝6a2 D．a6÷a2＝a3
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a+2a＝3a，故本选项不合题意；
B、a3•a2＝a5，故本选项符合题意；
C、（3a）2＝9a2，故本选项不合题意；
D、a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
故选：B．
3．（4分）2020年，在全球经济受到新冠疫情的影响下，我国GDP仍逆势增长2.3%，经济总量达到1016000亿元．数1016000用科学记数法表示为（ ）
A．1.016×107 B．1.016×106 C．1.016×105 D．10.16×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1016000＝1.016×106．
故选：B．
4．（4分）如图是一个“凹”字形几何体，下列关于该几何体的俯视图画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用三视图画法结合俯视图的观察角度得出答案．
【解答】解：如图所示，其俯视图是：．
故选：D．
5．（4分）甲、乙、丙、丁四位同学的五次数学测验成绩统计如表所示，如果要从这四位同学中，选出一位成绩好又稳定的同学参加数学竞赛，则应选的同学是（ ）
甲
乙
丙
丁
平均分
90
85
90
85
方差
42
50
50
42
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先找到四人中平均数大的，即成绩好的；再从平均成绩好的人中选择方差小，即成绩稳定的，从而得出答案．
【解答】解：∵＝＞＝，
∴四位同学中甲、丙的平均成绩较好，
又∵S甲2＜S丙2，
∴甲的成绩好又稳定，
故选：A．
6．（4分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．55°
【分析】根据平行线的性质即可得到∠3的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到结论．
【解答】解：∵直线m∥n，
∴∠3＝∠1＝25°，
又∵三角板中，∠ABC＝60°，
∴∠2＝60°﹣25°＝35°，
故选：C．
7．（4分）如图，是一张矩形纸片ABCD，AB＝12，AD＝12，按如图方式剪出一张扇形纸片OEF，O为BC中点，弧EF与AD相切，把这张扇形纸片围成一个无底圆锥，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【分析】过O点作OH⊥AD于H，如图，根据切线的性质得OH＝OE＝OF＝AB＝12，再利用三角函数求出∠BOE＝∠COF＝30°，则∠EOF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，设这个圆锥的底面半径为r，利用弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可．
【解答】解：过O点作OH⊥AD于H，如图，
∵弧EF与AD相切，
∴OH＝OE＝OF＝AB＝12，
∵O为BC中点，
∴OB＝OC＝AD＝6，
在Rt△OBE中，∵cos∠BOE＝＝＝，
∴∠BOE＝30°，
同理可得∠COF＝30°，
∴∠EOF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
设这个圆锥的底面半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝4，
即这个圆锥的底面半径为4．
故选：D．
8．（4分）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2＝快马速度，根据等量关系，可得方程．
【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得：
×2＝，
故选：A．
9．（4分）小明同学利用计算机软件绘制了某一函数的图象，如图所示．由学习函数的经验，可以推断这个函数可能是（ ）
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
【分析】由图象可知，当x＝0时，y＝0，当x＞0时，y＜0，x＝﹣2时，函数值不存在；
【解答】解：由图象可知，当x＝0时，y＝0，当x＞0时，y＜0，x＝﹣2时，函数值不存在，
故选：A．
10．（4分）已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（ ）
A．AD＝4AE B．AD＝2AB C．AB＝2AE D．AB＝3AE
【分析】设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，根据S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）＝（a﹣2c）x+bc，F为BC上一动点，x是变量，（a﹣2c）是x的系数，根据平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，为固定值，x的系数为0，bc为固定值，a﹣2c＝0，进而可得点E是AB的中点，即可进行判断．
【解答】解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）
＝ab﹣2[cx+（a﹣c）（b﹣x）]
＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx）
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝（a﹣2c）x+bc，
∵F为BC上一动点，
∴x是变量，（a﹣2c）是x的系数，
∵平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，为固定值，
∴x的系数为0，bc为固定值，
∴a﹣2c＝0，
∴a＝2c，
∴E是AB的中点，
∴AB＝2AE，
故选：C．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）二次根式中字母x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
12．（5分）分解因式：3a2﹣12＝ 3（a+2）（a﹣2） ．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：3a2﹣12＝3（a+2）（a﹣2）．
13．（5分）学校组织春游，安排九年级三辆车，小王和小菲都可以从三辆车中任选一辆搭乘，则小王和小菲乘同一辆车的概率是 ．
【分析】列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：设3辆车分别为A，B，C，
共有9种情况，在同一辆车的情况数有3种，
所以坐同一辆车的概率为：．
故答案为：．
14．（5分）已知命题：“关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0，当b＞0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是 ﹣1（答案不唯一）． ．
【分析】先根据判别式得到△＝b2﹣4，在满足b＜0的前提下，取b＝﹣1得到△＜0，根据判别式的意义得到方程没有实数解，于是b＝﹣1可作为说明这个命题是假命题的一个反例．
【解答】解：△＝b2﹣4，由于当b＝﹣1时，满足b＜0，
而△＜0，方程没有实数解，所以当b＝﹣1时，
可说明这个命题是假命题．
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
15．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以C为圆心，r为半径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 r＝或2＜r≤2． ．
【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出BC，即可得出答案．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△BCA中，
∵∠ACB＝90°，AC＝2，∠B＝30°，
∴AB＝4，
∴BC＝＝＝2，
根据三角形的面积公式得：AB•CD＝AC•BC，
∴CD＝＝＝，
当圆与时AB相切时，r＝，
当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤2，
综上所述：r的取值范围是r＝或2＜r≤2，
故答案为：r＝或2＜r≤2．
16．（5分）如图，点A、C分别是x轴、y轴正半轴上的点，矩形ABCO的边AB，BC分别交函数y＝（x＞0，k≠0，k为常数）的图象于点P，Q，连接PQ．
（1）若P为AB中点，则＝ ．
（2）若把△BPQ沿PQ翻折，点B恰好落在x轴上的点E，且OE＝6，EA＝2，则k＝ 12 ．
【分析】（1）设B（m，n），则A（m，0），C（0，n），Q点的纵坐标为n，根据反比例函数定义可得xQ，从而可得答案；
（2）连接BE，过Q作QH⊥x轴于H，设Q（m，n），在△QHE中，用勾股定理得n2＝28﹣4m①，由△QHE∽△EAP对应边成比例可得mn2＝96﹣16m②，从而可以解除m、n，得到答案．
【解答】解：（1）设B（m，n），则A（m，0），C（0，n），Q点的纵坐标为n，
∵P为AB中点，
∴P（m，n），
∵函数y＝（x＞0，k≠0，k为常数）的图象过点P，Q，
∴xQ•n＝k＝mn，
∴xQ＝m，
∴CQ＝m，Q是BC的中点，
∴＝；
故答案为：；
（2）连接BE，过Q作QH⊥x轴于H，如图：
∵把△BPQ沿PQ翻折，点B恰好落在x轴上的点E，
∴∠PBQ＝∠PEQ＝90°，BP＝EP，QE＝QB，
设Q（m，n），则CQ＝OH＝m，HQ＝n，
∵OE＝6，EA＝2，
∴OA＝BC＝8，HE＝OE﹣OH＝6﹣m，
∴QE＝QB＝BC﹣CQ＝8﹣m，
在△QHE中，HQ2+HE2＝QE2，即n2+（6﹣m）2＝（8﹣m）2，
化简得n2＝28﹣4m①，
∵Q在函数y＝（x＞0，k≠0，k为常数）的图象上，
∴k＝mn，
∵OA＝8
∴xP＝8，代入y＝得y＝，
∴P（8，），
∴AP＝，
∵∠PEQ＝90°，
∴∠PEA＝90°﹣∠QEH＝∠EQH，
而∠QHE＝∠PAE＝90°，
∴△QHE∽△EAP，
∴＝，
∴＝，化简得mn2＝96﹣16m②，
将n2＝28﹣4m①代入②得m（28﹣4m）＝96﹣16m，
解得m＝3或m＝8（舍去），
∴n＝4或n＝﹣4（舍去），
∴Q（3，4），
∴k＝12．
故答案为12．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（1）计算：（a﹣1）2+2（a﹣2）；
（2）解不等式：7﹣x＞2（x+2）﹣3．
【分析】（1）直接利用完全平方公式以及合并同类项法则计算得出答案；
（2）直接利用一元一次不等式的解法分析得出答案．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣2a+1+2a﹣4
＝a2﹣3；
（2）7﹣x＞2（x+2）﹣3
则7﹣x＞2x+4﹣3，
故﹣3x＞﹣6，
解得：x＜2．
18．（8分）图1，图2都是由边长为1的小正方形构成的网格，△ABC的三个顶点都在格点上，请在该4×4的网格中，分别按下列要求画一个与△ABC有公共边的三角形：
（1）使得所画出的三角形和△ABC组成一个轴对称图形．
（2）使得所画出的三角形和△ABC组成一个中心对称图形．
（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案；
（2）直接利用中心对称图形的性质分析得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△ADC即为所求（答案不唯一）；
（2）如图所示：△BEC即为所求（答案不唯一）．
19．（8分）今年的7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，我市某中学开展了爱党宣传教育活动．为了了解这次宣传活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行知识测试，并将测试成绩分为A，B，C，D，E五个等级，绘制成了统计图（部分信息未给出）．
（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图．
（2）求扇形统计图中“A”所对应的扇形圆心角的度数．
（3）如果测试成绩为A、B等级的均为优秀，请估计该校学生中成绩为优秀的人数．
【分析】（1）根据C等级的人数和所占的百分比求出调查的总人数，再用总人数减去其它等级的人数，求出D等级的人数，从而补全统计图；
（2）用360°乘以“A”所占的百分比即可；
（3）用总人数乘以成绩为优秀的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次被调查的学生人数是：39÷26%＝150（人），
D等级的人数有：150﹣24﹣51﹣39﹣6＝30（人），补全统计图如下：
（2）“A”所对应的扇形圆心角的度数是：360°×＝57.6°；
（3）1200×＝600（人），
答：该校学生中成绩为优秀的人数有600人．
20．（10分）图1是某景区的纪念币，一面有一个正十边形，示意图如图2所示，其外接圆的圆心为O，直径为20mm．
（1）求这个正十边形的边长AB．
（2）求这个正十边形的面积．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
【分析】（1）根据圆内接正十边形可得∠AOB＝36°，根据三角函数可求得AB的长；
（2）结合（1）根据三角函数可求OC的长，进而求出三角形AOB的面积，最后求出正十边形的面积．
【解答】解：（1）如图，过点O作OC⊥AB于点C，
由题意可知：∠AOB＝36°，
∵OA＝OB＝10mm，
∴∠AOC＝∠BOC＝18°，AC＝BC，
∴AC＝OA•sin18°≈10×031＝3.1（mm），
∴AB＝2AC＝6.2mm；
（2）∵OC＝OA•cos18°≈10×0.95＝9.5（mm），
∴S△AOB＝AB•OC＝6.2×9.5＝29.45（mm2），
∴S正十边形＝10×S△AOB＝2945（mm2）．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B、C两点，与y轴交于D，点B的坐标是（﹣1，0）．
（1）求二次函数图象的顶点坐标并直接写出直线CD的函数关系式．
（2）作一条平行于x轴的直线交二次函数的图象于点M，N，与直线CD于点R．若点M，N，R的横坐标分别为m，n，r，且r＜m≤n，求m+n+r的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）因为r＜m≤n，则直线在点D的下方、点A的上方（不能过点D，可以过点A），进而求解．
【解答】解：（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：a+2﹣3＝0，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
故顶点坐标为（1，﹣4）；
对于y＝x2﹣2x﹣3，令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，令x＝0，则y＝﹣3，
故点C、D的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），
设直线CD的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线CD的表达式为y＝x﹣3；
（2）∵r＜m≤n，
∴直线在点D的下方、点A的上方（不能过点D，可以过点A），
当y＝﹣4时，即﹣x﹣3＝﹣4，解得x＝﹣1，
故﹣1≤r＜0，
由抛物线的对称性知，点M、N关于抛物线的对称轴对称，故（m+n）＝2，
∴1≤m+n+r＜2．
22．（10分）小聪和小慧去某风景区游览，约好在飞瀑见面．上午9：00，小聪从塔林出发，沿景区公路（如图1）步行15分钟至草甸，休息若干分钟后搭乘景区班车赶往飞瀑，车速为36km/h．小慧也于上午9：00从古刹出发，骑自行车前往飞瀑．两人离古刹的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．已知古刹与塔林的路程为1500m．
（1）求小聪步行时离古刹的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式．
（2）求小聪乘坐景区班车的时间．
（3）若小慧比小聪早到2分钟，求两人几时几分相遇．
【分析】（1）设y＝kx+b，运用待定系数法求解即可；
（2）把x＝15代入（1）的结论，再根据题意列式计算即可解答；
（3）求出小慧骑自行车的函数表达式，联立（1）的结论求解即可．
【解答】解：（1）设小聪步行时离古刹的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式为y＝kx+b，
根据题意得：，
解得，
∴小聪步行时的函数表达式为y＝60x+1500（0≤x≤15）；
（2）当x＝15时，y＝60x+1500＝60×15+1500＝2400，
∵36km/h＝10m/s＝600m/min，
∴（5400﹣2400）÷600＝5（分钟）；
（3）∵27+5﹣2＝30（分钟），
5400÷30＝180（m/min），
∴小慧骑自行车的函数表达式y＝180x，
∴，
解得，
答：两人相遇的时间是上午9时12分30秒．
23．（12分）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C，分别过A、B两点作AE⊥l，BD⊥l，垂足分别为E、D．求证：△BDC∽△CEA．
【尝试应用】
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，过D作AD的垂线交AB于点E．若BE＝DE，tan∠BAD＝，AC＝20，求BD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在▱ABCD中，在BC上取点E，使得∠AED＝90°，若AE＝AB，＝，CD＝，求▱ABCD的面积．
【分析】（1）由直角三角形的性质证得∠BDC＝∠AEC，由相似三角形的判定定理可得出结论；
（2）过点E作EF⊥BC于点F，由相似三角形的性质得出，由锐角三角函数的定义求出DF＝16，则可求出答案；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC，交BC的延长线于点N，证明△ABM≌△DCN（AAS），由全等三角形的性质得出BM＝CN，AM＝DN，设BE＝4a，EC＝3a，由（1）得△AEM∽△EDN，得出比例线段，求出a＝1，b＝，由平行四边形的面积公式可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACE＝90°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BCD＝∠CAE，
∵BD⊥DE，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠AEC，
∴△BDC∽△CEA；
（2）解：过点E作EF⊥BC于点F，
由（1）得△EDF∽△DAC，
∴，
∵AD⊥DE，tan∠BAD＝，AC＝20，
∴，
∴DF＝16，
∵BE＝DE，
∴BF＝DF，
∴BD＝32；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC，交BC的延长线于点N，
∴∠AMB＝∠DNC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠B＝∠DCN，
∴△ABM≌△DCN（AAS），
∴BM＝CN，AM＝DN，
∵AB＝AE，AM⊥BC，
∴BM＝ME，
∵，
设BE＝4a，EC＝3a，
∴BM＝ME＝CN＝2a，EN＝5a，
∵∠AED＝90°，
由（1）得△AEM∽△EDN，
∴，
∴，
∴b＝a，
∵CD＝，
∴（2a）2+b2＝14，
∴a＝1，b＝，
∴▱ABCD的面积＝．
24．（14分）定义：从三角形一个角的顶点引一条射线与对边相交，把这个角分成两个角，如果其中一个角与这条射线另一侧的原三角形的内角互余，那么这条射线上三角形顶点到对边交点的线段称为这个三角形的“交互线”．
（1）判断下列命题是真命题还是假命题？
①直角三角形的斜边上的高是它的交互线；
②若三角形的角平分线是它的交互线，则这个三角形是等腰三角形．
（2）如图1，巳知BE为锐角△ABC的交互线．
①求证：BE过△ABC外接圆的圆心O．
②若AB＝AC，交互线BE＝25，⊙O的半径为16，求AB的长．
（3）如图2，已知，在△ABC中，∠C＝45°，它的两条交互线AD，BE相交于点F，且AD＝m，BE＝n，求△ABC外接圆的面积（用含m，n的代数式表示）．
【分析】（1）根据三角形的“交互线”定义即可判断；
（2）①延长BE交⊙O于N，连接CN，证明∠BCN＝90°即可；
②连接并延长AO交BC于D，由已知可得△AEO∽△BEA，从而可求AE长度，再由＝即可得答案；
（3）首先确定F为△ABC外接圆圆心，设AF＝r，则BF＝r，由△ABE∽△ACB，可得＝＝，即＝＝，从而有2r2＝AE•AC①，rn＝AE•BC②，同理可得：△ABD∽△CBA，有2r2＝BD•BC③，rm＝BD•AC④，将四个等式适当变形即可用m、n表示r2，即可得到答案．
【解答】解：（1）①假命题，如图：
∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
∵∠BCD＝90°﹣∠ACD＝∠A，
∴∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠A不应定为90°，
同理∠ACD＝∠B，∠ACD+∠B不应定为90°，
根据“交互线”定义，CD不一定是△ABC的“交互线”，
∴“直角三角形的斜边上的高是它的交互线”是假命题；
②真命题，如图：
∵AD是△ABC角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD是△ABC的“交互线”，
∴∠BAD+∠C＝90°或∠CAD+∠B＝90°，
若∠BAD+∠C＝90°，根据三角形内角和定理可得：∠CAD+∠B＝90°，
又∠BAD＝∠CAD，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，
若∠CAD+∠B＝90°，同理可得△ABC是等腰三角形，
∴“若三角形的角平分线是它的交互线，则这个三角形是等腰三角形”是真命题；
（2）①延长BE交⊙O于N，连接CN，如图：
∵BE为锐角△ABC的交互线，
∴∠ABN+∠ACB＝90°，
∵∠ABN＝∠ACN，
∴∠ACN+∠ACB＝90°，即∠NCB＝90°，
∴BN为直径，
∴BE过△ABC外接圆的圆心O；
②连接并延长AO交BC于D，如图：
∵AB＝AC，△ABC外接圆为⊙O，
∴由对称性可得：AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∵BE为△ABC的交互线，
∴∠ABE+∠ACD＝90°，
∵∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠ABE＝∠DAC，
又∠AEO＝∠BEA，
∴△AEO∽△BEA，
∴＝，
∵BE＝25，⊙O的半径为16，
∴EO＝9，
∴，
解得AE＝15，
∵△AEO∽△BEA，
∴＝＝，
∴AB＝；
（3）∵两条交互线AD，BE相交于点F，
∴F为△ABC外接圆圆心，
设AF＝r，则BF＝r，
∵∠C＝45°，
∴∠AFB＝2∠C＝90°，
∴∠ABF＝∠BAD＝∠C＝45°，AB＝r，
∵∠ABE＝∠ACB，
且∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴＝＝，即＝＝，
∴2r2＝AE•AC①，
rn＝AE•BC②，
同理可得：△ABD∽△CBA，
∴2r2＝BD•BC③，
rm＝BD•AC④，
①×③得4r4＝AE•AC•DB•BC，
②×④2mnr2＝AE•BC•DB•AC，
∴4r4＝2r2mn，
∴r2＝，
∴△ABC外接圆的面积为．
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