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2021年吉林省长春市中考数学二模试卷 解析版
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这是一份2021年吉林省长春市中考数学二模试卷 解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年吉林省长春市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）最大的负整数是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在
2．（3分）“中国疫苗，助力全球战疫”，据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产量将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2×108 B．2×109 C．2×1010 D．20×108
3．（3分）如图，点A，B是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A，B两点间的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
4．（3分）一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地60km，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？设车速是xkm/h．根据题意可列不等式（ ）
A．60＜x B． C． D．40x＜60
5．（3分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形
6．（3分）要判断命题“有两个角是直角的圆内接四边形是矩形”是假命题，下列图形可作为反例的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（ ）
A．（m2） B．（m2）
C．1600sina（m2） D．1600cosα（m2）
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数y＝﹣的图象上，以AB为边向右作等边三角形ABC．若点C在函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共1.8分）
9．（3分）因式分解：5x2﹣2x＝ ．
10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值 ．（写出一个即可）
11．（3分）如图，正六边形ABCDEF经过位似变换得到正六边形A'B'C'D'E'F'．若AB＝3，B'C'＝1，则正六边形A'B'C'D'E'F'和正六边形ABCDEF的面积比是 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝58°，AC＝18，点D为边AC的中点．以点B为圆心，BD为半径画圆弧，交边BC于点E，则图中阴影部分图形的面积为 ．
13．（3分）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：
①连接AB和BC；
②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C；
③以点O为圆心，OA为半径作⊙O；
④分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O．
正确操作步骤的排列序号为 ．
14．（3分）函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）图象上有两点（a，m），（2a+1，n）．若m＜n，则a的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）求值：﹣（﹣1）0+（﹣2）﹣3﹣9tan30°．
16．（6分）甲和乙利用盒子里的三张卡片做游戏，卡片上分别写有A、A、B，这些卡片除了字母外完全相同，从中随机摸出一张卡片记下字母，放回盒子后充分搅匀，再从中随机摸出一张卡片记下字母．如果两次摸到的卡片字母相同则甲获胜，否则乙获胜．请用画树状图或列表的方法求甲获胜的概率．
17．（6分）甲、乙两地相距50km，A骑自行车从甲地到乙地，出发3小时20分钟后，B骑摩托车也从甲地去乙地．已知B的速度是A的速度的3倍，结果两人同时到达乙地．求A、B两人的速度．
18．（7分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E在边AD上，且AE＝ED．过点E作EF⊥EO，交边AB于点F，过点O作OG∥EF，交边AB于点G．
（1）求证：四边形OEFG是矩形．
（2）若tan∠DAB＝，且四边形OEFG的面积为40，则AD的长为 ．
19．（7分）图①、图②均是4x4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中按要求．作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．
要求：（1）在图①中的线段CD上找一点P，使AP+BP的值最小．
（2）在图②中的线段CD．上找两点M、N，使MN＝1，且AM+NB的值最小．
20．（7分）2021年2月28日国家统计局发布了《2020年国民经济和社会发展统计公报》，如图是公报中发布的全国“2016﹣2020年快递业务量及其增长速度”统计图．
（1）2020年，全国快递业务量是 亿件，比2019年增长了 %．
（2）2016﹣2020年，全国快递业务量增长速度的中位数是 %．
（3）小东看了统计图后说：“图中表示2017﹣2019年增长速度的折线呈下降趋势，说明2017﹣2019年全国快递业务量逐年减少．”小东的说法正确吗？请说明理由．
（4）预计2021年全国快递业务量比2020年增长50%，则2021年的全国快递业务量为 亿件．（保留小数点后一位）
21．（8分）某天，甲组工人为灾区加工棉衣，工作中有一次停产检修机器，然后继续加工，由于任务紧急，乙组工人加入与甲组工人一起加工棉衣，甲停产前后各保持匀速生产，乙在工作时间内保持匀速生产，两组各自加工棉衣的数量y（件）与甲组工人加工时间x（小时）的函数图象如图所示．
（1）求乙组加工棉衣的数量y与时间x之间的函数关系式；
（2）直接写出甲组加工棉衣总量a的值．
（3）如果要求x＝8时，加工棉衣的总数量为480件，求乙组工人应提前多长时间加工棉衣．
22．（9分）[问题原型]
有这样一道问题：如图①；在△ABC中，∠BCA＝2∠A，BD为边AC上的中线，且BC＝AC．求证：△BCD为等边三角形．小聪同学的解决办法是：延长AC至点E，使CE＝BC，如图②，利用二倍角的条件构造等腰三角形进而解决问题．
[解决问题]请你利用小聪的办法解决此问题．
[应用拓展]如图③，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB．若AB＝3，BC＝5，则AC的长为 ．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6；AC＝8，D为边BC的中点，E为边AC的中点．点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动，到点B停止，以PD、PE为边作▱PEFD．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）证明▱PEFD的面积是定值，并直接写出这个定值．
（2）当▱PEFD是矩形时，求此时AP的长．
（3）当▱PEFD的一条对角线和△ABC的一边垂直时，直接写出此时t的值．
24．（12分）将函数y＝x2﹣ax+a（x≤a）的图象记为图象G．
（1）设图象G最低点为M，求点M的坐标（用含a的式子表示）．
（2）当图象G和x轴有且只有一个公共点时，直接写出a的取值范围．
（3）矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，且边均垂直于坐标轴，其中点A的坐标为（2，1﹣a）．
①当图象G在矩形ABCD内部（包括边界）对应的函数值y随x的增大而逐渐减小时，设此时图象G在矩形ABCD内部（包括边界）的最高点纵坐标和最低点纵坐标的差为l，求l与a之间的函数关系式．
②当图象G和矩形ABCD的边有公共点时，设公共点为点P（当存在多个公共点时，设其中一个为P）．若直线AP将矩形ABCD分成两部分图形的面积比为1：5，直接写出此时点P的坐标．
2021年吉林省长春市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）最大的负整数是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在
【分析】根据负整数的概念和有理数的大小进行判断．
【解答】解：负整数是负数且是整数，即最大的负整数是﹣1．
故选：C．
2．（3分）“中国疫苗，助力全球战疫”，据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产量将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2×108 B．2×109 C．2×1010 D．20×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：20亿＝2000000000＝2×109，
故选：B．
3．（3分）如图，点A，B是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A，B两点间的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】连接AB，根据Rt△ABC和勾股定理可得出AB两点间的距离．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，
可得：AB＝，
故选：B．
4．（3分）一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地60km，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？设车速是xkm/h．根据题意可列不等式（ ）
A．60＜x B． C． D．40x＜60
【分析】根据题意得出行驶的时间，利用总路程÷总时间＝平均速度进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：11：20到12：00是小时，
则x＞，
即 60＜x．
故选：A．
5．（3分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4．
故选：A．
6．（3分）要判断命题“有两个角是直角的圆内接四边形是矩形”是假命题，下列图形可作为反例的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据矩形的性质举出反例即可得出答案．
【解答】解：如图D所示，有两个角是直角的圆内接四边形不一定是矩形，
故选：D．
7．（3分）如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（ ）
A．（m2） B．（m2）
C．1600sina（m2） D．1600cosα（m2）
【分析】依题意四边形为菱形，α的对边AC即为菱形的高，等于40米，菱形边长可利用正弦解出，得出高和底，运用面积公式可解．
【解答】解：如图，α的对边AC即为路宽40米，
即sinα＝，
即斜边＝，
又∵这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）是菱形，
∴路面面积＝底边×高＝×40＝．
故选：A．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数y＝﹣的图象上，以AB为边向右作等边三角形ABC．若点C在函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】连接CO，作AD⊥x轴，CE⊥x轴于点D，E，通过一线三直角模型可得△ADO∽△OEC，从而通过面积比等于相似比平方求出△OEC的面积而求出k．
【解答】解：连接CO，作AD⊥x轴，CE⊥x轴于点D，E，
∵A、B关于原点成中心对称，△ABC为等边三角形，
∴AO＝BO，CO⊥AB，CO平分∠ACB，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠COE＝∠OAD，
又∵∠ADO＝∠CEO＝90°，
∴△ADO∽△OEC，
∵∠ACO＝ACB＝30°，
∴tan∠ACO＝＝，
∴S△ADO：S△OEC＝（）2＝．
∵点A在函数y＝﹣的图象上，
∴S△ADO＝＝1，
∴S△OEC＝＝3S△ADO＝3，
∴k＝6．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共1.8分）
9．（3分）因式分解：5x2﹣2x＝ x（5x﹣2） ．
【分析】提取公因式x即可得．
【解答】解：5x2﹣2x＝x（5x﹣2），
故答案为：x（5x﹣2）．
10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值 0 ．（写出一个即可）
【分析】先根据判别式的意义得到△＝（﹣1）2﹣4m＞0，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣1）2﹣4m＞0，
解得m＜，
所以当m取0时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为0．
11．（3分）如图，正六边形ABCDEF经过位似变换得到正六边形A'B'C'D'E'F'．若AB＝3，B'C'＝1，则正六边形A'B'C'D'E'F'和正六边形ABCDEF的面积比是 1：9 ．
【分析】利用相似多边形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF是由正六边形A′B′C′D′E′F′经过位似变换得到的，
∴正六边形ABCDEF∽正六边形A′B′C′D′E′F′，
∴正六边形A′B′C′D′E′F′和正六边形ABCDEF的面积比＝（）2＝1：9．
故答案为：1：9．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝58°，AC＝18，点D为边AC的中点．以点B为圆心，BD为半径画圆弧，交边BC于点E，则图中阴影部分图形的面积为 π ．
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到BD＝CD＝9，则∠DBC＝∠C＝22°，然后根据扇形的面积公式计算．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，
∴BD＝CD＝AC＝9，
∴∠DBC＝∠C，
∵∠C＝90°﹣∠A＝90°﹣58°＝32°，
∴∠DBE＝32°，
∴图中阴影部分图形的面积＝＝π．
故答案为π．
13．（3分）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：
①连接AB和BC；
②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C；
③以点O为圆心，OA为半径作⊙O；
④分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O．
正确操作步骤的排列序号为 ②①④③ ．
【分析】根据垂径定理解决问题即可．
【解答】解：正确操作步骤的排列序号为：②①④③．
故答案为：②①④③．
14．（3分）函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）图象上有两点（a，m），（2a+1，n）．若m＜n，则a的取值范围为 a＞ ．
【分析】由m＜n，图象开口向上可判断点点（a，m）到对称轴的距离小于点（2a+1，n）到对称轴的距离，分类讨论a＜1与a≥1求解．
【解答】解：函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为直线x＝1，图象开口向上，
∵m＜n，
∴点（a，m）到对称轴的距离小于点（2a+1，n）到对称轴的距离，
当0＜a≤1时，1﹣a＜2a+1﹣1满足题意，
解得a＞，
当a≥1时，2a+1＞a≥1恒成立，
∴a≥1满足条件．
故答案为：a＞．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）求值：﹣（﹣1）0+（﹣2）﹣3﹣9tan30°．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：﹣（﹣1）0+（﹣2）﹣3﹣9tan30°
＝3﹣1﹣﹣9×
＝3﹣﹣3
＝﹣．
16．（6分）甲和乙利用盒子里的三张卡片做游戏，卡片上分别写有A、A、B，这些卡片除了字母外完全相同，从中随机摸出一张卡片记下字母，放回盒子后充分搅匀，再从中随机摸出一张卡片记下字母．如果两次摸到的卡片字母相同则甲获胜，否则乙获胜．请用画树状图或列表的方法求甲获胜的概率．
【分析】根据题意列出图表得出所有出现的可能性，再计算出甲获胜的概率．
【解答】解：两次摸出卡片所有可能出现的结果如下表所示：
A
A
B
A
（A，A）
（A，A）
（A，B）
A
（A，A）
（A，A）
（A，B）
B
（B，A）
（B，A）
（B，B）
两次摸卡片的所有可能出现的结果有9个，且每个结果发生的可能性都相等，
其中出现“两次摸到的卡片字母相同”的结果有5个，“两次摸到的卡片字母不相同”的结果有4个，
∴甲获胜的概率为．
17．（6分）甲、乙两地相距50km，A骑自行车从甲地到乙地，出发3小时20分钟后，B骑摩托车也从甲地去乙地．已知B的速度是A的速度的3倍，结果两人同时到达乙地．求A、B两人的速度．
【分析】本题中有两个相等关系：“B的速度是A的速度的3倍”以及“B比A少用3小时20分钟”；根据等量关系可列方程．
【解答】解：设A的速度为xkm/时，则B的速度为3xkm/时．
根据题意得方程：．
解得：x＝10．
经检验：x＝10是原方程的根．
∴3x＝30．
答：A，B两人的速度分别为10km/时、30km/时．
18．（7分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E在边AD上，且AE＝ED．过点E作EF⊥EO，交边AB于点F，过点O作OG∥EF，交边AB于点G．
（1）求证：四边形OEFG是矩形．
（2）若tan∠DAB＝，且四边形OEFG的面积为40，则AD的长为 10 ．
【分析】（1）由是菱形的性质推出∠OAD＝∠OAB，AC⊥BD，由直角三角形斜边中线的性质得到OE＝AE，根据等腰三角形的性质得到∠OAE＝∠AOE，进而推出∠AOE＝∠OAB，根据平行线的性质得到OE∥FG，由平行四边形的判定得到四边形OEFG是平行四边形，即可证得四边形OEFG是矩形；
（2）设EF＝4x，AF＝3x，由勾股定理得AE＝5x，可得OE＝AE＝5x，由矩形的面积可求得x，进而可求得AD．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠OAD＝∠OAB，AC⊥BD，
∵AE＝ED．
∴OE＝AE＝AD，
∴∠OAE＝∠AOE，
∴∠AOE＝∠OAB，
∴OE∥AB，
∴OE∥FG，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥EO，
∴∠OEF﹣90°，
∴四边形OEFG是矩形；
（2）解：∵四边形OEFG是矩形，
∴∠AFE＝∠EFG＝90°，
∴tan∠DAB＝＝，
设EF＝4x，AF＝3x，
由勾股定理得AE＝5x，
由（1）知OE＝AE＝5x，
∵矩形OEFG的面积为40，
∴OE•EF＝40，
∴5x•4x＝40，
∴x＝，
∴AD＝2AE＝2×5x＝10，
故答案为：10．
19．（7分）图①、图②均是4x4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中按要求．作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．
要求：（1）在图①中的线段CD上找一点P，使AP+BP的值最小．
（2）在图②中的线段CD．上找两点M、N，使MN＝1，且AM+NB的值最小．
【分析】（1）作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于点P，连接PA，点P即为所求作．
（2）取格点E，使得AE＝1，AE∥CD，作点E关于CD的对称点E′，连接E′B交CD于N，作MN＝1，连接AM，即可．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求作．
（2）如图，点M，N即为所求作．
20．（7分）2021年2月28日国家统计局发布了《2020年国民经济和社会发展统计公报》，如图是公报中发布的全国“2016﹣2020年快递业务量及其增长速度”统计图．
（1）2020年，全国快递业务量是 833.6 亿件，比2019年增长了 31.2 %．
（2）2016﹣2020年，全国快递业务量增长速度的中位数是 28.0 %．
（3）小东看了统计图后说：“图中表示2017﹣2019年增长速度的折线呈下降趋势，说明2017﹣2019年全国快递业务量逐年减少．”小东的说法正确吗？请说明理由．
（4）预计2021年全国快递业务量比2020年增长50%，则2021年的全国快递业务量为 1250.4 亿件．（保留小数点后一位）
【分析】（1）由统计图中的信息即可得到结论；
（2）由统计图中的信息即可得到结论；
（3）根据统计图中的信息即可得到结论；
（4）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）由题中的统计图可得：2020年，全国快递业务量是833.6亿件，比2019年增长了31.2%；
故答案为：833.6；31.2；
（2）由题中的统计图可得：2016﹣2020年，全国快递业务量增长速度的中位数是28.0%；
故答案为：28.0%；
（3）不正确，理由：由图中的信息可得，2017﹣2019年全国快递业务量增长速度逐年放缓，但是快递业务量却逐年增加；
（4）833.6×（1+50%）＝1250.4（亿件），
∴2021年的快递业务量为1250.4亿件．
故答案为：1250.4．
21．（8分）某天，甲组工人为灾区加工棉衣，工作中有一次停产检修机器，然后继续加工，由于任务紧急，乙组工人加入与甲组工人一起加工棉衣，甲停产前后各保持匀速生产，乙在工作时间内保持匀速生产，两组各自加工棉衣的数量y（件）与甲组工人加工时间x（小时）的函数图象如图所示．
（1）求乙组加工棉衣的数量y与时间x之间的函数关系式；
（2）直接写出甲组加工棉衣总量a的值．
（3）如果要求x＝8时，加工棉衣的总数量为480件，求乙组工人应提前多长时间加工棉衣．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出4≤x≤8时，甲组加工棉衣的数量y与时间x之间的函数关系式，把x＝8代入函数的解析式即可得到结论；
（3）根据题意列算式即可得到结论．
【解答】解：（1）设y乙＝kx+b（k≠0），
将（4.5，0），（8，252）代入得：
，
解得，
∴y乙＝72x﹣324；
（2）把x＝7代入y乙＝72x﹣324，得y乙＝72×7﹣324＝180，
当4≤x≤8时，设甲组加工棉衣的数量y与时间x之间的函数关系式为y甲＝mx+n，
将（7，180），（4，90）代入得：
，
解得，
∴y甲＝30x﹣30（4≤x≤8），
将x＝8代入，得y甲＝30×8﹣30＝210，
即a＝210；
（3）由图象可知，乙组工人加工252件棉衣所用时间为：8﹣4.5＝3.5（小时），
∴乙的加工速度为：252÷3.5＝72（件/小时），
∵480﹣210＝270（件），270÷72＝3.75（小时），
∴3.75﹣3.5＝0.25（小时），
即乙组工人应提前0.25小时加工棉衣．
22．（9分）[问题原型]
有这样一道问题：如图①；在△ABC中，∠BCA＝2∠A，BD为边AC上的中线，且BC＝AC．求证：△BCD为等边三角形．小聪同学的解决办法是：延长AC至点E，使CE＝BC，如图②，利用二倍角的条件构造等腰三角形进而解决问题．
[解决问题]请你利用小聪的办法解决此问题．
[应用拓展]如图③，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB．若AB＝3，BC＝5，则AC的长为 2 ．
【分析】（1）延长AC至点E，使CE＝BC，连接BE，根据BD为边AC上的中线，且BC＝AC，可得出AD＝CD＝BC，再由∠BCA＝2∠A，可得∠A＝∠E，AB＝BE，即可证明△BAC和△BED，进而可证得结论；
（2）延长CB至F，使BF＝AB，连接AF，过点A作AG⊥BC于点G，根据∠ABC＝2∠ACB，可得出∠F＝∠ACB，AF＝AC，再应用等腰三角形性质及勾股定理即可．
【解答】解：（1）如图②，延长AC至点E，使CE＝BC，连接BE，
∵BD为边AC上的中线，
∴AD＝CD＝AC，
∵BC＝AC，
∴AD＝CD＝BC，
∵BC＝CE，
∴∠E＝∠CBE，AC＝DE，
∵∠BCA＝∠E+∠CBE，
∴∠BCA＝2∠E，
∵∠BCA＝2∠A，
∴∠A＝∠E，
∴AB＝BE，
在△BAC和△BED中，
，
∴△BAC≌△BED（SAS），
∴BD＝BC，
∵BC＝CD，
∴BD＝BC＝CD，
∴△BCD为等边三角形．
（2）如图③，延长CB至F，使BF＝AB，连接AF，过点A作AG⊥BC于点G，
∵BF＝AB＝3，BC＝5，
∴∠F＝∠BAF，
∵∠ABC＝∠F+∠BAF，
∴∠ABC＝2∠F，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠F＝∠ACB，
∴AF＝AC，
∵AG⊥BC，
∴CG＝FG＝（BC+BF）＝4，
∴BG＝BC﹣CG＝1，
∴AG＝＝＝2，
∴AC＝＝＝2．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6；AC＝8，D为边BC的中点，E为边AC的中点．点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动，到点B停止，以PD、PE为边作▱PEFD．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）证明▱PEFD的面积是定值，并直接写出这个定值．
（2）当▱PEFD是矩形时，求此时AP的长．
（3）当▱PEFD的一条对角线和△ABC的一边垂直时，直接写出此时t的值．
【分析】（1）连接DE，作EG垂直于AB与点G，分别求出GE，DE长度求解．
（2）构造一线三垂直相似模型，由相似比及含t代数式求解．
（3）分类讨论PF垂直于三边三种情况，通过解直角三角形求解．
【解答】解：（1）连接DE，作EG垂直于AB与点G，
由勾股定理得AB＝＝10，
∵点D、E为BC、AC中点，
∴DE∥AB，DE＝AB＝5，AE＝AC＝4，
∵sinA＝＝，
∴GE＝AE＝，
∴S△DEP＝DE•EG＝×5×＝6，
∴▱PEFD的面积为2S△DEP＝2×6＝12．
（2）①如图，当点P为AB中点时，PD，PE分别为△ABC的中位线，PD⊥PE，
∴▱PDEF为矩形，
∴AP＝AB＝5．
②如图，当∠DPE为直角时，作EG、DH垂直于AB于点G、H，
∵∠DPH+∠EPG＝90°，∠DPH+∠HDP＝90°，
∴△EGP∽△PHD，
∴＝，
∵D为BC中点，
∴BD＝BC＝3，
∵tanA＝＝＝，
∴AG＝GE＝，
∵sinB＝＝＝，tanB＝＝＝，
∴HD＝BD＝，BH＝HD＝，
∴GP＝AP﹣AG＝5t﹣，PH＝AH﹣AP＝AB﹣BH﹣AP＝10﹣﹣5t＝﹣5t．
∴＝，
解得t＝或t＝1（舍），
∴AP＝5t＝．
综上所述，AP＝5或．
（3）①当PF⊥AB时，PF⊥DE，
∴四边形PDFE为菱形，
∴PD2＝PE2，
∴PH2+HD2＝PG2+GE2，
即（﹣5t）2+（）2＝（5t﹣）2+（）2，
∴﹣5t＝5t﹣，
解得t＝．
②当PF⊥BC时，PF交DE于点O，交CD于点K，
∵O为DE中点，OK∥EC，
∴OK为△EDC的中位线，
∴DK＝CD＝3，
∵BK＝BP＝6﹣3t，
∴DK＝6﹣3t﹣3＝3﹣3t，
∴3＝3﹣3t，
解得t＝．
③当PF⊥AC时，交AC于点M，同理可得M为EC中点，
∴AM＝AE+EC＝AC＝6，
∴AP＝AM＝，
∴5t＝，
解得t＝．
综上所述，t＝或或．
24．（12分）将函数y＝x2﹣ax+a（x≤a）的图象记为图象G．
（1）设图象G最低点为M，求点M的坐标（用含a的式子表示）．
（2）当图象G和x轴有且只有一个公共点时，直接写出a的取值范围．
（3）矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，且边均垂直于坐标轴，其中点A的坐标为（2，1﹣a）．
①当图象G在矩形ABCD内部（包括边界）对应的函数值y随x的增大而逐渐减小时，设此时图象G在矩形ABCD内部（包括边界）的最高点纵坐标和最低点纵坐标的差为l，求l与a之间的函数关系式．
②当图象G和矩形ABCD的边有公共点时，设公共点为点P（当存在多个公共点时，设其中一个为P）．若直线AP将矩形ABCD分成两部分图形的面积比为1：5，直接写出此时点P的坐标．
【分析】（1）分类讨论图象最低点为顶点或抛物线与直线x＝a的交点两种情况．
（2）分类讨论完整抛物线与x轴有一个交点和两个交点的情况求解．
（3）利用数形结合方法，分类讨论抛物线顶点在矩形内部与外部两种情况．
（4）由AP将矩形面积分为1：5两部分可得点P将矩形边长分为1：2两部分，然后分类讨论点A在x轴上方与点A在x轴下方两种情况．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣ax+a＝（x﹣）2﹣+a（x≤a），
∴当≤a时，最低点为图象顶点，
即a≥0时，点M坐标为（，﹣+a），
当＞a时，a＜0，
最低点为抛物线与直线x＝a的交点M（a，a）．
（2）当抛物线y＝x2﹣ax+a＝（x﹣）2﹣+a与x轴有两个交点时，
﹣+a＜0，解得a＜0或a＞4，
当a＜0时，抛物线与直线x＝a交点（a，a）在x轴下方满足题意，
当a＞4时，抛物线与直线x＝a交点（a，a）在x轴上方不满足题意．
∴a＜0．
当抛物线与x轴有一个交点时，﹣+a＝0，
解得a＝0或a＝4，
抛物线与直线x＝a交点（a，a）在x轴上或x轴上方，满足题意．
综上所述，a≤0或a＝4．
（3）①抛物线y＝x2﹣ax+a经过定点（1，1），点A坐标为（2，1﹣a），点B坐标为（2，a﹣1），
当a≥0时，直线x＝a在顶点右侧，当图象G在矩形内部对应的函数值y随x的增大而逐渐减小时，
≥xA，即2，
解得a≥4，
∴a﹣1≥3满足题意．
∴图象与矩形最高点纵坐标为yB＝a﹣1，最低点纵坐标为抛物线与直线x＝2交点纵坐标，y＝4﹣a，
∴l＝a﹣1﹣（4﹣a）＝2a﹣5．
当﹣2＜a≤时，﹣2＜a≤0满足题意，此时图象最低点为（a，a）
抛物线与直线x＝﹣2交点为（﹣2，3a+4）
当3a+4≥1﹣a时，a≥﹣，此时抛物线与矩形交点最高点纵坐标为1﹣a，
∴l＝1﹣a﹣a＝1﹣2a．
当3a+4＜1﹣a时，a＜﹣，抛物线与矩形交点最高点纵坐标为3a+4，
∴l＝3a+4﹣a＝2a+4．
综上所述，l＝．
（4）当点P将正方形边长分成1：2两部分时满足题意，
如图，当DP：PC＝1：2时，＝＝，
解得a＝﹣，
∴3a+4＝，
∴点P坐标为（﹣2，）．
当点P将BC分成1：2两部分时，＝，
∵BC＝4，
∴BP＝，
∵2﹣＝，
∴点P坐标为（，a﹣1），
将（，a﹣1）代入解析式得：
a﹣1＝﹣a+a，
解得a＝，
∴点P坐标为（，）．
综上所述，点P坐标为（﹣2，）或（，）．
2021年吉林省长春市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）最大的负整数是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在
2．（3分）“中国疫苗，助力全球战疫”，据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产量将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2×108 B．2×109 C．2×1010 D．20×108
3．（3分）如图，点A，B是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A，B两点间的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
4．（3分）一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地60km，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？设车速是xkm/h．根据题意可列不等式（ ）
A．60＜x B． C． D．40x＜60
5．（3分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形
6．（3分）要判断命题“有两个角是直角的圆内接四边形是矩形”是假命题，下列图形可作为反例的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（ ）
A．（m2） B．（m2）
C．1600sina（m2） D．1600cosα（m2）
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数y＝﹣的图象上，以AB为边向右作等边三角形ABC．若点C在函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共1.8分）
9．（3分）因式分解：5x2﹣2x＝ ．
10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值 ．（写出一个即可）
11．（3分）如图，正六边形ABCDEF经过位似变换得到正六边形A'B'C'D'E'F'．若AB＝3，B'C'＝1，则正六边形A'B'C'D'E'F'和正六边形ABCDEF的面积比是 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝58°，AC＝18，点D为边AC的中点．以点B为圆心，BD为半径画圆弧，交边BC于点E，则图中阴影部分图形的面积为 ．
13．（3分）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：
①连接AB和BC；
②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C；
③以点O为圆心，OA为半径作⊙O；
④分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O．
正确操作步骤的排列序号为 ．
14．（3分）函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）图象上有两点（a，m），（2a+1，n）．若m＜n，则a的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）求值：﹣（﹣1）0+（﹣2）﹣3﹣9tan30°．
16．（6分）甲和乙利用盒子里的三张卡片做游戏，卡片上分别写有A、A、B，这些卡片除了字母外完全相同，从中随机摸出一张卡片记下字母，放回盒子后充分搅匀，再从中随机摸出一张卡片记下字母．如果两次摸到的卡片字母相同则甲获胜，否则乙获胜．请用画树状图或列表的方法求甲获胜的概率．
17．（6分）甲、乙两地相距50km，A骑自行车从甲地到乙地，出发3小时20分钟后，B骑摩托车也从甲地去乙地．已知B的速度是A的速度的3倍，结果两人同时到达乙地．求A、B两人的速度．
18．（7分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E在边AD上，且AE＝ED．过点E作EF⊥EO，交边AB于点F，过点O作OG∥EF，交边AB于点G．
（1）求证：四边形OEFG是矩形．
（2）若tan∠DAB＝，且四边形OEFG的面积为40，则AD的长为 ．
19．（7分）图①、图②均是4x4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中按要求．作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．
要求：（1）在图①中的线段CD上找一点P，使AP+BP的值最小．
（2）在图②中的线段CD．上找两点M、N，使MN＝1，且AM+NB的值最小．
20．（7分）2021年2月28日国家统计局发布了《2020年国民经济和社会发展统计公报》，如图是公报中发布的全国“2016﹣2020年快递业务量及其增长速度”统计图．
（1）2020年，全国快递业务量是 亿件，比2019年增长了 %．
（2）2016﹣2020年，全国快递业务量增长速度的中位数是 %．
（3）小东看了统计图后说：“图中表示2017﹣2019年增长速度的折线呈下降趋势，说明2017﹣2019年全国快递业务量逐年减少．”小东的说法正确吗？请说明理由．
（4）预计2021年全国快递业务量比2020年增长50%，则2021年的全国快递业务量为 亿件．（保留小数点后一位）
21．（8分）某天，甲组工人为灾区加工棉衣，工作中有一次停产检修机器，然后继续加工，由于任务紧急，乙组工人加入与甲组工人一起加工棉衣，甲停产前后各保持匀速生产，乙在工作时间内保持匀速生产，两组各自加工棉衣的数量y（件）与甲组工人加工时间x（小时）的函数图象如图所示．
（1）求乙组加工棉衣的数量y与时间x之间的函数关系式；
（2）直接写出甲组加工棉衣总量a的值．
（3）如果要求x＝8时，加工棉衣的总数量为480件，求乙组工人应提前多长时间加工棉衣．
22．（9分）[问题原型]
有这样一道问题：如图①；在△ABC中，∠BCA＝2∠A，BD为边AC上的中线，且BC＝AC．求证：△BCD为等边三角形．小聪同学的解决办法是：延长AC至点E，使CE＝BC，如图②，利用二倍角的条件构造等腰三角形进而解决问题．
[解决问题]请你利用小聪的办法解决此问题．
[应用拓展]如图③，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB．若AB＝3，BC＝5，则AC的长为 ．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6；AC＝8，D为边BC的中点，E为边AC的中点．点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动，到点B停止，以PD、PE为边作▱PEFD．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）证明▱PEFD的面积是定值，并直接写出这个定值．
（2）当▱PEFD是矩形时，求此时AP的长．
（3）当▱PEFD的一条对角线和△ABC的一边垂直时，直接写出此时t的值．
24．（12分）将函数y＝x2﹣ax+a（x≤a）的图象记为图象G．
（1）设图象G最低点为M，求点M的坐标（用含a的式子表示）．
（2）当图象G和x轴有且只有一个公共点时，直接写出a的取值范围．
（3）矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，且边均垂直于坐标轴，其中点A的坐标为（2，1﹣a）．
①当图象G在矩形ABCD内部（包括边界）对应的函数值y随x的增大而逐渐减小时，设此时图象G在矩形ABCD内部（包括边界）的最高点纵坐标和最低点纵坐标的差为l，求l与a之间的函数关系式．
②当图象G和矩形ABCD的边有公共点时，设公共点为点P（当存在多个公共点时，设其中一个为P）．若直线AP将矩形ABCD分成两部分图形的面积比为1：5，直接写出此时点P的坐标．
2021年吉林省长春市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）最大的负整数是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在
【分析】根据负整数的概念和有理数的大小进行判断．
【解答】解：负整数是负数且是整数，即最大的负整数是﹣1．
故选：C．
2．（3分）“中国疫苗，助力全球战疫”，据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产量将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2×108 B．2×109 C．2×1010 D．20×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：20亿＝2000000000＝2×109，
故选：B．
3．（3分）如图，点A，B是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A，B两点间的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】连接AB，根据Rt△ABC和勾股定理可得出AB两点间的距离．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，
可得：AB＝，
故选：B．
4．（3分）一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地60km，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？设车速是xkm/h．根据题意可列不等式（ ）
A．60＜x B． C． D．40x＜60
【分析】根据题意得出行驶的时间，利用总路程÷总时间＝平均速度进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：11：20到12：00是小时，
则x＞，
即 60＜x．
故选：A．
5．（3分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4．
故选：A．
6．（3分）要判断命题“有两个角是直角的圆内接四边形是矩形”是假命题，下列图形可作为反例的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据矩形的性质举出反例即可得出答案．
【解答】解：如图D所示，有两个角是直角的圆内接四边形不一定是矩形，
故选：D．
7．（3分）如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（ ）
A．（m2） B．（m2）
C．1600sina（m2） D．1600cosα（m2）
【分析】依题意四边形为菱形，α的对边AC即为菱形的高，等于40米，菱形边长可利用正弦解出，得出高和底，运用面积公式可解．
【解答】解：如图，α的对边AC即为路宽40米，
即sinα＝，
即斜边＝，
又∵这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）是菱形，
∴路面面积＝底边×高＝×40＝．
故选：A．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数y＝﹣的图象上，以AB为边向右作等边三角形ABC．若点C在函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】连接CO，作AD⊥x轴，CE⊥x轴于点D，E，通过一线三直角模型可得△ADO∽△OEC，从而通过面积比等于相似比平方求出△OEC的面积而求出k．
【解答】解：连接CO，作AD⊥x轴，CE⊥x轴于点D，E，
∵A、B关于原点成中心对称，△ABC为等边三角形，
∴AO＝BO，CO⊥AB，CO平分∠ACB，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠COE＝∠OAD，
又∵∠ADO＝∠CEO＝90°，
∴△ADO∽△OEC，
∵∠ACO＝ACB＝30°，
∴tan∠ACO＝＝，
∴S△ADO：S△OEC＝（）2＝．
∵点A在函数y＝﹣的图象上，
∴S△ADO＝＝1，
∴S△OEC＝＝3S△ADO＝3，
∴k＝6．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共1.8分）
9．（3分）因式分解：5x2﹣2x＝ x（5x﹣2） ．
【分析】提取公因式x即可得．
【解答】解：5x2﹣2x＝x（5x﹣2），
故答案为：x（5x﹣2）．
10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值 0 ．（写出一个即可）
【分析】先根据判别式的意义得到△＝（﹣1）2﹣4m＞0，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣1）2﹣4m＞0，
解得m＜，
所以当m取0时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为0．
11．（3分）如图，正六边形ABCDEF经过位似变换得到正六边形A'B'C'D'E'F'．若AB＝3，B'C'＝1，则正六边形A'B'C'D'E'F'和正六边形ABCDEF的面积比是 1：9 ．
【分析】利用相似多边形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF是由正六边形A′B′C′D′E′F′经过位似变换得到的，
∴正六边形ABCDEF∽正六边形A′B′C′D′E′F′，
∴正六边形A′B′C′D′E′F′和正六边形ABCDEF的面积比＝（）2＝1：9．
故答案为：1：9．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝58°，AC＝18，点D为边AC的中点．以点B为圆心，BD为半径画圆弧，交边BC于点E，则图中阴影部分图形的面积为 π ．
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到BD＝CD＝9，则∠DBC＝∠C＝22°，然后根据扇形的面积公式计算．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，
∴BD＝CD＝AC＝9，
∴∠DBC＝∠C，
∵∠C＝90°﹣∠A＝90°﹣58°＝32°，
∴∠DBE＝32°，
∴图中阴影部分图形的面积＝＝π．
故答案为π．
13．（3分）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：
①连接AB和BC；
②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C；
③以点O为圆心，OA为半径作⊙O；
④分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O．
正确操作步骤的排列序号为 ②①④③ ．
【分析】根据垂径定理解决问题即可．
【解答】解：正确操作步骤的排列序号为：②①④③．
故答案为：②①④③．
14．（3分）函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）图象上有两点（a，m），（2a+1，n）．若m＜n，则a的取值范围为 a＞ ．
【分析】由m＜n，图象开口向上可判断点点（a，m）到对称轴的距离小于点（2a+1，n）到对称轴的距离，分类讨论a＜1与a≥1求解．
【解答】解：函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为直线x＝1，图象开口向上，
∵m＜n，
∴点（a，m）到对称轴的距离小于点（2a+1，n）到对称轴的距离，
当0＜a≤1时，1﹣a＜2a+1﹣1满足题意，
解得a＞，
当a≥1时，2a+1＞a≥1恒成立，
∴a≥1满足条件．
故答案为：a＞．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）求值：﹣（﹣1）0+（﹣2）﹣3﹣9tan30°．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：﹣（﹣1）0+（﹣2）﹣3﹣9tan30°
＝3﹣1﹣﹣9×
＝3﹣﹣3
＝﹣．
16．（6分）甲和乙利用盒子里的三张卡片做游戏，卡片上分别写有A、A、B，这些卡片除了字母外完全相同，从中随机摸出一张卡片记下字母，放回盒子后充分搅匀，再从中随机摸出一张卡片记下字母．如果两次摸到的卡片字母相同则甲获胜，否则乙获胜．请用画树状图或列表的方法求甲获胜的概率．
【分析】根据题意列出图表得出所有出现的可能性，再计算出甲获胜的概率．
【解答】解：两次摸出卡片所有可能出现的结果如下表所示：
A
A
B
A
（A，A）
（A，A）
（A，B）
A
（A，A）
（A，A）
（A，B）
B
（B，A）
（B，A）
（B，B）
两次摸卡片的所有可能出现的结果有9个，且每个结果发生的可能性都相等，
其中出现“两次摸到的卡片字母相同”的结果有5个，“两次摸到的卡片字母不相同”的结果有4个，
∴甲获胜的概率为．
17．（6分）甲、乙两地相距50km，A骑自行车从甲地到乙地，出发3小时20分钟后，B骑摩托车也从甲地去乙地．已知B的速度是A的速度的3倍，结果两人同时到达乙地．求A、B两人的速度．
【分析】本题中有两个相等关系：“B的速度是A的速度的3倍”以及“B比A少用3小时20分钟”；根据等量关系可列方程．
【解答】解：设A的速度为xkm/时，则B的速度为3xkm/时．
根据题意得方程：．
解得：x＝10．
经检验：x＝10是原方程的根．
∴3x＝30．
答：A，B两人的速度分别为10km/时、30km/时．
18．（7分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E在边AD上，且AE＝ED．过点E作EF⊥EO，交边AB于点F，过点O作OG∥EF，交边AB于点G．
（1）求证：四边形OEFG是矩形．
（2）若tan∠DAB＝，且四边形OEFG的面积为40，则AD的长为 10 ．
【分析】（1）由是菱形的性质推出∠OAD＝∠OAB，AC⊥BD，由直角三角形斜边中线的性质得到OE＝AE，根据等腰三角形的性质得到∠OAE＝∠AOE，进而推出∠AOE＝∠OAB，根据平行线的性质得到OE∥FG，由平行四边形的判定得到四边形OEFG是平行四边形，即可证得四边形OEFG是矩形；
（2）设EF＝4x，AF＝3x，由勾股定理得AE＝5x，可得OE＝AE＝5x，由矩形的面积可求得x，进而可求得AD．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠OAD＝∠OAB，AC⊥BD，
∵AE＝ED．
∴OE＝AE＝AD，
∴∠OAE＝∠AOE，
∴∠AOE＝∠OAB，
∴OE∥AB，
∴OE∥FG，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥EO，
∴∠OEF﹣90°，
∴四边形OEFG是矩形；
（2）解：∵四边形OEFG是矩形，
∴∠AFE＝∠EFG＝90°，
∴tan∠DAB＝＝，
设EF＝4x，AF＝3x，
由勾股定理得AE＝5x，
由（1）知OE＝AE＝5x，
∵矩形OEFG的面积为40，
∴OE•EF＝40，
∴5x•4x＝40，
∴x＝，
∴AD＝2AE＝2×5x＝10，
故答案为：10．
19．（7分）图①、图②均是4x4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中按要求．作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．
要求：（1）在图①中的线段CD上找一点P，使AP+BP的值最小．
（2）在图②中的线段CD．上找两点M、N，使MN＝1，且AM+NB的值最小．
【分析】（1）作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于点P，连接PA，点P即为所求作．
（2）取格点E，使得AE＝1，AE∥CD，作点E关于CD的对称点E′，连接E′B交CD于N，作MN＝1，连接AM，即可．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求作．
（2）如图，点M，N即为所求作．
20．（7分）2021年2月28日国家统计局发布了《2020年国民经济和社会发展统计公报》，如图是公报中发布的全国“2016﹣2020年快递业务量及其增长速度”统计图．
（1）2020年，全国快递业务量是 833.6 亿件，比2019年增长了 31.2 %．
（2）2016﹣2020年，全国快递业务量增长速度的中位数是 28.0 %．
（3）小东看了统计图后说：“图中表示2017﹣2019年增长速度的折线呈下降趋势，说明2017﹣2019年全国快递业务量逐年减少．”小东的说法正确吗？请说明理由．
（4）预计2021年全国快递业务量比2020年增长50%，则2021年的全国快递业务量为 1250.4 亿件．（保留小数点后一位）
【分析】（1）由统计图中的信息即可得到结论；
（2）由统计图中的信息即可得到结论；
（3）根据统计图中的信息即可得到结论；
（4）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）由题中的统计图可得：2020年，全国快递业务量是833.6亿件，比2019年增长了31.2%；
故答案为：833.6；31.2；
（2）由题中的统计图可得：2016﹣2020年，全国快递业务量增长速度的中位数是28.0%；
故答案为：28.0%；
（3）不正确，理由：由图中的信息可得，2017﹣2019年全国快递业务量增长速度逐年放缓，但是快递业务量却逐年增加；
（4）833.6×（1+50%）＝1250.4（亿件），
∴2021年的快递业务量为1250.4亿件．
故答案为：1250.4．
21．（8分）某天，甲组工人为灾区加工棉衣，工作中有一次停产检修机器，然后继续加工，由于任务紧急，乙组工人加入与甲组工人一起加工棉衣，甲停产前后各保持匀速生产，乙在工作时间内保持匀速生产，两组各自加工棉衣的数量y（件）与甲组工人加工时间x（小时）的函数图象如图所示．
（1）求乙组加工棉衣的数量y与时间x之间的函数关系式；
（2）直接写出甲组加工棉衣总量a的值．
（3）如果要求x＝8时，加工棉衣的总数量为480件，求乙组工人应提前多长时间加工棉衣．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出4≤x≤8时，甲组加工棉衣的数量y与时间x之间的函数关系式，把x＝8代入函数的解析式即可得到结论；
（3）根据题意列算式即可得到结论．
【解答】解：（1）设y乙＝kx+b（k≠0），
将（4.5，0），（8，252）代入得：
，
解得，
∴y乙＝72x﹣324；
（2）把x＝7代入y乙＝72x﹣324，得y乙＝72×7﹣324＝180，
当4≤x≤8时，设甲组加工棉衣的数量y与时间x之间的函数关系式为y甲＝mx+n，
将（7，180），（4，90）代入得：
，
解得，
∴y甲＝30x﹣30（4≤x≤8），
将x＝8代入，得y甲＝30×8﹣30＝210，
即a＝210；
（3）由图象可知，乙组工人加工252件棉衣所用时间为：8﹣4.5＝3.5（小时），
∴乙的加工速度为：252÷3.5＝72（件/小时），
∵480﹣210＝270（件），270÷72＝3.75（小时），
∴3.75﹣3.5＝0.25（小时），
即乙组工人应提前0.25小时加工棉衣．
22．（9分）[问题原型]
有这样一道问题：如图①；在△ABC中，∠BCA＝2∠A，BD为边AC上的中线，且BC＝AC．求证：△BCD为等边三角形．小聪同学的解决办法是：延长AC至点E，使CE＝BC，如图②，利用二倍角的条件构造等腰三角形进而解决问题．
[解决问题]请你利用小聪的办法解决此问题．
[应用拓展]如图③，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB．若AB＝3，BC＝5，则AC的长为 2 ．
【分析】（1）延长AC至点E，使CE＝BC，连接BE，根据BD为边AC上的中线，且BC＝AC，可得出AD＝CD＝BC，再由∠BCA＝2∠A，可得∠A＝∠E，AB＝BE，即可证明△BAC和△BED，进而可证得结论；
（2）延长CB至F，使BF＝AB，连接AF，过点A作AG⊥BC于点G，根据∠ABC＝2∠ACB，可得出∠F＝∠ACB，AF＝AC，再应用等腰三角形性质及勾股定理即可．
【解答】解：（1）如图②，延长AC至点E，使CE＝BC，连接BE，
∵BD为边AC上的中线，
∴AD＝CD＝AC，
∵BC＝AC，
∴AD＝CD＝BC，
∵BC＝CE，
∴∠E＝∠CBE，AC＝DE，
∵∠BCA＝∠E+∠CBE，
∴∠BCA＝2∠E，
∵∠BCA＝2∠A，
∴∠A＝∠E，
∴AB＝BE，
在△BAC和△BED中，
，
∴△BAC≌△BED（SAS），
∴BD＝BC，
∵BC＝CD，
∴BD＝BC＝CD，
∴△BCD为等边三角形．
（2）如图③，延长CB至F，使BF＝AB，连接AF，过点A作AG⊥BC于点G，
∵BF＝AB＝3，BC＝5，
∴∠F＝∠BAF，
∵∠ABC＝∠F+∠BAF，
∴∠ABC＝2∠F，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠F＝∠ACB，
∴AF＝AC，
∵AG⊥BC，
∴CG＝FG＝（BC+BF）＝4，
∴BG＝BC﹣CG＝1，
∴AG＝＝＝2，
∴AC＝＝＝2．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6；AC＝8，D为边BC的中点，E为边AC的中点．点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动，到点B停止，以PD、PE为边作▱PEFD．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）证明▱PEFD的面积是定值，并直接写出这个定值．
（2）当▱PEFD是矩形时，求此时AP的长．
（3）当▱PEFD的一条对角线和△ABC的一边垂直时，直接写出此时t的值．
【分析】（1）连接DE，作EG垂直于AB与点G，分别求出GE，DE长度求解．
（2）构造一线三垂直相似模型，由相似比及含t代数式求解．
（3）分类讨论PF垂直于三边三种情况，通过解直角三角形求解．
【解答】解：（1）连接DE，作EG垂直于AB与点G，
由勾股定理得AB＝＝10，
∵点D、E为BC、AC中点，
∴DE∥AB，DE＝AB＝5，AE＝AC＝4，
∵sinA＝＝，
∴GE＝AE＝，
∴S△DEP＝DE•EG＝×5×＝6，
∴▱PEFD的面积为2S△DEP＝2×6＝12．
（2）①如图，当点P为AB中点时，PD，PE分别为△ABC的中位线，PD⊥PE，
∴▱PDEF为矩形，
∴AP＝AB＝5．
②如图，当∠DPE为直角时，作EG、DH垂直于AB于点G、H，
∵∠DPH+∠EPG＝90°，∠DPH+∠HDP＝90°，
∴△EGP∽△PHD，
∴＝，
∵D为BC中点，
∴BD＝BC＝3，
∵tanA＝＝＝，
∴AG＝GE＝，
∵sinB＝＝＝，tanB＝＝＝，
∴HD＝BD＝，BH＝HD＝，
∴GP＝AP﹣AG＝5t﹣，PH＝AH﹣AP＝AB﹣BH﹣AP＝10﹣﹣5t＝﹣5t．
∴＝，
解得t＝或t＝1（舍），
∴AP＝5t＝．
综上所述，AP＝5或．
（3）①当PF⊥AB时，PF⊥DE，
∴四边形PDFE为菱形，
∴PD2＝PE2，
∴PH2+HD2＝PG2+GE2，
即（﹣5t）2+（）2＝（5t﹣）2+（）2，
∴﹣5t＝5t﹣，
解得t＝．
②当PF⊥BC时，PF交DE于点O，交CD于点K，
∵O为DE中点，OK∥EC，
∴OK为△EDC的中位线，
∴DK＝CD＝3，
∵BK＝BP＝6﹣3t，
∴DK＝6﹣3t﹣3＝3﹣3t，
∴3＝3﹣3t，
解得t＝．
③当PF⊥AC时，交AC于点M，同理可得M为EC中点，
∴AM＝AE+EC＝AC＝6，
∴AP＝AM＝，
∴5t＝，
解得t＝．
综上所述，t＝或或．
24．（12分）将函数y＝x2﹣ax+a（x≤a）的图象记为图象G．
（1）设图象G最低点为M，求点M的坐标（用含a的式子表示）．
（2）当图象G和x轴有且只有一个公共点时，直接写出a的取值范围．
（3）矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，且边均垂直于坐标轴，其中点A的坐标为（2，1﹣a）．
①当图象G在矩形ABCD内部（包括边界）对应的函数值y随x的增大而逐渐减小时，设此时图象G在矩形ABCD内部（包括边界）的最高点纵坐标和最低点纵坐标的差为l，求l与a之间的函数关系式．
②当图象G和矩形ABCD的边有公共点时，设公共点为点P（当存在多个公共点时，设其中一个为P）．若直线AP将矩形ABCD分成两部分图形的面积比为1：5，直接写出此时点P的坐标．
【分析】（1）分类讨论图象最低点为顶点或抛物线与直线x＝a的交点两种情况．
（2）分类讨论完整抛物线与x轴有一个交点和两个交点的情况求解．
（3）利用数形结合方法，分类讨论抛物线顶点在矩形内部与外部两种情况．
（4）由AP将矩形面积分为1：5两部分可得点P将矩形边长分为1：2两部分，然后分类讨论点A在x轴上方与点A在x轴下方两种情况．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣ax+a＝（x﹣）2﹣+a（x≤a），
∴当≤a时，最低点为图象顶点，
即a≥0时，点M坐标为（，﹣+a），
当＞a时，a＜0，
最低点为抛物线与直线x＝a的交点M（a，a）．
（2）当抛物线y＝x2﹣ax+a＝（x﹣）2﹣+a与x轴有两个交点时，
﹣+a＜0，解得a＜0或a＞4，
当a＜0时，抛物线与直线x＝a交点（a，a）在x轴下方满足题意，
当a＞4时，抛物线与直线x＝a交点（a，a）在x轴上方不满足题意．
∴a＜0．
当抛物线与x轴有一个交点时，﹣+a＝0，
解得a＝0或a＝4，
抛物线与直线x＝a交点（a，a）在x轴上或x轴上方，满足题意．
综上所述，a≤0或a＝4．
（3）①抛物线y＝x2﹣ax+a经过定点（1，1），点A坐标为（2，1﹣a），点B坐标为（2，a﹣1），
当a≥0时，直线x＝a在顶点右侧，当图象G在矩形内部对应的函数值y随x的增大而逐渐减小时，
≥xA，即2，
解得a≥4，
∴a﹣1≥3满足题意．
∴图象与矩形最高点纵坐标为yB＝a﹣1，最低点纵坐标为抛物线与直线x＝2交点纵坐标，y＝4﹣a，
∴l＝a﹣1﹣（4﹣a）＝2a﹣5．
当﹣2＜a≤时，﹣2＜a≤0满足题意，此时图象最低点为（a，a）
抛物线与直线x＝﹣2交点为（﹣2，3a+4）
当3a+4≥1﹣a时，a≥﹣，此时抛物线与矩形交点最高点纵坐标为1﹣a，
∴l＝1﹣a﹣a＝1﹣2a．
当3a+4＜1﹣a时，a＜﹣，抛物线与矩形交点最高点纵坐标为3a+4，
∴l＝3a+4﹣a＝2a+4．
综上所述，l＝．
（4）当点P将正方形边长分成1：2两部分时满足题意，
如图，当DP：PC＝1：2时，＝＝，
解得a＝﹣，
∴3a+4＝，
∴点P坐标为（﹣2，）．
当点P将BC分成1：2两部分时，＝，
∵BC＝4，
∴BP＝，
∵2﹣＝，
∴点P坐标为（，a﹣1），
将（，a﹣1）代入解析式得：
a﹣1＝﹣a+a，
解得a＝，
∴点P坐标为（，）．
综上所述，点P坐标为（﹣2，）或（，）．
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