高考数学二轮专题复习之小题分类练(六)　创新探究

这是一份高考数学二轮专题复习之小题分类练(六)　创新探究，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

小题分类练(六)　创新探究

一、单项选择题
1．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数z在复平面内对应的点在(　　)
A．第一象限　　 　　　 B.第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　　)
A．1　　　 B.3　　　　
C．7　　　 D．31
3．对于非零向量m，n，定义运算“*”：m*n＝|m||n|sin θ，其中θ为m，n的夹角，有两两不共线的三个向量a，b，c，下列结论正确的是(　　)
A．若a*b＝a*c，则b＝c B.(a*b)c＝a(b*c)
C．a*b＝(－a)*b D．(a＋b)*c＝a*c＋b*c
4．(2020·四省八校第二次质量检测)平面内到两定点A，B的距离之比等于常数λ(λ>0且λ≠1)的动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆．已知A(0，0)，B(3，0)，|PA|＝|PB|，则点P的轨迹围成的平面图形的面积为(　　)
A．2π B.4π
C．π D．π
5．我们常用以下方法求形如函数y＝f(x)g(x)(f(x)＞0)的导数：先两边同取自然对数ln y＝g(x)lnf(x)，再两边同时求导得到·y′＝g′(x)lnf(x)＋g(x)··f′(x)，于是得到y′＝f(x)g(x)[g′(x)lnf(x)＋g(x)··f′(x)]，运用此方法求得函数y＝x(x＞0)的一个单调递增区间是(　　)
A．(e，4) B.(3，6)
C．(0，e) D．(2，3)
6．已知点M(－1，0)和N(1，0)，若某直线上存在点P，使得|PM|＋|PN|＝4，则称该直线为“椭型直线”，现有下列直线：①x－2y＋6＝0；②x－y＝0；③2x－y＋1＝0；④x＋y－3＝0.其中是“椭型直线”的是(　　)
A．①③ B.①②
C．②③ D．③④
7．分子间作用力是存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，该力又称范德华力．现有两个惰性气体原子之间的距离为R，它们组成的体系的能量中有静电相互作用能V，其计算公式为V＝kcq2－，其中kc为静电力常量，x1，x2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移，已知R＋x1－x2＝R(1＋)，R＋x1＝R(1＋)，R－x2＝R(1－)，且(1＋x)－1≈1－x＋x2，则V的近似值为(　　)
A. B.－
C. D．－
8．已知⊙C：(x－2)2＋(y－2)2＝2，O为坐标原点，直线OT为⊙C的一条切线，点P为⊙C上一点且满足＝λ＋μ(其中λ≥，μ∈R)，若关于λ，μ的方程·＝t存在两组不同的解，则实数t的取值范围为(　　)
A．[－2，0) B.(－2，0)
C．[－3，0) D．(－3，0)
二、多项选择题
9．已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0，则称集合M是“垂直对点集”．则下列四个集合是“垂直对点集”的为(　　)
A．M＝{(x，y)|y＝sin x＋1} B.N＝
C．P＝{(x，y)|y＝ex－2} D．Q＝{(x，y)|y＝log2x}
10．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．则下列函数是一阶整点函数的是(　　)
A．f(x)＝sin 2x B.g(x)＝x3
C．h(x)＝ D．φ(x)＝ln x
11．定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题不正确的是(　　)
A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直
C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交
12．(2020·山东菏泽期末)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”．记Sn为数列{an}的前n项和，由下列结论正确的是(　　)
A．a6＝8
B．S7＝33
C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 019＝a2 020
D.＝a2 020
三、填空题
13．过氧化氢(H2O2)是一种重要的化学品，工业用途广泛，通过催化H2和O2直接合成H2O2目前被认为是一种最有潜力替代现有生产方法的绿色环保生产途径．在自然界中已知氧的同位素有17种，氢的同位素有3种，现有由16O，18O及1H，2H，3H五种原子中的几种构成的过氧化氢分子，则分子种数最多为________．
14．能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．
15.

如图，在三棱锥P­ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1.设M是底面ABC内一点，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是三棱锥M­PAB、三棱锥M­PBC、三棱锥M­PCA的体积．若f(M)＝，且＋≥8恒成立，则正实数a的最小值为________．
16．(2020·安徽六安一中3月模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：定义在区间[0，1]上的函数R(x)＝若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈[0，1]时，f(x)＝R(x)，则f＋f(lg 30)＝________．

小题分类练(六)
1．解析：选A.由题知＝z－2(1＋i)＝0，
解得z＝2＋2i.
所以复数z在复平面内对应的点(2，2)位于第一象限．故选A.
2．解析：选B.具有伙伴关系的元素组是－1和，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.
3．解析：选C.a，b，c为两两不共线的向量，则a，b，c为非零向量，故A不正确；
设a，b夹角为θ，b，c夹角为α，
则(a*b)c＝|a||b|sin θ·c，a(b*c)＝|b||c|sin α·a，故B不正确；
a*b＝|a||b|sin θ＝|－a||b|·sin(π－θ)＝(－a)*b，故C正确；若c＝a＋b，则(a＋b)*c＝0，而a*c＋b*c≠0，故D不正确．
4．解析：选B.设P(x，y)，由|PA|＝|PB|得＝ ，即4x2＋4y2＝(x－3)2＋y2，化简得x2＋y2＝－2x＋3，整理得(x＋1)2＋y2＝4，则点P的轨迹是以(－1，0)为圆心，2为半径的圆，所以所求面积S＝4π.
5．解析：选C.由题意知函数f(x)＝x，函数g(x)＝，
则f′(x)＝1，g′(x)＝－，
所以y′＝x·＝x·，
由y′＝x·＞0得1－ln x＞0，
解得0＜x＜e，
即函数y＝x(x>0)的单调递增区间为(0，e)，故选C.
6．解析：选C.由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程为＋＝1.
对于①，把x－2y＋6＝0代入＋＝1，整理得2y2－9y＋12＝0，由Δ＝(－9)2－4×2×12＝－15＜0，知x－2y＋6＝0不是“椭型直线”；
对于②，把y＝x代入＋＝1，整理得x2＝，所以x－y＝0是“椭型直线”；
对于③，把2x－y＋1＝0代入＋＝1，整理得19x2＋16x－8＝0，由Δ＝162－4×19×(－8)＝864＞0，知2x－y＋1＝0是“椭型直线”；
对于④，把x＋y－3＝0代入＋＝1，整理得7x2－24x＋24＝0，由Δ＝(－24)2－4×7×24＝－96＜0，知x＋y－3＝0不是“椭型直线”．
故②③是“椭型直线”．
7．解析：选D.V＝kcq2
＝kcq2
≈
＝－.
故选D.
8．解析：选A.由⊙C：(x－2)2＋(y－2)2＝2，可得圆心C(2，2)，半径为，|OC|＝2.由直线OT为⊙C的一条切线，可得|CT|＝，|OT|＝＝，·＝0，所以·＝(＋)·＝－||2＝－2，·＝(＋)·＝2＋·＝||2＝6.又＝－＝λ＋(μ－1).所以2＝λ22＋(μ－1)22＋2λ(μ－1)·，即2＝6λ2＋8(μ－1)2＋12λ(μ－1)．
由关于λ的方程3λ2＋6λ(μ－1)＋4(μ－1)2－1＝0在λ≥时有两个不同的解，
可得解得0<μ≤1－.
又·＝(λ＋μ)·＝λ·＋μ·＝－2μ＝t，即t∈[－2，0)．故选A.
9．解析：选AC.对于A，C中的函数，结合它们的图象(图略)可知，过原点的任意一条直线l都与它们的图象相交，且存在过原点的直线l′，使得l′⊥l，并与A，C中的函数的图象相交，故A，C满足题意；对于B，y＝的图象是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以对于任意的(x1，y1)∈N，不存在(x2，y2)∈N，使得x1x2＋y1y2＝0，所以B不满足题意；对于D，在函数y＝log2x的图象上取点(1，0)，找不到(x2，y2)∈Q，使得1×x2＋0×y2＝0，所以D不满足题意．所以答案为AC.
10．解析：选AD.对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，A正确；对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，B错误；对于函数h(x)＝，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，C错误．对于函数φ(x)＝ln x，它的图象(图略)只经过一个整点(1，0)，所以它是一阶整点函数，D正确．故选AD.
11．解析：选BCD.对于A，若d1＝d2＝1，
则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝，
直线P1P2与直线l平行，正确；
对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等．
P1P未必与l垂直，错误；
对于C，若d1＝d2＝0，
即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，
则点P1，P2都在直线l上，
所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；
对于D，若d1·d2≤0，
即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，
所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，
所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误．
12．解析：选ABCD.根据题意可知，数列{an}的第六项a6＝3＋5＝8，所以A正确；数列{an}的第七项a7＝5＋8＝13，所以S7＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＝33，所以B正确；由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2 019＝a2 020－a2 018得a1＋a3＋a5＋…＋a2 019＝a2 020，所以C正确；对于数列{an}，总有an＋2＝an＋1＋an，所以a＝a1a2，a＝a2(a3－a1)＝a2a3－a2a1，a＝a3(a4－a2)＝a3a4－a3a2，…，a＝a2 018(a2 019－a2 017)＝a2 018a2 019－a2 018a2 017，a＝a2 019(a2 020－a2 018)＝a2 019a2 020－a2 019a2 018，所以＝＝a2 020，所以D正确．故选ABCD.
13．解析：过氧化氢分子中有2个氧原子和2个氢原子，共4个原子，构成过氧化氢分子的氧原子可以从2种不同的氧原子中选出1种或2种，取法共有C＋C＝3(种)．构成过氧化氢分子的氢原子可以从3种不同的氢原子中选出1种或2种，取法共有C＋C＝6(种)，因此构成的过氧化氢分子的种数最多为3×6＝18(种)．
答案：18
14．解析：令f(x)＝则f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，但f(x)在区间[0，2] 上不是增函数．
又如，令f(x)＝sin x，则f(0)＝0，f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，
但f(x)在区间[0，2]上不是增函数．
答案：f(x)＝(答案不唯一，又如y＝sin x)
15．解析：因为PA，PB，PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1，
所以V三棱锥P­ABC＝××3×2×1＝1＝＋x＋y，即x＋y＝，则2x＋2y＝1，＋＝(2x＋2y)＝2＋2a＋＋≥2＋2a＋4(当且仅当ax2＝y2时取等号)，易知2＋2a＋4≥8，解得a≥1，
所以正实数a的最小值为1.
答案：1
16．解析：由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＋f(2－x)＝0，
所以f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，所以2是函数f(x)的周期，则f＝f＝f＝－f＝－R＝－，f(lg 30)＝f(lg 3＋lg 10)＝f(lg 3＋1)＝f(lg 3－1)＝－f(1－lg 3)＝－R(1－lg 3)＝0，所以f＋f(lg 30)＝－.
答案：－