2020-2021学年河南省郑州市五校联合七年级（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年河南省郑州市五校联合七年级（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（2×10n）×（3×10n）＝6×10n
B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．﹣x（x2﹣x+1）＝﹣x3﹣x+1
D．（x﹣1）（2x+1）＝2x2﹣x﹣1
2．（3分）新冠病毒的大小为125纳米也就是0.000000125米，这个数据用科学记数法可表示为（ ）
A．0.125×107B．1.25×107C．1.25×10﹣7D．0.125×10﹣7
3．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．钝角没有余角，但一定有补角
B．锐角的补角比该锐角的余角大
C．在平面内，过一点有且只有一条直线平行于已知直线
D．在平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
4．（3分）某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度，第三次转过的角度，则第二次拐弯角（∠1）的度数是（ ）
A．55°B．70°C．80°D．90°
5．（3分）如图，用尺规作图：“过点C作CN∥OA”，其作图依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角相等，两直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
6．（3分）下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序（ ）
①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）
②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）
③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）
④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）
A．①②③④B．③④②①C．①④②③D．③②④①
7．（3分）若（x2+ax+2）（2x﹣1）的结果中不含x2项，则a的值为（ ）
A．0B．C．1D．﹣2
8．（3分）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，直线AB∥MP∥CD，MN平分∠AMD，∠A＝50°，∠D＝30°，则∠NMP为（ ）
A．5°B．7.5°C．10°D．15°
10．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC﹣CD﹣DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则y的最大值是（ ）
A．55B．30C．16D．15
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）已知a+b＝3，a﹣b＝5，则代数式a2﹣b2的值是 ．
12．（3分）如图所示，与∠A是同旁内角的角共有 个．
13．（3分）若2ax+1b+3a3by+4＝5ax+1by+4，则xy＝ ．
14．（3分）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需 分钟到达终点B．
15．（3分）如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF交于点G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分面积是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．（6分）先化简再求值：[（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣3y）2]÷（﹣2y），其中x＝1，y＝﹣2．
17．（6分）如图，已知∠1，∠2（∠1＞∠2），求作∠ABC，使∠ABC＝∠1﹣∠2．不写作法，保留作图痕迹．
18．（7分）已知x2+y2＝25，x+y＝7．
（1）求xy的值；
（2）求x﹣y的值．
19．（9分）（1）如图1，若∠B+∠1＝180°，∠AED＝65°，求∠C的度数．
解：∵∠B+∠1＝180°，
∴ （ ）．
∴∠C＝ （ ）．
又∵∠AED＝65°，
∴∠C＝65° （ ）．
（2）如图2，已知AB∥CD，直线HE交AB于点H，交CD于点E，EF，HG分别是∠DEH和∠AHE的平分线，则EF与HG平行吗？说明理由．
20．（8分）2016年全国中小学生“安全教育日”主题：“强化安全意识，提升安全素养”，小刚骑单车上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校．以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小刚家到学校的路程是 米；小刚在书店停留了 分钟；
（2）本次上学途中，小刚一共行驶了 米；一共用了 分钟；
（3）我们认为骑单车的速度超过300米/分就超过了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小刚骑车速度最快，速度在安全限度内吗？请给小刚提一条合理化建议．
21．（9分）如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图②）．
（1）图②中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图②请你写出 （a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ．
（3）根据（2）中的结论，若，则（p+q）2＝ ．
（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了 ．
（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2．
22．（10分）如图（1），AB∥CD，P为定点，E，F分别是AB，CD上的动点．
（1）求证：∠EPF＝∠BEP+∠PFD；
（2）若M为CD上一点，如图（2），∠FMN＝∠BEP，且MN交PF于N．试说明∠EPF与∠PNM的关系，并证明你的结论；
（3）移动E，F使得∠EPF＝90°，如图（3），作∠PEG＝∠BEP，请直接写出∠AEG与∠PFD的关系．
2020-2021学年河南省郑州市五校联合七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（2×10n）×（3×10n）＝6×10n
B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．﹣x（x2﹣x+1）＝﹣x3﹣x+1
D．（x﹣1）（2x+1）＝2x2﹣x﹣1
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：（2×10n）×（3×10n）＝6×102n，故选项A错误；
（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故选项B错误；
﹣x（x2﹣x+1）＝﹣x3+x2﹣x，故选项C错误；
（x﹣1）（2x+1）＝2x2﹣x﹣1，故选项D正确；
故选：D．
2．（3分）新冠病毒的大小为125纳米也就是0.000000125米，这个数据用科学记数法可表示为（ ）
A．0.125×107B．1.25×107C．1.25×10﹣7D．0.125×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000125＝1.25×10﹣7．
故选：C．
3．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．钝角没有余角，但一定有补角
B．锐角的补角比该锐角的余角大
C．在平面内，过一点有且只有一条直线平行于已知直线
D．在平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
【分析】根据锐角的定义和余角和补角的定义判断即可．
【解答】解：A．互余两角的和等于90°，因此钝角没有余角，但一定有补角，选项正确，不符合题意；
B．一个锐角的补角比它的余角大90°．故此选项正确选项正确，不符合题意；
C．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原来的说法错误，符合题意．
D．在同一个平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故此选项正确，不符合题意；
故选：C．
4．（3分）某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度，第三次转过的角度，则第二次拐弯角（∠1）的度数是（ ）
A．55°B．70°C．80°D．90°
【分析】延长ED交BF于C，依据BA∥DE，即可得到∠BCD＝∠B＝120°，∠FCD＝60°，再根据∠FDE是△CDF的外角，即可得出∠1＝∠FDE﹣∠DCF＝150°﹣60°＝90°．
【解答】解：如图，延长ED交BF于C，
∵BA∥DE，
∴∠BCD＝∠B＝120°，∠FCD＝60°，
又∵∠FDE是△CDF的外角，
∴∠1＝∠FDE﹣∠DCF＝150°﹣60°＝90°，
故选：D．
5．（3分）如图，用尺规作图：“过点C作CN∥OA”，其作图依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角相等，两直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
【分析】根据两直线平行的判定方法得出其作图依据即可．
【解答】解：如图所示：“过点C作CN∥OA”，其作图依据是：作出∠NCO＝∠O，则CN∥AO，
故作图依据是：内错角相等，两直线平行．
故选：B．
6．（3分）下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序（ ）
①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）
②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）
③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）
④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）
A．①②③④B．③④②①C．①④②③D．③②④①
【分析】①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．据此可以得到答案．
【解答】解：③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；
②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；
④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低；
①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系．
故顺序为③②④①．
故选：D．
7．（3分）若（x2+ax+2）（2x﹣1）的结果中不含x2项，则a的值为（ ）
A．0B．C．1D．﹣2
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，得出关于a的方程，求出a即可．
【解答】解：（x2+ax+2）（2x﹣1）
＝2x3﹣x2+2ax2﹣ax+4x﹣2
＝2x3+（﹣1+2a）x2+（﹣a+4）x﹣2，
∵（x2+ax+2）（2x﹣1）的结果中不含x2项，
∴﹣1+2a＝0，
解得：a＝．
故选：B．
8．（3分）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
9．（3分）如图，直线AB∥MP∥CD，MN平分∠AMD，∠A＝50°，∠D＝30°，则∠NMP为（ ）
A．5°B．7.5°C．10°D．15°
【分析】由AB∥MP∥CD，利用两直线平行内错角相等得到两组对角相等，进而求出∠AMD的度数，由MN平分∠AMD，求出∠AMN的度数，由∠AMP﹣∠AMN即可求出∠NMP的度数．
【解答】解：∵AB∥MP∥CD，
∴∠AMP＝∠A，∠PMD＝∠D，
∵∠A＝50°，∠D＝30°，
∴∠AMP＝50°，∠PMD＝30°，
∴∠AMD＝∠AMP+∠PMD＝80°，
∵MN平分∠AMD，
∴∠AMN＝40°，
∴∠NMP＝∠AMP﹣∠AMN＝10°．
故选：C．
10．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC﹣CD﹣DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则y的最大值是（ ）
A．55B．30C．16D．15
【分析】本题难点在于应找到面积不变的开始与结束，得到BC，CD的具体值．
【解答】解：动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变．函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＝5时，y开始不变，说明BC＝5，x＝11时，接着变化，说明CD＝11﹣5＝6．
∴△ABC的面积为＝×6×5＝15．
故选：D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）已知a+b＝3，a﹣b＝5，则代数式a2﹣b2的值是 15 ．
【分析】原式利用平方差公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a+b＝3，a﹣b＝5，
∴原式＝（a+b）（a﹣b）＝15，
故答案为：15
12．（3分）如图所示，与∠A是同旁内角的角共有 4 个．
【分析】同旁内角：两个内角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．
【解答】解：与∠A是同旁内角的有：∠ABC、∠ADC、∠ADE，∠AED共4个．
故答案为：4．
13．（3分）若2ax+1b+3a3by+4＝5ax+1by+4，则xy＝ ．
【分析】根据合并同类项法则以及同类项的定义求解即可．
【解答】解：∵2ax+1b+3a3by+4＝5ax+1by+4，
∴2ax+1b与3a3by+4是同类项，
∴x+1＝3，y+4＝1，
解得x＝2，y＝﹣3，
∴xy＝．
故答案为：．
14．（3分）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需 78 分钟到达终点B．
【分析】根据路程与时间的关系，可得甲乙的速度，根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速度，可得乙到达A站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达B站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案．
【解答】解：由纵坐标看出甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟，
甲的速度是1÷6＝千米/分钟，
由纵坐标看出AB两地的距离是16千米，
设乙的速度是x千米/分钟，由题意，得
10x+16×＝16，
解得x＝千米/分钟，
相遇后乙到达A站还需（16×）÷＝2分钟，
相遇后甲到达B站还需（10×）÷＝80分钟，
当乙到达终点A时，甲还需80﹣2＝78分钟到达终点B，
故答案为：78．
15．（3分）如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF交于点G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分面积是 6 ．
【分析】根据题意和图形可以得到阴影部分的面积是△ABC面的一半，从而可以解答本题．
【解答】解：∵AD，BE，CF是△ABC三边的中线，
∴BD＝DC，CE＝AE，AF＝BF，
∴△BDG与△CDG的面积相等，△CEG与△AEG的面积相等，△AFG与△BFG的面积相等，
∴图中阴影部分面积是：12×＝6，
故答案为6．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．（6分）先化简再求值：[（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣3y）2]÷（﹣2y），其中x＝1，y＝﹣2．
【分析】原式中括号中利用平方差公式及完全平方公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝（4x2﹣y2﹣4x2+12xy﹣9y2）÷（﹣2y）＝（12xy﹣10y2）÷（﹣2y）＝﹣6x+5y，
当x＝1，y＝﹣2时，原式＝﹣6﹣10＝﹣16．
17．（6分）如图，已知∠1，∠2（∠1＞∠2），求作∠ABC，使∠ABC＝∠1﹣∠2．不写作法，保留作图痕迹．
【分析】先作∠ABD＝∠1，再作∠COD＝∠2，则∠ABC满足条件．
【解答】解：如图，∠ABC为所作．
18．（7分）已知x2+y2＝25，x+y＝7．
（1）求xy的值；
（2）求x﹣y的值．
【分析】（1）由平方和的形式联想到完全平方公式，题中有条件x+y＝7，所以两边平方，构造完全平方公式；
（2）要求x﹣y，先求出（x﹣y）2的值，再求x﹣y的值．
【解答】解：（1）∵x+y＝7，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝49，
∴2xy＝49﹣（x2+y2）＝49﹣25＝24，
∴xy＝12；
（2）∵（x﹣y）2
＝x2+y2﹣2xy
＝25﹣2×12
＝1，
∴x﹣y＝±1．
19．（9分）（1）如图1，若∠B+∠1＝180°，∠AED＝65°，求∠C的度数．
解：∵∠B+∠1＝180°，
∴ DE∥BC （ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
∴∠C＝ ∠AED （ 两直线平行，同位角相等 ）．
又∵∠AED＝65°，
∴∠C＝65° （ 等量代换 ）．
（2）如图2，已知AB∥CD，直线HE交AB于点H，交CD于点E，EF，HG分别是∠DEH和∠AHE的平分线，则EF与HG平行吗？说明理由．
【分析】（1）根据平行线的判定得出DE∥BC，根据平行线的性质得出∠C＝∠AED，再求出答案即可；
（2）根据平行线的性质得出∠AHE＝∠DEH，根据角平分线的定义得出∠GHE＝AHE，∠FEH＝DEH，求出∠GHE＝∠FEH，再根据平行线的判定推出即可．
【解答】解：（1）∵∠B+∠1＝180°，
∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠C＝∠AED（两直线平行，同位角相等），
又∵∠AED＝65°，
∴∠C＝65° （等量代换），
故答案为：DE∥BC，同旁内角互补，两直线平行，∠AED，两直线平行，同位角相等，等量代换；
（2）HG∥EF，
理由是：∵AB∥CD，
∴∠AHE＝∠DEH，
∵EF，HG分别是∠DEH和∠AHE的平分线，
∴∠GHE＝AHE，∠FEH＝DEH，
∴∠GHE＝∠FEH，
∴HG∥EF．
20．（8分）2016年全国中小学生“安全教育日”主题：“强化安全意识，提升安全素养”，小刚骑单车上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校．以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小刚家到学校的路程是 1500 米；小刚在书店停留了 4 分钟；
（2）本次上学途中，小刚一共行驶了 2700 米；一共用了 14 分钟；
（3）我们认为骑单车的速度超过300米/分就超过了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小刚骑车速度最快，速度在安全限度内吗？请给小刚提一条合理化建议．
【分析】（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案，根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，可得答案；
（2）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案；
（3）根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得速度．
【解答】解：（1）根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，
故小刚家到学校的路程是1500米；
根据题意，小刚在书店停留的时间为从（8分）到（12分），
故小刚在书店停留了4分钟．
故答案为：1500，4；
（2）一共行驶的总路程＝1200+（1200﹣600）+（1500﹣600）
＝1200+600+900＝2700米；
共用了14分钟．
故答案为：2700，14；
（3）由图象可知：0～6分钟时，平均速度＝＝200米/分，
6～8分钟时，平均速度＝＝300米/分，
12～14分钟时，平均速度＝＝450米/分，
所以，12～14分钟时速度最快，不在安全限度内，
“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．
21．（9分）如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图②）．
（1）图②中的阴影部分的面积为 （b﹣a）2 ；
（2）观察图②请你写出 （a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ．
（3）根据（2）中的结论，若，则（p+q）2＝ 25 ．
（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了 （a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2 ．
（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2．
【分析】（1）阴影部分为一个正方形，其边长为b﹣a，即可求出面积；
（2）利用完全平方公式找出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系即可；
（3）将p﹣q与pq的值代入即可求出所求式子的值；
（4）由已知的恒等式，画出相应的图形，如图所示．
【解答】解：（1）根据题意得：阴影部分的面积为（b﹣a）2；
（2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（3）∵p﹣q＝﹣4，pq＝，
∴（p+q）2＝（p﹣q）2+4pq＝（﹣4）2+4×＝25；
（4）（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2；
（5）根据题意得：

故答案为：（1）（b﹣a）2；（2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（3）25；（4）（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2；
22．（10分）如图（1），AB∥CD，P为定点，E，F分别是AB，CD上的动点．
（1）求证：∠EPF＝∠BEP+∠PFD；
（2）若M为CD上一点，如图（2），∠FMN＝∠BEP，且MN交PF于N．试说明∠EPF与∠PNM的关系，并证明你的结论；
（3）移动E，F使得∠EPF＝90°，如图（3），作∠PEG＝∠BEP，请直接写出∠AEG与∠PFD的关系．
【分析】（1）如图（1），过点P作PG∥AB，根据平行线的性质进行证明；
（2）利用（1）中的结果和三角形外角的性质可以推知∠EPF＝∠PNM；
（3）利用（1）中的结论得到∠1+∠2＝90°，结合已知条件∠PEG＝∠BEP，即∠1＝∠3得到∠4＝180°﹣2∠1，易求∠AEG与∠PFD度数的数量关系．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PG∥AB，则∠1＝∠BEP．
又∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠2＝∠PFD，
∴∠EPF＝∠1+∠2＝∠BEP+∠PFD，
即∠EPF＝∠BEP+∠PFD；
（2）∠EPF＝∠PNM．
证明：由（1）知，∠EPF＝∠BEP+∠PFD．
∵∠FMN＝∠BEP，
∴∠EPF＝∠FMN+∠PFD．
又∵∠PNM＝∠FMN+∠PFD．
∴∠EPF＝∠PNM；
（3）∠AEG＝2∠PFD．
证明：∵由（1）知∠1+∠2＝∠EPF＝90°．
∴∠1＝90°﹣∠2．
又∵∠1＝∠3，
∴∠4＝180°﹣2∠1＝180°﹣2（90°﹣∠2）＝2∠2，
即∠AEG＝2∠PFD．