2020-2021学年广东省深圳市中考数学模拟试卷

这是一份2020-2021学年广东省深圳市中考数学模拟试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年广东省深圳市中考数学模拟试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣3的倒数是（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣ D．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3•a4＝a12 B．（3x）3＝9x3 C．（b3）2＝b5 D．a10÷a2＝a8
3．（3分）如图所示左边是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从上面看该几何体得到的图形是（　　）

A． B．
C． D．
4．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，已知：cos∠A＝，则sin∠DCB的值为（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为（　　）

A． B． C． D．
7．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（　　）

A．90° B．95° C．100° D．105°
8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，
其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
9．（3分）如图，点C为线段AB的中点，E为直线AB上方的一点，且满足CE＝CB，连接AE，以AE为腰，A为顶角顶点作等腰Rt△ADE，连接CD，当CD最大时，∠DEC的度数为（　　）

A．60° B．75° C．67.5° D．90°
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G．点F是CD上一点，且满足＝，连接AF并延长交⊙O于点E．连接AD、DE，若CF＝2，AF＝3．给出下列结论：
①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan∠E＝；④S△DEF＝4．
其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解mn2﹣m＝　 　．
12．（3分）贾玲导演的《你好，李焕英》创下了51.5亿票房神话，成为全球票房最高女导演，将数据51.5亿用科学记数法表示为　 　．
13．（3分）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为　 　cm2．

14．（3分）如图，在直角坐标系中，▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（8，0），B（12，4），直线y＝2x+1以每秒2个单位的速度向右平移，经过　 　秒该直线可将▱OABC的面积平分．

15．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，且点A是线段OB的中点，点D为x轴上一点，连接BD交反比例函数图象于点C，连接AC，着BC：CD＝2：1，S△ADC＝，则k的值为　 　．

三、解答题（本大题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：﹣12021+|﹣2|+2cos30°+（2﹣tan60）0．
17．（6分）先化简，再求值：（），其中x＝+1．
18．（8分）随着初三同学体考的结束，初二年级大课期间开始对跳绳、实心球和立定跳远这三项运动进行专项训练，为了了解同学们对这三项训练技巧的掌握情况，学校体育组抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果分为了四类：掌握3项技巧的为A类，掌握2项技巧的为B类，掌握1项技巧的为C类，掌握0项技巧的为D类，并绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：

（1）被调查的学生一共有　 　人；并请补全条形统计图；
（2）若初二年级共有2500名学生，则初二年级大约有　 　名学生已掌握3项训练技巧；
（3）A类的5名同学中有且仅有2名来自同一个班，现A类的5名同学中随机抽取2名同学来分享经验，用树状图或表格法求抽到的两个人恰好来自同一个班的概率．
19．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB＝2+，BC＝4，求⊙O的半径．

20．（8分）由于新冠疫情，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的医用口罩20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：
型号
价格（元/只）
种类
甲
乙
原料成本
12
8
销售单价
18
12
生产提成
1
0.8
（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？
（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售收入﹣投入总成本）
21．（10分）【阅读理解】设点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“和谐点”．例如：如图1，矩形ABCD中，若PA＝PD，则称P为边AD的“和谐点”．
【解题运用】已知，点P在矩形ABCD内部，且AB＝10，BC＝6．
（1）设P是边AD的“和谐点”，则P　 　边BC的“和谐点”（填“是”或“不是”）；
（2）若P是边BC的“和谐点”，连接PA，PB，当△PAB是直角三角形时，求PA的值；
（3）如图2，若P是边AD的“和谐点”，连接PA，PB，PD，求tan∠PAB•tan∠PBA的最小值．

22．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若S△PAC＝，求点P的坐标；
（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．


2020-2021学年广东省深圳市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣3的倒数是（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣ D．
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣3的倒数是﹣．
故选：C．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3•a4＝a12 B．（3x）3＝9x3 C．（b3）2＝b5 D．a10÷a2＝a8
【分析】分别按照同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方和同底数幂的除法法则计算验证即可．
【解答】解：A、a3•a4＝a7，故A错误；
B、（3x）3＝27x3，故B错误；
C、（b3）2＝b6，故C错误；
D、a10÷a2＝a8，故D正确．
故选：D．
3．（3分）如图所示左边是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从上面看该几何体得到的图形是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面一层有2个正方形．
故选：D．
4．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形；
故选：A．
5．（3分）△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，已知：cos∠A＝，则sin∠DCB的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】设AC＝4a，则AB＝5a，由勾股定理求出BC＝3a，由直角三角形的性质得出∠A＝∠DCB，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：∵cos∠A＝＝，
∴设AC＝4a，则AB＝5a，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，BC＝＝＝3a，
∴∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠B＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴sin∠DCB＝sin∠A＝＝＝；
故选：C．
6．（3分）如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为（　　）

A． B． C． D．
【分析】算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．
【解答】解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．
∵圆的直径正好是大正方形边长，
∴根据勾股定理，其小正方形对角线为，即圆的直径为，
∴大正方形的边长为，
则大正方形的面积为×＝2，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为．
故选：C．

7．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（　　）

A．90° B．95° C．100° D．105°
【分析】由CD＝AC，∠A＝50°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ADC的度数，又由题意可得：MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：CD＝BD，则可求得∠B的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵CD＝AC，∠A＝50°，
∴∠ADC＝∠A＝50°，
根据题意得：MN是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∴∠BCD＝∠B，
∴∠B＝∠ADC＝25°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故选：D．
8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，
其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线当x＝1、x＝﹣1和x＝﹣2时的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故①正确；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，故②正确；
③由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，对称轴为x＝＝﹣1，得2a＝b，
∴a、b同号，即b＜0，
∴abc＞0，故③正确；
④∵对称轴为x＝＝﹣1，
∴点（0，1）的对称点为（﹣2，1），
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝1，故④错误；
⑤∵x＝﹣1时，a﹣b+c＞1，又﹣＝﹣1，即b＝2a，
∴c﹣a＞1，故⑤正确．
故选：C．
9．（3分）如图，点C为线段AB的中点，E为直线AB上方的一点，且满足CE＝CB，连接AE，以AE为腰，A为顶角顶点作等腰Rt△ADE，连接CD，当CD最大时，∠DEC的度数为（　　）

A．60° B．75° C．67.5° D．90°
【分析】如图1中，将线段CA绕点A逆时针旋转90°得到线段AH，连接CH，DC．首先证明△DAH≌△EAC（SAS），推出DH＝CE＝定值，由CD≤DH+CH，CH是定值，推出当D，C，H共线时，DC定值最大，如图2中，求出∠CDE＝22，5°，∠DCE＝90°即可解决问题；
【解答】解：如图1中，将线段CA绕点A逆时针旋转90°得到线段AH，连接CH，DC．

∵∠DAE＝∠HAC＝90°，
∴∠DAH＝∠EAC，
∵DA＝EA，HA＝CA，
∴△DAH≌△EAC（SAS），
∴DH＝CE＝定值，
∵CD≤DH+CH，DH是定值，
∴当D，C，H共线时，DC的值最大，如图2中，
此时∠AHD＝∠ACE＝135°，
∴∠ECB＝45°，∠DCE＝∠ACE﹣∠ACH＝90°，
∵∠ECB＝∠CAE+∠CEA，
∵CA＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA＝22.5°，
∴∠ADH＝∠AEC＝22.5°，
∴∠CDE＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∴∠DEC＝90°﹣22.5°＝67.5°．
故选：C．
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G．点F是CD上一点，且满足＝，连接AF并延长交⊙O于点E．连接AD、DE，若CF＝2，AF＝3．给出下列结论：
①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan∠E＝；④S△DEF＝4．
其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【分析】①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：＝，DG＝CG，继而证得△ADF∽△AED；
②由 ＝，CF＝2，可求得DF的长，继而求得CG＝DG＝4，则可求得FG＝2；
③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E＝；
④根据三角形面积公式求得△ADF的面积，通过证得△ADF∽△AED，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求得△ADE的面积，进而求得S△DEF＝4．
【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴＝，DG＝CG，
∴∠ADF＝∠AED，
∵∠FAD＝∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；
故①正确；
②∵＝，CF＝2，
∴FD＝6，
∴CD＝DF+CF＝8，
∴CG＝DG＝4，
∴FG＝CG﹣CF＝2；
故②正确；
③∵AF＝3，FG＝2，
∴AG＝＝，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG＝＝，
∴tan∠E＝；
故③错误；
④∵DF＝DG+FG＝6，AD＝＝，
∴S△ADF＝DF•AG＝×6×＝3 ，
∵△ADF∽△AED，
∴＝（ ）2，
∴＝，
∴S△AED＝7 ，
∴S△DEF＝S△AED﹣S△ADF＝4 ；
故④正确．
故选：A．
二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解mn2﹣m＝　m（n+1）（n﹣1）　．
【分析】直接提取公因式m,再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：mn2﹣m
＝m(n2﹣1)
＝m（n+1）（n﹣1）．
故答案为：m（n+1）（n﹣1）．
12．（3分）贾玲导演的《你好，李焕英》创下了51.5亿票房神话，成为全球票房最高女导演，将数据51.5亿用科学记数法表示为　5.15×109　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：51.5亿＝5150000000＝5.15×109．
故答案为：5.15×109．
13．（3分）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为　2　cm2．

【分析】连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T，证明S△PEF＝S△BEF，求出△BEF的面积即可．
【解答】解：连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T

∵ABCDEF是正六边形，
∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，
∴S△PEF＝S△BEF，
∵AT⊥BF，AB＝AF，
∴BT＝FT，∠BAT＝∠FAT＝60°，
∴BT＝FT＝AB•sin60°＝，
∴BF＝2BT＝2，
∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，
∴∠BFE＝90°，
∴S△PEF＝S△BEF＝•EF•BF＝×2×＝2，
故答案为2．
14．（3分）如图，在直角坐标系中，▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（8，0），B（12，4），直线y＝2x+1以每秒2个单位的速度向右平移，经过　2.75　秒该直线可将▱OABC的面积平分．

【分析】平分平行四边面积的直线过平行四边形的中心，求出平移前后直线与x轴交点坐标即可得出答案．
【解答】解：如图，连接OB、AC交于E，直线y＝2x+1与x轴交于D，
当直线过E时，▱OABC的面积平分，过E作直线y＝2x+1的平行线交x轴于F，
在y＝2x+1中令y＝0得x＝﹣0.5，
∴D（﹣0.5，0），
∵▱OABC，
∴E是OB中点，
∵B（12，4），
∴E（6，2）
设直线EF解析式为y＝2x+b，
将E（6，2）代入可得：2＝12+b，
∴b＝﹣10，
∴直线EF解析式为y＝2x﹣10，
令y＝0得x＝5，
∴F（5，0），
∴DF＝5.5．
∴移动直线将▱OABC的面积平分所需移动时间是5.5÷2＝2.75（s）．
故答案为：2.75．

15．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，且点A是线段OB的中点，点D为x轴上一点，连接BD交反比例函数图象于点C，连接AC，着BC：CD＝2：1，S△ADC＝，则k的值为　16　．

【分析】作AE⊥OD于E，CF⊥OD于F．首先证明S△AOC＝S△AOE+S梯形AEFC﹣S△OCF＝S梯形AEFC，由此构建方程即可解决问题；
【解答】解：作AE⊥OD于E，CF⊥OD于F．

∵BC：CD＝2：1，S△ADC＝，
∴S△ACB＝，
∵OA＝AB，
∴B（2m，2n），S△AOC＝S△ACB＝，
∵A、C在y＝上，BC＝2CD，
∴C（m，n），
∵S△AOC＝S△AOE+S梯形AEFC﹣S△OCF＝S梯形AEFC，
∴•（n+n）×m＝，
∴mn＝16，
∵A（m，n），
∴k＝16．
故答案为16
三、解答题（本大题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：﹣12021+|﹣2|+2cos30°+（2﹣tan60）0．
【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+2﹣+2×+1
＝﹣1+2﹣++1
＝2．
17．（6分）先化简，再求值：（），其中x＝+1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（）
＝
＝
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
18．（8分）随着初三同学体考的结束，初二年级大课期间开始对跳绳、实心球和立定跳远这三项运动进行专项训练，为了了解同学们对这三项训练技巧的掌握情况，学校体育组抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果分为了四类：掌握3项技巧的为A类，掌握2项技巧的为B类，掌握1项技巧的为C类，掌握0项技巧的为D类，并绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：

（1）被调查的学生一共有　50　人；并请补全条形统计图；
（2）若初二年级共有2500名学生，则初二年级大约有　250　名学生已掌握3项训练技巧；
（3）A类的5名同学中有且仅有2名来自同一个班，现A类的5名同学中随机抽取2名同学来分享经验，用树状图或表格法求抽到的两个人恰好来自同一个班的概率．
【分析】（1）用D的人数除以所占的百分比，求出调查的学生数，再用总人数减去其他类别的人数，求出C类的人数，从而补全统计图；
（2）用总人数乘以已掌握3项训练技巧的人数所占的百分比即可；
（3）根据题意先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，继而根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）被调查的学生一共有：8÷16%＝50（人）；
C类别的人数有：50﹣5﹣16﹣8＝21（人），补全统计图如下：

故答案为：50；

（2）2500×＝250（名），
答：初二年级大约有250名学生已掌握3项训练技巧．
故答案为：250；

（3）将同一个班的2名学生均记为A，其他记为B、C、D，
列表如下：

A
A
B
C
D
A

（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
A
（A，A）

（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（A，B）

（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（A，C）
（B，C）

（D，C）
D
（A，D）
（A，D）
（B，D）
（C，D）

由表可知，共有20种等可能结果，其中所抽取的2名学生恰好来自同一个班级的有2种结果，
所以所抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率为＝．
19．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB＝2+，BC＝4，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA＝OC得出∠ACO＝∠OAC＝30°，再由AP＝AC得出∠P＝30°，继而由∠OAP＝∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论；
（2）过点C作CE⊥AB于点E．在Rt△BCE中，∠B＝60°，BC＝4，于是得到BE＝BC＝2，CE＝2，根据勾股定理得到AC，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
又∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线；

（2）解：过点C作CE⊥AB于点E．
在Rt△BCE中，∠B＝60°，BC＝4，
∴BE＝BC＝2，CE＝2，
∵AB＝2+，
∴AE＝AB﹣BE＝，
在Rt△ACE中，AC＝＝3，
∴AP＝AC＝3．
在Rt△PAO中，OA＝AP＝3，
∴⊙O的半径为3．

20．（8分）由于新冠疫情，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的医用口罩20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：
型号
价格（元/只）
种类
甲
乙
原料成本
12
8
销售单价
18
12
生产提成
1
0.8
（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？
（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售收入﹣投入总成本）
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以得到甲、乙两种型号的产品分别是多少万只；
（2）根据题意，可以得到利润和生产甲种产品数量的函数关系式，再根据公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，可以得到生产甲种产品数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大，并求出最大利润．
【解答】解：（1）设甲、乙两种型号的产品分别是a万只，b万只，
，解得，
答：甲、乙两种型号的产品分别是10万只、10万只；
（2）设利润为w元，生产甲种产品x万只，则生产乙种产品（20﹣x）万只，
w＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.8）×（20﹣x）＝1.8x+64，
∵公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，
∴（12+1）x+（8+0.8）×（20﹣x）≤239，
解得，x≤15，
∵k＝1.8，
∴w随着x的增大而增大，
∴当x＝15时，w取得最大值，此时w＝91，20﹣x＝15，
答：当安排生产甲种产品15万只、乙种产品5万只时，可使该月公司所获利润最大，最大利润是91万元．
21．（10分）【阅读理解】设点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“和谐点”．例如：如图1，矩形ABCD中，若PA＝PD，则称P为边AD的“和谐点”．
【解题运用】已知，点P在矩形ABCD内部，且AB＝10，BC＝6．
（1）设P是边AD的“和谐点”，则P　是　边BC的“和谐点”（填“是”或“不是”）；
（2）若P是边BC的“和谐点”，连接PA，PB，当△PAB是直角三角形时，求PA的值；
（3）如图2，若P是边AD的“和谐点”，连接PA，PB，PD，求tan∠PAB•tan∠PBA的最小值．

【分析】（1）连接PB、PC，证△BAP≌△CDP（SAS），得PB＝PC，即可得出结论；
（2）先由“和谐点”的定义得PB＝PC，PA＝PD，则点P在AD和BC的垂直平分线上，过点P作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，求出AE＝PF＝3，再证△APF∽△PBF，得PF2＝AF•BF，设AF＝x，则BF＝10﹣x，解得x＝1或x＝9，当AF＝1时，PA＝；当AF＝9时，PA＝3；
（3）过点P作PN⊥AB于N，先证出tan∠PAB•tan∠PBA＝，设AN＝x，则BN＝10﹣x，再求出当x＝5时，AN•BN有最大值25，即可得出结论．
【解答】解：（1）P是边BC的“和谐点”，理由如下：
连接PB、PC，如图1所示：
∵P是边AD的“和谐点”，
∴PA＝PD，
∴∠PDA＝∠PAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠CDA＝∠BAD＝90°，
∴∠BAP＝∠CDP，
在△BAP和△CDP中，
，
∴△BAP≌△CDP（SAS），
∴PB＝PC，
∴P是边BC的“和谐点”，
故答案为：是；
（2）∵P是边BC的“和谐点”，
由（1）可知：P也是边AD的“和谐点”，
∴PB＝PC，PA＝PD，
∴点P在AD和BC的垂直平分线上，
过点P作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，如图3所示：
则AE＝AD，∠PEA＝∠PFA＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，BC＝AD＝6，
∴四边形AEPF是矩形，AE＝3，
∴AE＝PF＝3，
∵△PAB为直角三角形，且P在矩形内部，
∴只有∠APB＝90°，
∴∠APF+∠BPF＝90°，
∵PF⊥AB，
∴∠AFP＝∠PFB＝90°，
∴∠APF+∠PAF＝90°，
∴∠PAF＝∠BPF，
∴△APF∽△PBF，
∴AF：PF＝PF：BF，
∴PF2＝AF•BF，
∴PF2＝AF（AB﹣AF），
设AF＝x，
则BF＝10﹣x，
∴x（10﹣x）＝32，
解得：x＝1或x＝9，
当AF＝1时，PA＝＝＝；
当AF＝9时，PA＝＝＝3；
∴PA的值为或3；
（3）过点P作PN⊥AB于N，如图2所示：
由（2）知：点P在AD和BC的垂直平分线上，
∴PN＝BC＝3，
∵tan∠PAB＝，tan∠PBA＝，
∴tan∠PAB•tan∠PBA＝×＝＝＝，
设AN＝x，则BN＝10﹣x，
∴AN•BN＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣5）2+25，
当x＝5时，AN•BN有最大值25，
∴有最小值，
∴tan∠PAB•tan∠PBA的最小值是．



22．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若S△PAC＝，求点P的坐标；
（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．

【分析】（1）由二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，可得二次函数的解析式为y＝（x+2）（x﹣4），由此即可解决问题．
（2）根据S△PAC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP，构建方程即可解决问题．
（3）结论：点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE＝2．根据AM＝MP，根据方程求出t，再利用中点坐标公式，求出点E的纵坐标即可解决问题．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，
∴二次函数的解析式为y＝（x+2）（x﹣4），
即y＝x2﹣x﹣4．

（2）如图甲中，连接OP．设P（m，m2﹣m﹣4）．

由题意，A（﹣2，0），C（0，﹣4），
∵S△PAC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP，
∴＝×2×4+×4×m﹣×2×（﹣m2+m+4），
整理得，m2+2m﹣15＝0，
解得m＝3或﹣5（舍弃），
∴P（3，﹣）．

（3）结论：点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE＝2．
理由：如图乙中，连接AM，PM，EM，设M（1，t），P[m，（m+2）（m﹣4）]，E（m，n）．

由题意A（﹣2，0），AM＝PM，
∴32+t2＝（m﹣1）2+[（m+2）（m﹣4）﹣t]2，
解得t＝1+（m+2）（m﹣4），
∵ME＝PM，PE⊥AB，
∴t＝，
∴n＝2t﹣（m+2）（m﹣4）＝2[1+（m+2）（m﹣4）]﹣（m+2）（m﹣4）＝2，
∴DE＝2，
另解：∵PD•DE＝AD•DB，∴DE＝＝＝2，为定值．
∴点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE＝2．