2021年浙江省杭州市江干区中考数学二模试卷

这是一份2021年浙江省杭州市江干区中考数学二模试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省杭州市江干区中考数学二模试卷
一、选择题：本大题有10小题，每小题3分，共30分.
1．（3分）实数a的相反数是2，则a等于（　　）
A．﹣2 B． C． D．±2
2．（3分）截止2020年8月31日，为期62天（7月1日至8月31日）的铁路暑运圆满收官，杭州火车东站累计发送旅客973.41万人次，发送量位列长三角铁路客站首位．数据973.41万可用科学记数法表示为（　　）
A．97.341×105 B．9.7341×106
C．0.97341×107 D．973.41×104
3．（3分）如图，AB∥CD，AE交DF与C，∠ECF＝134°，则∠A的度数是（　　）

A．54° B．46° C．45° D．44°
4．（3分）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PB＝BC，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图反映了我国2014﹣2019年快递业务量（单位：亿件）及年增长率（%）的情况

（以上数据来源于国家统计局网站）
根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（　　）
A．2014﹣2019年，我国快递业务量的年平均值超过300亿件
B．与2017年相比，2018年我国快递业务量的增长率超过25%
C．2014﹣2019年，我国快递业务量与年增长率都是逐年增长
D．2019年我国的快递业务量比2014年的4倍还多
7．（3分）一次函数y＝kx+b和正比例函数y＝kbx在同一坐标系内的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）随着快递业务量的增加，某快递公司为快递品更换快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每天300件提高到420件，平均每人每天比原来多投递8件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每天投递快件多少件？设原来平均每人每天投递快件x件，根据题意课列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）已知y＝2x2﹣4x+1，且，其中m≤3，n≥﹣3，则y的取值范围（　　）
A．﹣1≤y≤17 B．1≤y≤17 C．﹣1≤y≤8 D．﹣1≤y≤1
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在DC边上，且CE＝2DE，连接AE交BD于点G，过点D作DF⊥AE，连接OF并延长，交DC于点P，过点O作OQ⊥OP分别交AE、AD于点N、H，交BA的延长线于点Q，现给出下列结论：①∠AFO＝45°；②DP2＝NH•OH；③∠Q＝∠OAG；④OG＝DG．其中正确的结论有（　　）

A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）计算：3a﹣5a＝　 　a＝　 　a．（请写出中间步骤）
12．（4分）关于x的一元二次方程（1﹣m）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．
13．（4分）小红的口袋有3把钥匙，分别能打开甲、乙、丙三把锁，他从口袋中任意取出一把钥匙，能打开甲锁的概率是　 　．
14．（4分）如图，折叠矩形纸片ABCD，先把△ABE沿AE翻折，点B落在AD边上的点F处，折痕为AE，点E在BC边上；然后将纸片展开铺平，把矩形ECDF沿对角线DE折叠，若点C恰好落在对角线AE上，则的值为　 　．

15．（4分）一次函数y1＝k1x+b和y2＝（k2＞0）相交于A（1，m），B（3，n）两点，则不等式k1x+b＞的解集为　 　．
16．（4分）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，C为弧AB的中点，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接AC，若AC∥DF，⊙O的半径为，BE＝AE，则CE＝　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共66分）
17．（6分）（1）化简：（x﹣1）2﹣x（x﹣1）；
（2）计算：．
18．（8分）某校为了解学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分学生，根据调查结果绘制出如图所示的统计图．

（1）求被调查的学生人数为　 　，m＝　 　；
（2）求被调查的学生每天在校体育活动时间的平均数、众数；
（3）若该校有1500名学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠ADE＝∠B，AD＝7，AB＝10，DE＝6，∠A＝65°，∠B＝40°，求：
（1）∠AED与∠C的度数；
（2）BC的长．

20．（10分）一辆小型客车从甲地出发前往乙地，如以100km/h的平均速度则6h到达目的地．
（1）当小型客车从乙地返回时，它的平均速度v与时间t有怎样的函数关系？
（2）小型客车上午8时从乙地出发．
①小型客车需在当天14点15分至15点30分间（含14点15分与15点30分）返回甲地，求其行驶平均速度v的取值范围；
②如小型客车的最高限速是120km/h，该小型客车能否在当天12点30分前返回甲地？请说明理由．
21．（10分）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：
（1）∠BOD＝∠C；
（2）四边形OBCD是菱形．

22．（12分）函数y＝ax2+bx+c（ac≠0）的图象与x轴交于点A（﹣c，0），B（3，0）．
（1）若c＝2，求该函数的表达式；
（2）若c≠2，a的值还确定吗？请说明理由；
（3）若点C（1﹣c，y1），D（4，y2）在该函数的图象上，试比较y1与y2．
23．（12分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，点P在对角线BD上（不与点B、D重合），点E、F分别在边CD、BC上，且PE∥BC，PF∥DC．
（1）若AP⊥BD，求证：DE＝PF；
（2）点P在线段BD上运动时，设PE＝x，AP＝y．
①求四边形PFCE面积最大值；
②探究x与y的数量关系．


2021年浙江省杭州市江干区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10小题，每小题3分，共30分.
1．（3分）实数a的相反数是2，则a等于（　　）
A．﹣2 B． C． D．±2
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：实数a的相反数是2，则a＝﹣2．
故选：A．
2．（3分）截止2020年8月31日，为期62天（7月1日至8月31日）的铁路暑运圆满收官，杭州火车东站累计发送旅客973.41万人次，发送量位列长三角铁路客站首位．数据973.41万可用科学记数法表示为（　　）
A．97.341×105 B．9.7341×106
C．0.97341×107 D．973.41×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：973.41万＝9734100＝9.7341×106．
故选：B．
3．（3分）如图，AB∥CD，AE交DF与C，∠ECF＝134°，则∠A的度数是（　　）

A．54° B．46° C．45° D．44°
【分析】根据邻补角的定义可得∠ECD＝180°﹣∠ECF＝46°，再根据两直线平行，同位角相等求解．
【解答】解：∵∠ECD+∠ECF＝180°，∠ECF＝134°，
∴∠ECD＝180°﹣∠ECF＝46°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ECD＝46°．
故选：B．
4．（3分）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，故A错误．
B、2与不是同类二次根式，故B错误．
C、原式＝，故C正确．
D、原式＝5，故D错误．
故选：C．
5．（3分）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PB＝BC，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】因为BC＝PB+PC，根据已知PA+PB＝BC，所以PA＝PC，根据线段中垂线的性质可知：P在AC的中垂线上，可以作判断．
【解答】解：作AC的中垂线，交BC于点P，则PA＝PC，
∵BC＝PB+PC，
∴PA+PB＝BC，
故选：B．
6．（3分）如图反映了我国2014﹣2019年快递业务量（单位：亿件）及年增长率（%）的情况

（以上数据来源于国家统计局网站）
根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（　　）
A．2014﹣2019年，我国快递业务量的年平均值超过300亿件
B．与2017年相比，2018年我国快递业务量的增长率超过25%
C．2014﹣2019年，我国快递业务量与年增长率都是逐年增长
D．2019年我国的快递业务量比2014年的4倍还多
【分析】解决本题需要从统计图获取信息，由此关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所示的实际意义获取正确的信息．
【解答】解：A、2014﹣2019年，我国快递业务量的年平均值是：（139.6+206.7+312.8+400.6+507.1+635.2）÷6＝367（亿件），超过了300亿件，故本选项正确；
B、从折线统计图上可以看出，与2017年相比，2018年我国快递业务量的增长率超过25%，正确；
C、2014﹣2019年，我国快递业务量是逐年增长，但增长率不是逐年增长，故本选项错误；
D、2014年我国的快递业务量是139.6亿件，2019年我国的快递业务量是635.2亿件，比2014年的4倍还多，正确；
故选：C．
7．（3分）一次函数y＝kx+b和正比例函数y＝kbx在同一坐标系内的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数及正比例函数的图象对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵一次函数的图象经过一、三、四象限，
∴k＞0，b＜0；
∴kb＜0，
∴正比例函数y＝kbx应该经过第二、四象限．
故本选项错误；
B、∵一次函数的图象经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0．
∴kb＜0，
∴正比例函数y＝kbx应该经过第二、四象限．
故本选项正确；
C、∵一次函数的图象经过二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．
∴kb＞0，
∴正比例函数y＝kbx应该经过第一、三象限．
故本选项错误；
D、∵一次函数的图象经过一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0．
∴kb＞0，
∴正比例函数y＝kbx应该经过第一、三象限．
故本选项错误；
故选：B．
8．（3分）随着快递业务量的增加，某快递公司为快递品更换快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每天300件提高到420件，平均每人每天比原来多投递8件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每天投递快件多少件？设原来平均每人每天投递快件x件，根据题意课列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设原来平均每人每天投递快件x件，则更换快捷的交通工具后平均每人每天投递快件（x+8）件，根据该快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设原来平均每人每天投递快件x件，则更换快捷的交通工具后平均每人每天投递快件（x+8）件，
依题意得：＝．
故选：D．
9．（3分）已知y＝2x2﹣4x+1，且，其中m≤3，n≥﹣3，则y的取值范围（　　）
A．﹣1≤y≤17 B．1≤y≤17 C．﹣1≤y≤8 D．﹣1≤y≤1
【分析】首先根据求出x的值，根据m≤3，n≥﹣3确定x的取值范围，根据二次函数的增减性确定y的取值．
【解答】解：由可得，
，
∵m≤3，n≥﹣3，
∴，
即﹣2≤x≤2，
∵y＝2x2﹣4x+1，
对称轴为直线x＝＝1且a＝2＞0，开口向上，
∴当x＝1时，y有最小值，最小值为y＝2×12﹣4×1+1＝﹣1，
当x＝﹣2时，y有最大值，最大值为y＝2×（﹣2）2﹣4×（﹣2）+1＝17，
∴﹣1≤y≤17，
故选：A．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在DC边上，且CE＝2DE，连接AE交BD于点G，过点D作DF⊥AE，连接OF并延长，交DC于点P，过点O作OQ⊥OP分别交AE、AD于点N、H，交BA的延长线于点Q，现给出下列结论：①∠AFO＝45°；②DP2＝NH•OH；③∠Q＝∠OAG；④OG＝DG．其中正确的结论有（　　）

A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【分析】①由“ASA”可证△ANO≌△DFO，可得ON＝OF，由等腰三角形的性质可求∠AFO＝45°；
④由外角的性质可求∠NAO＝∠AQO．
②由“AAS”可证△OKG≌△DFG，可得GO＝DG；
③通过证明△AHN∽△OHA，可得，进而可得结论DP2＝NH•OH．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝DO＝CO＝BO，AC⊥BD，
∵∠AOD＝∠NOF＝90°，
∴∠AON＝∠DOF，
∵∠OAD+∠ADO＝90°＝∠OAF+∠DAF+∠ADO，
∵DF⊥AE，
∴∠DAF+∠ADF＝90°＝∠DAF+∠ADO+∠ODF，
∴∠OAF＝∠ODF，
∴△ANO≌△DFO （ASA），
∴ON＝OF，
∴∠AFO＝45°，故①正确；
如图，过点O作OK⊥AE于K，

∵CE＝2DE，
∴AD＝3DE，
∴tan∠DAE＝＝＝，
∴AF＝3DF，
∵△ANO≌△DFO，
∴AN＝DF，
∴NF＝2DF，
∵ON＝OF，∠NOF＝90°，
∴OK＝KN＝KF＝FN，
∴DF＝OK，
又∵∠OGK＝∠DGF，∠OKG＝∠DFG＝90°，
∴△OKG≌△DFG （AAS），
∴GO＝DG，故④正确；
∵∠DAO＝∠ODC＝45°，OA＝OD，∠AOH＝∠DOP，
∴△AOH≌ODOP （ASA），
∴AH＝DP，∠ANH＝∠FNO＝45°＝∠HAO，∠AHN＝∠AHO，
∴△AHN∽△OHA，
∴，
∴AH2＝HO•HN，
∴DP2＝NH•OH，故②正确；
∵∠NAO+∠AON＝∠ANQ＝45°，∠AQO+∠AON＝∠BAO＝45°，
∴∠NAO＝∠AQO，故③正确．
综上，正确的是①②③④．
故选：D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）计算：3a﹣5a＝　（3﹣5）　a＝　﹣2　a．（请写出中间步骤）
【分析】直接利用合并同类项法则计算得出答案．
【解答】解：3a﹣5a＝（3﹣5）a＝﹣2a．
故答案为：（3﹣5），﹣2．
12．（4分）关于x的一元二次方程（1﹣m）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m＞0且m≠1　．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到1﹣m≠0且△＝（﹣2）2﹣4（1﹣m）＞0，然后求出两不等式解集的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得1﹣m≠0且△＝（﹣2）2﹣4（1﹣m）＞0，
解得m＞0且m≠1．
故答案为：m＞0且m≠1．
13．（4分）小红的口袋有3把钥匙，分别能打开甲、乙、丙三把锁，他从口袋中任意取出一把钥匙，能打开甲锁的概率是　　．
【分析】直接利用概率公式求出答案．
【解答】解：因为三把钥匙中只有1把能打开甲锁，
所以随机取出一把钥匙开甲锁，恰好能打开的概率是，
故答案为：．
14．（4分）如图，折叠矩形纸片ABCD，先把△ABE沿AE翻折，点B落在AD边上的点F处，折痕为AE，点E在BC边上；然后将纸片展开铺平，把矩形ECDF沿对角线DE折叠，若点C恰好落在对角线AE上，则的值为　　．

【分析】根据折叠的性质可得EF＝BC，∠AFE＝90°，∠AED＝∠CED，再根据矩形的性质可得到AB与BC的关系，进而求解．
【解答】解：连接DE，如图，

由折叠可得，EF＝BC，∠AFE＝90°，∠AED＝∠CED，
∵矩形ABCD，
∴BC＝AD，∠BAF＝∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠BAF＝∠B＝∠AFE＝90°，∠ADE＝∠DEC，
∴四边形ABEF为正方形，∠ADE＝∠AED，
∴AB＝BE＝EF＝AF，AD＝AE，
设AB＝a，则BC＝AD＝AE＝a，
∴＝＝，
故答案为：．
15．（4分）一次函数y1＝k1x+b和y2＝（k2＞0）相交于A（1，m），B（3，n）两点，则不等式k1x+b＞的解集为　1＜x＜3或x＜0　．
【分析】画出草图，在图象上找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可．
【解答】解：如图，由图象可得：不等式k1x+b＞的解集为是1＜x＜3或x＜0．
故答案为：1＜x＜3或x＜0．

16．（4分）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，C为弧AB的中点，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接AC，若AC∥DF，⊙O的半径为，BE＝AE，则CE＝　　．

【分析】连接OC、OA、OD，OC与AF交于点H，设AE＝5λ，利用已知条件表示出AH，OE，在Rt△HOA中，由勾股定理列出方程即可解答．
【解答】解：连接OC、OA、OD，OC与AF交于点H，如图，

∵C为弧AB的中点，
∴OC⊥AB，AH＝BH，
∵AC∥DF，
∴∠ACD＝∠CDF，
∵OD是切线，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF＝90°，
∴∠ODC+∠CDF＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠OCE+∠CEA＝∠OCE+∠FED＝90°，
∴∠CDF＝∠DEF＝∠ACD＝∠AEC，
∴AC＝AE，
设AE＝5λ，则BE＝3λ，
∴AC＝5λ，AB＝8λ，
∴AH＝4λ，HE＝λ，
在Rt△ACH中，由勾股定理得CH＝3λ，
∴OH＝OC﹣CH＝﹣3λ，
在Rt△HCE中，由勾股定理得CE2＝HC2+HE2＝9λ2+λ2＝10λ2，
∴CE＝，
在Rt△HOA中，由勾股定理得，
OA2＝AH2+OH2，
即（）2＝（4λ）2+（﹣3λ）2，
解得λ＝1，
∴CE＝＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
17．（6分）（1）化简：（x﹣1）2﹣x（x﹣1）；
（2）计算：．
【分析】（1）先提公因式（x﹣1）即可化简；
（2）分母是多项式，先因式分解，然后约分，异分母分数要通分，然后化简即可．
【解答】解：（1）原式＝（x﹣1）（x﹣1﹣x）
＝（x﹣1）•（﹣1）
＝1﹣x；

（2）原式＝
＝﹣
＝
＝
＝﹣．
18．（8分）某校为了解学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分学生，根据调查结果绘制出如图所示的统计图．

（1）求被调查的学生人数为　40　，m＝　25　；
（2）求被调查的学生每天在校体育活动时间的平均数、众数；
（3）若该校有1500名学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数．
【分析】（1）用第二小组的频数除以其所占的百分比即可求得调查的总人数；
（2）根据平均数计算公式和众数的定义直接解答即可；
（3）用样本平均数估算总体即可．
【解答】解：（1）8÷20%＝40（人），
所以调查的学生是40人；
m%＝×100%＝25%，即m＝25．
故答案为：40，25；

（2）被调查的学生每天在校体育活动时间的平均数是：（0.9×4+1.2×8+1.5×15+1.8×10+2.1×3）＝1.5（h）；
∵数据中1.5h出现了15次，出现次数最多，
∴调查的学生每天在校体育活动时间的众数为1.5h；

（3）1500×（1﹣10%）＝1350（人），
所以该校每天在校体育活动时间大于1h的学生有1350人．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠ADE＝∠B，AD＝7，AB＝10，DE＝6，∠A＝65°，∠B＝40°，求：
（1）∠AED与∠C的度数；
（2）BC的长．

【分析】利用相似三角形的判定与性质即可解答．
【解答】解：（1）∵∠A＝65°，∠B＝40°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，
∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴∠AED＝∠C＝75°，
（2）由（1）知，△AED∽△ACB，
∴，
∴，
∴BC＝．
20．（10分）一辆小型客车从甲地出发前往乙地，如以100km/h的平均速度则6h到达目的地．
（1）当小型客车从乙地返回时，它的平均速度v与时间t有怎样的函数关系？
（2）小型客车上午8时从乙地出发．
①小型客车需在当天14点15分至15点30分间（含14点15分与15点30分）返回甲地，求其行驶平均速度v的取值范围；
②如小型客车的最高限速是120km/h，该小型客车能否在当天12点30分前返回甲地？请说明理由．
【分析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；
（2）①8点至14点15分时间长为小时，8点至15点30分时间长为小时，将它们分别代入v关于t的函数表达式，即可得行驶的速度范围；
②点至12点30分时间长为小时，将其代入v关于t的函数表达式，可得速度大于120千米/时，从而得答案．
【解答】解：（1）∵路程＝vt＝100×6＝600（km），
∴v关于t的函数表达式为：v＝．
（2）①8点至14点15分时间长为小时，8点至15点30分时间长为小时，
将t＝代入v＝得v＝80；将t＝代入v＝得v＝96．
∴小型客车行驶速度v的范围为：80≤v≤96．
②小型客车不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：
8点至12点30分时间长为小时，将t＝代入v＝得v＝＞120千米/小时，超速了．
故小型客车不会在当天12点30分前返回甲地．
21．（10分）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：
（1）∠BOD＝∠C；
（2）四边形OBCD是菱形．

【分析】（1）延长AO到E，利用等边对等角和角之间关系解答即可；
（2）连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．
【解答】证明：（1）
延长AO到E，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO，
又∠BOE＝∠ABO+∠BAO，
∴∠BOE＝2∠BAO，
同理∠DOE＝2∠DAO，
∴∠BOE+∠DOE＝2∠BAO+2∠DAO＝2（∠BAO+∠DAO）
即∠BOD＝2∠BAD，
又∠C＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠C；
（2）连接OC，
∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，
∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC，
∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，
∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO，
∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD，
又∠BOD＝∠BCD，
∴∠BOC＝∠BCO，
∴BO＝BC，
又OB＝OD，BC＝CD，
∴OB＝BC＝CD＝DO，
∴四边形OBCD是菱形．
法二，连接OC，
∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，
∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC（SSS），
∴∠B＝∠D，∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，
∴∠BOD＝∠BCD，
∴四边形BCDO是平行四边形，
∵BC＝CD，
∴平行四边形BCDO是菱形．
22．（12分）函数y＝ax2+bx+c（ac≠0）的图象与x轴交于点A（﹣c，0），B（3，0）．
（1）若c＝2，求该函数的表达式；
（2）若c≠2，a的值还确定吗？请说明理由；
（3）若点C（1﹣c，y1），D（4，y2）在该函数的图象上，试比较y1与y2．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据题意得到y＝a（x+c）（x﹣3）＝ax2+a（c﹣3）x﹣3ac，即可得到﹣3ac＝c，从而求得a＝﹣；
（3）根据点C（1﹣c，y1），D（4，y2）到对称轴的距离的大小即可判断．
【解答】解：（1）∵函数y＝ax2+bx+c（ac≠0）的图象与x轴交于点A（﹣c，0），B（3，0）．
若c＝2，则，
解得，
∴该函数的表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）若c≠2，a的值还能确定，理由如下：
∵函数y＝ax2+bx+c（ac≠0）的图象与x轴交于点A（﹣c，0），B（3，0）．
∴y＝a（x+c）（x﹣3）＝ax2+a（c﹣3）x﹣3ac，
∴﹣3ac＝c，
∴a＝﹣；
（3）∵函数y＝ax2+bx+c（ac≠0）的图象与x轴交于点A（﹣c，0），B（3，0）．
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∵|﹣（1﹣c）|＝||，
|4﹣|＝||，
当c＜﹣3时，||＞||，
∴点C（1﹣c，y1）到对称轴的距离大，点D（4，y2）到对称轴的距离小，
∵抛物线开口向下，
∴y1＜y2．
当c＞﹣3时，同法可得y1＞y2．
c≠0，
综上所述，当c＜﹣3时，y1＜y2．当c＞﹣3且c≠0时，y1＞y2．
23．（12分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，点P在对角线BD上（不与点B、D重合），点E、F分别在边CD、BC上，且PE∥BC，PF∥DC．
（1）若AP⊥BD，求证：DE＝PF；
（2）点P在线段BD上运动时，设PE＝x，AP＝y．
①求四边形PFCE面积最大值；
②探究x与y的数量关系．

【分析】（1）若AP⊥BD，则AP为等腰△BAD的中线，PE为△DBC的中位线即可通过等量代换求证．
（2）用含x的式子表示出四边形PFCE面积，利用二次函数最值问题即可解决．
（3）构造辅助线，利用勾股定理即可找到y与x的数量关系．
【解答】解：（1）证明：由题意得：AB＝AD，AP⊥BD，
∴AP为等腰△BAD的中线，即点P为BD的中点，
又∵PE∥BC，
∴点E为DC的中点，PE为△DBC的中位线，
∴PE＝＝DE，
又∵PE∥BC，PF∥DC，
∴四边形FPEC为平行四边形，
∴PF＝EC，
而DE＝EC，
∴DE＝PF，
（2）①过点P作PM⊥BC于点M，如图所示：

∵∠ABC＝60°，AB∥CD，PE∥FC，BD为对角线，
∴∠PFM＝60°，∠PBC＝∠BDE＝∠DPE＝30°，
∴PE＝x，则FC＝DE＝x，PF＝EC＝8﹣x，
在Rt△PFM中，sin∠PFM＝＝，
∴PM＝，
S四边形PFCE＝FC•PM＝x•＝﹣x2＝﹣，
∵﹣＜0，
∴当x＝4时，S取得最大值为8，
故四边形PFCE面积最大值为8，
②过点E作EQ⊥PD于点Q，过点P作PN⊥AD于点N，如图所示：

由①可知∠PDE＝30°，PE＝DE＝x，
在Rt△DQE中，DQ＝cos30°×DE＝，
∴PD＝，
在Rt△DPN中，∠PDN＝30°，PN＝PD＝，DN＝cos30°PD＝＝，
∴AN＝AD﹣DN＝8﹣，
在Rt△ANP中，AP＝y，AN＝8﹣，PN＝，
由勾股定理可得：AP2＝AN2+PN2，
∴y2＝（8﹣）2+（）2，即：y2＝3x2﹣24x+64，
∴y与x的数量关系为：y2＝3x2﹣24x+64．