2021年福建中考数学模拟卷终极版

这是一份2021年福建中考数学模拟卷终极版，共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年福建中考数学模拟卷终极版
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣4=0的一个根是0，则m的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．2或﹣2
2．用配方法解方程x2﹣8x+3=0，下列变形正确的是（　　）
A．（x+4）2=13 B．（x﹣4）2=19
C．（x﹣4）2=13 D．（x+4）2=19
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（　　）

A．CM=DM B．OM=MB
C．BC=BD D．∠ACD=∠ADC
4．下列一元二次方程有实数根的是（　　）
A．x2﹣2x﹣2=0 B．x2+2x+2=0
C．x2﹣2x+2=0 D．x2+2=0
5．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k＞1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＞1且k≠2 D．k＜1
　
6．观察如下图形，它们是按一定规律排列的，依照次规律，第n的图形中共有210个小棋子，则n等于（　　）
A．20 B．21 C．15 D．16
7．若点（﹣1，4），（3，4）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则此抛物线的对称轴是（　　）
A．直线x=﹣ B．直线x=1 C．直线x=3 D．直线x=2
8．如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为（0，4），点M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙O的半径为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．2
9．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，∠ACB的平方线交⊙O于点D，若AB=10，AC=6，则CD的长为（　　）

A．7 B．7 C．8 D．8
　
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a的取值范围为（　　）

A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜ C．0＜a＜ D．＜a＜
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．抛物线y=﹣（x+3）2+1的顶点坐标是　　　　　　．
12．已知ab≠0，且a2﹣3ab﹣4b2=0，则的值为　　　　　　．
13．已知关于x的方程a（x+m）2+c=0（a，m，c均为常数，a≠0）的根是x1=﹣3，x2=2，则方程a（x+m﹣1）2+c=0的根是　　　　　　．
14．如图，AB，AC是⊙O，D是CA延长线上的一点，AD=AB，∠BDC=25°，则∠BOC=　　　　　　．

　
15．已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，AB=AC，⊙O的半径等于10cm，圆心O到BC的距离为6cm，则AB的长等于　　　　　　．
16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）两点，点M（x0，y0）是图象上另一点，且x0＞1．现有以下结论：①abc＞0；②b＜2a；③a+b+c＞0；④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0．
其中正确的结论是　　　　　　．（只填写正确结论的序号）

三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+2x﹣15=0
（2）3x（x﹣2）=（2﹣x）
　






18．（8分）已知抛物线的顶点是（4，2），且在x轴上截得的线段长为8，求此抛物线的解析式．
　








19．（8分）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求m2+n2的值．
　






20．（8分）为响应党中央提出的“足球进校园”号召，我市在今年秋季确定了3所学校为我市秋季确定3所学校诶我市足球基地实验学校，并在全市开展了中小学足球比赛，比赛采用单循环制，即组内每两队之间进行一场比赛，若初中组共进行45场比赛，问初中共有多少个队参加比赛？
　







21．（8分）如图，在⊙O中， =，∠ACB=60°．
（1）求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC；
（2）若D是的中点，求证：四边形OADB是菱形．

　






22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，且BC=8，当△ABC为等腰三角形时，求m的值．
　







23．（10分）如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若正方形ABCD的边长为10，求⊙O的半径．

　










24．（12分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？
　

















25．（14分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

　
　
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣4=0的一个根是0，则m的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．2或﹣2
【考点】一元二次方程的解．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值．
【解答】解：把x=0代入方程程x2+x+m2﹣4=0得到m2﹣4=0，
解得：m=±2，
故选D．
【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念．
　
2．用配方法解方程x2﹣8x+3=0，下列变形正确的是（　　）
A．（x+4）2=13 B．（x﹣4）2=19 C．（x﹣4）2=13 D．（x+4）2=19
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【解答】解：x2﹣8x=﹣3，
x2﹣8x+16=13，
（x﹣4）2=13．
故选C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
　
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（　　）

A．CM=DM B．OM=MB C．BC=BD D．∠ACD=∠ADC
【考点】垂径定理．
【分析】先根据垂径定理得CM=DM，，，得出BC=BD，再根据圆周角定理得到∠ACD=∠ADC，而OM与BM的关系不能判断．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM=DM，，，
∴BC=BD，∠ACD=∠ADC．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系定理，圆周角定理；熟练掌握垂径定理，由垂径定理得出相等的弧是解决问题的关键．
　
4．下列一元二次方程有实数根的是（　　）
A．x2﹣2x﹣2=0 B．x2+2x+2=0 C．x2﹣2x+2=0 D．x2+2=0
【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根判断即可．
【解答】解：A、∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＞0，
∴原方程有两个不相等实数根；
B、∵△=22﹣4×1×2＜0，
∴原方程无实数根；
C、∵△=（﹣2）2﹣4×1×2＜0，
∴原方程无实数根；
D、∵△=﹣4×1×2＜0，
∴原方程无实数根；
故选A．
【点评】此题考查了根的判别式与方程解的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解．
　
5．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k＞1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＞1且k≠2 D．k＜1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，可得出判别式大于0，再求得k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4+4（k﹣2）＞0，
解得k＞﹣1，
∵k﹣2≠0，
∴k≠2，
∴k的取值范围k＞﹣1且k≠2，
故选C．
【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
　
6．观察如下图形，它们是按一定规律排列的，依照次规律，第n的图形中共有210个小棋子，则n等于（　　）
A．20 B．21 C．15 D．16
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】由题意可知：排列组成的图形都是三角形，第一个图形中有1个小棋子，第二个图形中有1+2=3个小棋子，第三个图形中有1+2+3=6个小棋子，…由此得出第n个图形共有1+2+3+4+…+n=n（n+1），由此联立方程求得n的数值即可．
【解答】解：∵第一个图形中有1个小棋子，
第二个图形中有1+2=3个小棋子，
第三个图形中有1+2+3=6个小棋子，
…
∴第n个图形共有1+2+3+4+…+n=n（n+1），
∴n（n+1）=210，
解得：n=20．
故选：A．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出点的排列规律，利用规律解决问题．
　
7．若点（﹣1，4），（3，4）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则此抛物线的对称轴是（　　）
A．直线x=﹣ B．直线x=1 C．直线x=3 D．直线x=2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】因为两点的纵坐标都为4，所以可判此两点是一对对称点，利用公式x=求解即可．
【解答】解：∵两点的纵坐标都为4，
∴此两点是一对对称点，
∴对称轴x===1．
故选B．
【点评】本题考查了如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式或用公式x=求解．
　
8．如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为（0，4），点M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙O的半径为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．2
【考点】圆内接四边形的性质；含30度角的直角三角形；圆周角定理．
【分析】连接OC，由圆周角定理可知AB为⊙C的直径，再根据∠BMO=120°可求出∠BAO的度数，证明△AOC是等边三角形，即可得出结果．
【解答】解：连接OC，如图所示：
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙C的直径，
∵∠BMO=120°，
∴∠BCO=120°，∠BAO=60°，
∵AC=OC，∠BAO=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴⊙C的半径=OA=4．
故选：A．

【点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握圆内接四边形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
　
9．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，∠ACB的平方线交⊙O于点D，若AB=10，AC=6，则CD的长为（　　）

A．7 B．7 C．8 D．8
【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD．
【解答】解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴DF=DG，弧AD=弧BD，
∴DA=DB．
在Rt△AFD和Rt△BGD中，
，
∴△AFD≌△BGD（HL），
∴AF=BG．
在△CDF和△CDG中，
，
∴△CDF≌△CDG（AAS），
∴CF=CG．
∵AC=6，AB=10，
∴BC==8，
∴AF=1，
∴CF=7，
∵△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=7．
故选B．

【点评】本题主要考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性质等知识点的运用．关键是正确作出辅助线．
　
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a的取值范围为（　　）

A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜ C．0＜a＜ D．＜a＜
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据开口判断a的符号，根据y轴的交点判断c的符号，根据对称轴b用a表示出的代数式，进而根据当x=2时，得出4a+2b+c=0，用a表示c＞﹣1得出答案即可．
【解答】解：抛物线开口向上，a＞0
图象过点（2，4），4a+2b+c=4
则c=4﹣4a﹣2b，
对称轴x=﹣=﹣1，b=2a，
图象与y轴的交点﹣1＜c＜0，
因此﹣1＜4﹣4a﹣4a＜0，
实数a的取值范围是＜a＜．
故选：D．
【点评】此题考查二次函数图象与系数的关系，对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．
　
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．抛物线y=﹣（x+3）2+1的顶点坐标是　（﹣3，1）　．
【考点】二次函数的性质．
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y=﹣（x+3）2+1，
∴顶点坐标是（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
【点评】此题考查二次函数的性质，掌握顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，是解决问题的关键．
　
12．已知ab≠0，且a2﹣3ab﹣4b2=0，则的值为　﹣1或4　．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】把a2﹣3ab﹣4b2=0看作关于a的一元二次方程，利用因式分解法解得a=4b或a=﹣b，然后利用分式的性质计算的值．
【解答】解：（a﹣4b）（a+b）=0，
a﹣4b=0或a+b=0，
所以a=4b或a=﹣b，
当a=4b时， =4；
当a=﹣b时， =﹣1，
所以的值为﹣1或4．
故答案为﹣1或4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
　
13．已知关于x的方程a（x+m）2+c=0（a，m，c均为常数，a≠0）的根是x1=﹣3，x2=2，则方程a（x+m﹣1）2+c=0的根是　x1=﹣2，x2=3　．
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】把后面一个方程中的x﹣1看作整体，相当于前面一个方程中的x，从而可得x﹣1=﹣3或x﹣1=2，再求解即可．
【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+c=0的解是x1=﹣3，x2=2（a，m，c均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m﹣1）2+c=0变形为a[（x﹣1）+m]2+c=0，即此方程中x﹣1=﹣3或x﹣1=2，
解得x=﹣2或x=3．
故方程a（x+m﹣1）2+c=0的解为x1=﹣2，x2=3．
故答案是：x1=﹣2，x2=3．
【点评】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
　
14．如图，AB，AC是⊙O，D是CA延长线上的一点，AD=AB，∠BDC=25°，则∠BOC=　100°　．

【考点】圆周角定理．
【分析】由AD=AB，∠BDC=25°，可求得∠ABD的度数，然后由三角形外角的性质，求得∠BAC的度数，又由圆周角定理，求得答案．
【解答】解：∵AD=AB，∠BDC=25°，
∴∠ABD=∠BDC=25°，
∴∠BAC=∠ABD+∠BDC=50°，
∴∠BOC=2∠BAC=100°．
故答案为：100°．
【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
　
15．已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，AB=AC，⊙O的半径等于10cm，圆心O到BC的距离为6cm，则AB的长等于　8或4　．
【考点】垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】分类讨论．
【分析】此题分情况考虑：当三角形的外心在三角形的内部时，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理求得AB的长；当三角形的外心在三角形的外部时，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理求得AB的长．
【解答】解：如图1，当△ABC是锐角三角形时，连接AO并延长到BC于点D，
∵AB=AC，O为外心，
∴AD⊥BC，
在Rt△BOD中，
∵OB=10，OD=6，
∴BD===8．
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB===8（cm）；
如图2，当△ABC是钝角或直角三角形时，连接AO交BC于点D，
在Rt△BOD中，
∵OB=10，OD=6，
∴BD===8，
∴AD=10﹣6=4，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB===4（cm）．
故答案为：8或4．

【点评】本题考查的是垂径定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
　
16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）两点，点M（x0，y0）是图象上另一点，且x0＞1．现有以下结论：①abc＞0；②b＜2a；③a+b+c＞0；④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0．
其中正确的结论是　①、④　．（只填写正确结论的序号）

【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】推理填空题；数形结合．
【分析】由抛物线的开口方向可确定a的符号，由抛物线的对称轴相对于y轴的位置可得a与b之间的符号关系，由抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号；根据抛物线的对称轴与x=﹣1的大小关系可推出2a﹣b的符号；由于x=1时y=a+b+c，因而结合图象，可根据x=1时y的符号来确定a+b+c的符号，根据a、x0﹣x1、x0﹣x2的符号可确定a（x0﹣x1）（x0﹣x2）的符号．
【解答】解：由抛物线的开口向下可得a＜0，
由抛物线的对称轴在y轴的左边可得x=﹣＜0，则a与b同号，因而b＜0，
由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可得c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
由抛物线的对称轴x=﹣＞﹣1（a＜0），可得﹣b＜﹣2a，即b＞2a，故②错误；
由图可知当x=1时y＜0，即a+b+c＜0，故③错误；
∵a＜0，x0﹣x1＞0，x0﹣x2＞0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，故④正确．
综上所述：①、④正确．
故答案为①、④．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，其中a决定于抛物线的开口方向，b决定于抛物线的开口方向及抛物线的对称轴相对于y轴的位置，c决定于抛物线与y轴的交点位置，2a与b的大小决定于a的符号及﹣与﹣1的大小关系，运用数形结合的思想准确获取相关信息是解决本题的关键．
　
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．解方程：
（1）x2+2x﹣15=0
（2）3x（x﹣2）=（2﹣x）
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先把方程变形得到3x（x﹣2）+（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（x+5）（x﹣3）=0，
x+5=0或x﹣3=0，
x+5=0或x﹣3=0，
所以x1=﹣5，x2=3；
（2）3x（x﹣2）+（x﹣2）=0，
（x﹣2）（3x+）=0，
x﹣2=0或3x+=0，
所以x1=2，x2=﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
　
18．已知抛物线的顶点是（4，2），且在x轴上截得的线段长为8，求此抛物线的解析式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【专题】计算题．
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的两交点坐标为（0，0），（8，0），则可设交点式y=ax（x﹣8），然后把顶点坐标代入求出a即可．
【解答】解：根据题意得抛物线的对称轴为直线x=4，
而抛物线在x轴上截得的线段长为8，
所以抛物线与x轴的两交点坐标为（0，0），（8，0），
设抛物线解析式为y=ax（x﹣8），
把（4，2）代入得a•4•（﹣4）=2，解得a=﹣，
所以抛物线解析式为y=﹣x（x﹣8），即y=﹣x2+x．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．本题的关键是利用对称性确定抛物线与x轴的交点坐标．
　
19．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求m2+n2的值．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【专题】新定义．
【分析】根据x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，列出方程组，求出m，n的值，再代入计算即可．
【解答】解：根据题意得：

解得：，
则m2+n2=（﹣2）2+12=5．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，关键是根据已知条件列出方程组，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
　
20．为响应党中央提出的“足球进校园”号召，我市在今年秋季确定了3所学校为我市秋季确定3所学校诶我市足球基地实验学校，并在全市开展了中小学足球比赛，比赛采用单循环制，即组内每两队之间进行一场比赛，若初中组共进行45场比赛，问初中共有多少个队参加比赛？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），每个小组x个球队比赛总场数=x（x﹣1），由此可得出方程．
【解答】解：设初中组共有x个队参加比赛，依题意列方程
x（x﹣1）=45，
解得：x1=10，x2=﹣19（不合题意，舍去），
答：初中组共有10个队参加比赛．
【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．
　
21．如图，在⊙O中， =，∠ACB=60°．
（1）求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC；
（2）若D是的中点，求证：四边形OADB是菱形．

【考点】圆心角、弧、弦的关系；菱形的判定；圆周角定理．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系，由=得AB=AC，加上∠ACB=60°，则可判断△ABC是等边三角形，所以AB=BC=CA，于是根据圆心角、弧、弦的关系即可得到∠AOB=∠BOC=∠AOC；
（2）连接OD，如图，由D是的中点得=，则根据圆周角定理得∠AOD=∠BOD=∠ACB=60°，易得△OAD和△OBD都是等边三角形，则OA=AD=OD，OB=BD=OD，所以OA=AD=DB=BO，于是可判断四边形OADB是菱形．
【解答】证明：（1）∵=，
∴AB=AC，
∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC；
（2）连接OD，如图，
∵D是的中点，
∴=，
∴∠AOD=∠BOD=∠ACB=60°，
又∵OD=OA，OD=OB，
∴△OAD和△OBD都是等边三角形，
∴OA=AD=OD，OB=BD=OD，
∴OA=AD=DB=BO，
∴四边形OADB是菱形．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了菱形的判定、等边三角形的判定与性质和圆周角定理．
　
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，且BC=8，当△ABC为等腰三角形时，求m的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系；等腰三角形的性质．
【分析】（1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案；
（2）根据△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，设AB=x1=8，得出82﹣8（2m+1）+m（m+1）=0，求出m的值即可．
【解答】解：（1）∵△=[﹣（2m+1）]2﹣4m（m+1）=1＞0，
∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．

（2）由于无论m为何值，方程恒有两个不等实根，故若要△ABC为等腰三角形，那么必有一个解为8；
设AB=x1=8，则有：
82﹣8（2m+1）+m（m+1）=0，即：m2﹣15m+56=0，
解得：m1=7，m2=8．
则当△ABC为等腰三角形时，m的值为7或8．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
　
23．如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若正方形ABCD的边长为10，求⊙O的半径．

【考点】切线的判定；正方形的性质．
【分析】（1）首先连接OE，并过点O作OF⊥CD，由OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，可得OE=OA，OE⊥BC，然后由AC为正方形ABCD的对角线，根据角平分线的性质，可证得OF=OE=OA，即可判定CD是⊙O的切线；
（2）由正方形ABCD的边长为10，可求得其对角线的长，然后由设OA=r，可得OE=EC=r，由勾股定理求得OC=r，则可得方程r+r=10，继而求得答案．
【解答】（1）证明：连接OE，并过点O作OF⊥CD．
∵BC切⊙O于点E，
∴OE⊥BC，OE=OA，
又∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=∠ACD，
∴OF=OE=OA，
即：CD是⊙O的切线．

（2）解：∵正方形ABCD的边长为10，
∴AB=BC=10，∠B=90°，∠ACB=45°，
∴AC==10，
∵OE⊥BC，
∴OE=EC，
设OA=r，则OE=EC=r，
∴OC==r，
∵OA+OC=AC，
∴r+r=10，
解得：r=20﹣10．
∴⊙O的半径为：20﹣10．

【点评】此题考查了切线的判定、正方形的性质、角平分线的性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
　
24．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？
【考点】二次函数的应用．
【专题】综合题．
【分析】（1）根据题意可知y与x的函数关系式．
（2）根据题意可知y=﹣10﹣（x﹣5.5）2+2402.5，当x=5.5时y有最大值．
（3）设y=2200，解得x的值．然后分情况讨论解．
【解答】解：（1）由题意得：y=（50+x﹣40）
=﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；

（2）由（1）中的y与x的解析式配方得：y=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5．
∵a=﹣10＜0，∴当x=5.5时，y有最大值2402.5．
∵0＜x≤15，且x为整数，
当x=5时，50+x=55，y=2400（元），当x=6时，50+x=56，y=2400（元）
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．

（3）当y=2200时，﹣10x2+110x+2100=2200，解得：x1=1，x2=10．
∴当x=1时，50+x=51，当x=10时，50+x=60．
∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．
当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．
当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，是一道综合题．
　
25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；
（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），
∴，
解得，
所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）∵点A、B关于对称轴对称，
∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，
∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
当x=2时，y=2﹣1=1，
∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；

（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，
联立，
消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，
△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，
解得：m=﹣，
即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，
此时x=，y=﹣=﹣，
∴点E的坐标为（，﹣），
设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），
∴AF=﹣1=，
∵直线AC的解析式为y=x﹣1，
∴∠CAB=45°，
∴点F到AC的距离为AF•sin45°=×=，
又∵AC==3，
∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．

【点评】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．