江西省抚州市临川第一中学2021届高三下学期5月高考模拟考试 数学（理）（含答案）

这是一份江西省抚州市临川第一中学2021届高三下学期5月高考模拟考试 数学（理）（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为（ ）
A．∀x∉R，x2≥0B．∀x∈R，x2＜0C．∃x∈R，x2≥0D．∃x∈R，x2＜0
3．已知集合A＝{1，2}，集合B＝{0，2}，设集合C＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则下列结论中正确的是（ ）
A．A∩C＝∅B．A∪C＝CC．B∩C＝BD．A∪B＝C
4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ）
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行
B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交、平行或异面
C．若m⊥α，l∥α，则直线m与n一定垂直
D．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与n一定平行
5．已知向量，满足||＝1，＝（1，﹣2），且|+|＝2，则cs＜，＞＝（ ）
A．B．C．D．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“bcsA﹣c＜0”是“△ABC为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，且直线x＝﹣（c是双曲线的半焦距）与抛物线y2＝4x的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
A．＝1B．＝1
C．＝1D．＝1
8．《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h．用该术可求得圆率π的近似值．现用该术求得π的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为27，则该圆锥体积的近似值为（ ）
A．B．3C．3D．9
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10.“六艺”源于中国周朝的贵族教育体系,具体包括“礼､乐､射､御､书､数”为弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识竞赛活动,现有六位同学,每位同学准备了六艺”中的一类相关知识,且各不相同,每位同学随机从这六类知识中抽取不同的一项参加回答,则恰有三位同学抽到自己准备的知识的概率为
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
11．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .若存在 SKIPIF 1 < 0 使得不等式
SKIPIF 1 < 0 成立,则实数a的取值范围是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．设a，b∈R，函数f（x）＝若函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点，则（ ）
A．a＜﹣1，b＜0B．a＜﹣1，b＞0C．a＞﹣1，b＜0D．a＞﹣1，b＞0
二、填空题：（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．二项式（﹣）6的展开式中，常数项为 ．
14．已知椭圆C1：＝1与双曲线C2：＝1（m＞0，n＞0）有相同的焦点F1，F2，且两曲线在第一象限的交点为P，若PF2⊥F1F2，且a＝2b，则双曲线C2的离心率为 ．
15．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是 ．
16．一个组合体上部分是一个半球，下部分是一个圆柱，半球的底面与圆柱的上底面重合．若该组合体的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，则当圆柱底面半径 SKIPIF 1 < 0 时，该组合体的表面积最小．
二、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，Sn＝an+1+2．
（Ⅰ）证明：数列{Sn﹣2}为等比数列，并求出Sn；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．
18． 如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，△ABC是边长为2的等边三角形，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
（第18题图）
（第19题图）
（第19题图）
（第19题图）
（第19题图）
（第19题图）
（第19题图）
19． 在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知动点M到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离与到定直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的距离之比为定值 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）过点F作互相垂直的两条直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 交动点M的轨迹E于M，N两点， SKIPIF 1 < 0 交圆D： SKIPIF 1 < 0 于P，Q两点，点R是P，Q的中点，求△ SKIPIF 1 < 0 面积的最小值．
20．某中学的一个高二学生社团打算在开学初组织部分同学打扫校园.该社团通知高二同学自愿报名，由于报名的人数多达50人，于是该社团采用了在报名同学中用抽签的方式来确定打扫校园的人员名单．抽签方式如下：将50名同学编号，通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，然后再次通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，两次都被抽取到的同学打扫校园．
（1）设该校高二年级报名打扫校园的甲同学的编号被抽取到的次数为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的数学期望；
（2）设两次都被抽取到的人数为变量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的可能取值是哪些？其中 SKIPIF 1 < 0 取到哪一个值的可能性最大？请说明理由．
21．已知实数a≠0，设函数f（x）＝alnx+，x＞0．
（Ⅰ）当a＝﹣时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对任意x∈[，+∞）均有f（x）≤，求a的取值范围．
注：e＝2.71828…为自然对数的底数．
选考题： [选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以x轴的非负半轴为极轴，原点O为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线θ＝和θ＝（ρ∈R）分别与曲线C相交于A、B两点（A，B两点异于坐标原点）．
（1）求曲线C的普通方程与A、B两点的极坐标；
（2）求直线AB的极坐标方程及△ABO的面积．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+2|﹣5．
（1）解不等式：f（x）≥|x﹣1|；
（2）当m≥﹣1时，函数g（x）＝f（x）+|x﹣m|的图象与x轴围成一个三角形，求实数m的取值范围．
2021年临川一中高三模拟考试试题
理科数学答案
DDCCBB DDBACC
60 14. 15. [，+∞） 16. SKIPIF 1 < 0
17.【解答】（Ⅰ）证明：由题意，当n＝1时，S1＝a2+2＝×4+2＝4，
根据已知条件，Sn＝an+1+2＝（Sn+1﹣Sn）+2，
整理，得Sn+1＝3Sn﹣4，
两边同时减去2，可得Sn+1﹣2＝3Sn﹣4﹣2＝3（Sn﹣2），
∵S1﹣2＝4﹣2＝2，∴数列{Sn﹣2}是以2为首项，3为公比的等比数列，
∴Sn﹣2＝2•3n﹣1，∴Sn＝2•3n﹣1+2，n∈N*．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当n＝1时，a1＝S1＝4，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2•3n﹣1+2﹣2•3n﹣2﹣2＝4•3n﹣2，
故an＝，∴＝，
当n＝1时，T1＝＝，
当n≥2时，Tn＝+++…+＝++•（）1+…++•（）n﹣2
＝+＝﹣，
∵当n＝1时，T1＝，
∴Tn＝﹣，n∈N*．
18．（1）证明：取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，
∵三棱柱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ．…………………………………………………………………3分
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0 ．……………………………………………………5分
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，……………………………7分
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 两两垂直，
以 SKIPIF 1 < 0 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，……………………………9分
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，……………………………11分
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．………………12分
19．解：（1）设M（x，y），由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，……………2分
即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得E： SKIPIF 1 < 0 ．……………………4分
（2）①若 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以△RMN面积为 SKIPIF 1 < 0 ．………………………………5分
②若 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，且不为0，设为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 中并化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，……7分
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，………………………………………………9分
所以△RMN面积为 SKIPIF 1 < 0 ，…………………………10分
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，即△RMN面积的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．…………12分
20．解：（1）因为甲同学在第一次被抽到的概率是 SKIPIF 1 < 0 ，……………………1分
第二次被抽到的概率也是 SKIPIF 1 < 0 ，且两次相互独立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，………3分
所以 SKIPIF 1 < 0 ．……………………………………………………4分
（2）设两次都被抽到的人数的个数为随机变量 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），…………………………………………………6分
则 SKIPIF 1 < 0 ，…………………………………………８分
令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，…………………11分
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大，即 SKIPIF 1 < 0 最大，
所以参加打扫图书馆的人数最有可能是18人.…………………………12分
21解：（1）当a＝﹣时，f（x）＝﹣，x＞0，
f′（x）＝﹣＝，
∴函数f（x）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．
（2）由f（1）≤，得0＜a≤，
当0＜a≤时，f（x）≤，等价于﹣﹣2lnx≥0，
令t＝，则t≥2，设g（t）＝t2﹣2t﹣2lnx，t≥2，
则g（t）＝（t﹣）2﹣﹣2lnx，
（i）当x∈[，+∞）时，≤2，则g（x）≥g（2）＝8﹣2lnx，
记p（x）＝4﹣2﹣lnx，x≥，
则p′（x）＝﹣＝
＝，
列表讨论：
∴p（x）≥p（1）＝0，∴g（t）≥g（2＝2p（x）≥0．
（ii）当x∈[）时，g（t）≥g（）＝，
令q（x）＝2lnx+（x+1），x∈[，]，则q′（x）＝+1＞0，
故q（x）在[，]上单调递增，∴q（x）≤q（），
由（i）得q（）＝﹣p（）＜﹣p（1）＝0，
∴q（x）＜0，∴g（t）≥g（）＝﹣＞0，
由（i）（ii）知对任意x∈[，+∞），t∈[2，+∞），g（t）≥0，
即对任意x∈[，+∞），均有f（x）≤，
综上所述，所求的a的取值范围是（0，]．
22解：（1）曲线C和参数方程为，
∴消去参数α得曲线C的普通方程为x2+y2﹣2y＝0，
∴曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ．
将直线θ＝和θ＝代入圆的极坐标方程得ρ1＝，ρ2＝1，
∴A、B两点的极坐标分别为A（），B（1，）．
（2）由x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，得A（，），B（﹣，），
根据两点式方程得直线AB的方程为y＝x+1，
∴AB的极坐标方程为．
∴直线AB恰好经过圆的圆心，故△ABO为直角三角形，且|OA|＝，|OB|＝1，
∴S△ABO＝＝．
23解：（1）由题意知，原不等式等价于
或或,解得x≤﹣8或ϕ或x≥2，
综上所述，不等式f（x）≥|x﹣1|的解集为（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）．
（2）当m＝﹣1时，则g（x）＝|2x+2|﹣5+|x+1|＝3|x+1|﹣5，
此时g（x）的图象与x轴围成一个三角形，满足题意；
当m＞﹣1时，，
则函数g（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，
要使函数g（x）的图象与x轴围成一个三角形，
则，解得；
综上所述，实数m的取值范围为．
x

（，1）
1
（1，+∞）
p′（x）
﹣
0
+
P（x）
p（）
单调递减
极小值p（1）
单调递增