高考数学二轮专题复习之小题强化练(七)

题强化练(七)　

一、单项选择题

1．若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则(　　)

A．A⊆B  B.A⊇B

C．A＝B  D．A∩B＝∅

2．“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的(　　)

A．充分不必要条件  B.必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　)

A.  B.2n－1

C.  D．

4．(一题多解)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，设事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)

A.  B.

C．  D．

5．如图，在各棱长都相等的直三棱柱ABC­A1B1C1中，点M，N分别为BB1，B1C1的中点，平面AMN与平面ABC的交线为l，则l与B1C1所成的角的余弦值为(　　)

A.  B.

C．  D．

6．若正数a，b满足2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)，则＋的值为(　　)

A．36  B.72

C．108  D．

7．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》时，发明了二次不等间距插值算法：若函数y＝f(x)在x＝x1，x＝x2，x＝x3(x1<x2<x3)处的函数值分别为y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，y3＝f(x3)，则在区间[x1，x3]上f(x)可以用二次函数来近似代替，即f(x)≈y1＋k1(x－x1)＋k2(x－x1)(x－x2)，

其中k1＝，k＝，k2＝.

若令x1＝0，x2＝，x3＝π，请依据上述算法，估算sin的值是(　　)

A.  B.

C．  D．

8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1与l2，A与B为l1上关于坐标原点对称的两点，M为l2上一点且kAM·kBM＝e(e为双曲线C的离心率)，则e的值为(　　)

A.  B.

C．2  D．

二、多项选择题

9．某旅游景点2019年1月至9月每月最低气温与最高气温(单位：℃)的折线图如图所示，则(　　)

A．1月到9月中，最高气温与最低气温相差最大的是1月

B．1月到9月的最高气温与月份具有较好的相关关系

C．最高气温与最低气温的差逐步减小

D．最低气温与最高气温间存在较好的正相关关系

10．已知函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)在(0，4)上单调递增

B．f(x)的最大值为2

C．f(x)的图象关于直线x＝2对称

D．f(x)的图象关于点(2，0)对称

11．已知双曲线E过点(3，)，(6，)，则(　　)

A．E的方程为－y2＝1

B．直线x－y－1＝0与E有且仅有一个公共点

C．曲线y＝ln(x－1)过E的一个焦点

D．E的离心率为

12.

如图，在三棱锥S­ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，点D，E分别为SC，SA上的动点，则下列结论正确的是(　　)

A．直线SB⊥平面ABC

B．若BD⊥SC，BE⊥SA，则∠BED为二面角B­SA­C的平面角

C．直线SC与平面ABC所成的角为45°时，点B到平面ASC的距离是a

D．∠SCB＝45°时，三棱锥S­ABC外接球的表面积为

三、填空题

13.(1＋x)5的展开式中x3的系数为25，则a＝________．

14．已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－ln x，则曲线y＝f(x)在点(－1，－1)处的切线方程是________．

15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(2a－c)··＝c ·且|－|＝2，则△ABC面积的最大值为________．

16．已知定义在R上的函数f(x)＝(a>0且a≠1)，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[1.35]＝1，[－2.5]＝－3，若f(x)的图象上至少存在3对关于y轴对称的点，则a的取值范围为________．

小题强化练(七)

1．解析：选A.集合A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，B＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，

所以A⊆B.

2．解析：选A.当x＝2kπ＋(k∈Z)时，tan x＝1，

即充分性成立；

当tan x＝1时，x＝kπ＋(k∈Z)，

即必要性不成立．

综上可得，

“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的充分不必要条件．

3．解析：选A.由Sn＝2an＋1可得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，

可得3Sn＝2Sn＋1，

即＝，又因为S1＝a1＝1，

所以数列{Sn}是以1为首项，

为公比的等比数列，

即Sn＝，故选A.

4．解析：选B.方法一：事件A包括的基本事件有(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)，共4个．

事件AB包括的基本事件只有(2，4)一个，

故P(B|A)＝.

方法二：P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝.

由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝＝.

5．解析：选D.如图，延长NM交CB的延长线于点Q，连接AQ，则平面AMN与平面ABC的交线为AQ.

由题知△ABC为等边三角形，

所以∠ABQ＝120°.

因为B1C1∥BC，所以∠AQB即为所求角．

设AB＝2，则BQ＝1，在△AQB中，∠ABQ＝120°，

AQ＝＝，

所以cos∠AQB＝＝.故选D.

6．解析：选C.设2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)＝k，

可得a＝2k－2，b＝3k－3，a＋b＝6k，

所以＋＝＝＝108.

7．解析：选C.令y＝f(x)＝sin x，

则k1＝＝，

k＝＝－，

k2＝＝－，

所以sin x≈0＋(x－0)－(x－0)＝－x2＋x，

故sin≈－×＋×＝，选C.

8．解析：选B.根据题意，设M(x0，y0)，A(x1，y1)，

则B(－x1，－y1)．

不妨设l1：y＝x，l2：y＝－x，

则y0＝－x0，y1＝x1，

所以kAM·kBM＝·＝＝，

因为kAM·kBM＝e，

所以＝e，

即＝e，e2－1＝e，e2－e－1＝0，

解得e＝.

又e>1，所以e＝，选B.

9．解析：选ABD.从折线图可看出，1月到9月中，最高气温与最低气温相差最大的是1月，故选项A正确；由图可看出，随着月份的增加，最高气温也在增加，故选项B正确；1月到9月，最高气温与最低气温的差不是逐步减小的，故选项C错误；由图可看出，大多数月份，最低气温降低，则最高气温也降低，最低气温升高，则最高气温也升高，作出关于最高气温与最低气温的散点图(图略)，从散点图可以看出最低气温与最高气温间存在较好的正相关关系，故选项D正确．

10．解析：选BC.函数f(x)＝log2(－x2＋4x)，x∈(0，4)．易知u＝－x2＋4x的单调递增区间为(－∞，2]，单调递减区间为(2，＋∞)，故函数f(x)在区间(0，2]上单调递增，在区间(2，4)上单调递减，选项A不正确；

函数f(x)的最大值为f(2)＝log24＝2，选项B正确；函数u＝－x2＋4x的图象的对称轴为直线x＝2，故函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，选项C正确；易得函数f(x)的图象不关于点(2，0)对称，选项D错误．

11．解析：选ABC.设双曲线E的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，

因为双曲线E过点(3，)，(6，)，

所以

解得

故双曲线E的方程为－y2＝1，选项A正确；

联立直线与双曲线的方程，

得

得y2－2y＋2＝0，Δ＝0，故选项B正确；

E的一个焦点为点(2，0)，

易知该点在曲线y＝ln(x－1)上，故C正确；

因为a＝，c＝2，

所以双曲线E的离心率e＝，选项D错误．

12．解析：选ABD.在三棱锥S­ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，则SB⊥BA，SC⊥CA，因为△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，所以AC⊥BC，又BC∩SC＝C，

所以AC⊥平面SBC，故SB⊥AC，又SB⊥BA，BA∩AC＝A，所以SB⊥平面ABC，故A正确；

因为AC⊥平面SBC，

AC⊂平面SAC，所以平面SBC⊥平面SAC.

又因为平面SBC与平面SAC交线为SC，且BD⊥SC，BD⊂平面SBC，

所以BD⊥平面ASC，

易知DE为BE在平面ASC内的射影，又BE⊥SA，所以易得DE⊥AS，所以∠BED为二面角B­SA­C的平面角，故B正确；

若BD⊥CS，则BD⊥平面SAC，所以BD的长就是点B到平面ASC的距离，

所以BD＝BCsin 45°＝a，所以C不正确；

因为∠SBA＝∠SCA＝90°，

所以SA为外接球的直径，设外接球的半径为R，

则R＝＝＝，

所以三棱锥S­ABC外接球的表面积S＝4π＝，

所以D正确．故选ABD.

13．解析：(1＋x)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cxr，

所以(1＋x)5的展开式中含x3的项为aCx3＋Cx4＝(10a＋5)x3，

令10a＋5＝25，解得a＝2.

答案：2

14．解析：设x<0，则－x>0，f(－x)＝x2－ln(－x)，

所以当x<0时，

f(x)＝－f(－x)＝－x2＋ln(－x)，

f′(x)＝－2x＋，f′(－1)＝1，

所以曲线y＝f(x)在点(－1，－1)处的切线方程为y＋1＝x＋1，

即x－y＝0.

答案：x－y＝0

15．解析：(2a－c)·＝c ·可化为(2a－c)|BA|·|BC|cos B＝c|CB|·|CA|cos C，

即(2a－c)cacos B＝cabcos C，

所以(2a－c)cos B＝bcos C，

根据正弦定理有(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，

所以2sin Acos B＝sin(C＋B)，

即2sin Acos B＝sin A，

因为sin A>0，所以cos B＝.

又因为0<B<π，

所以B＝.

因为|－|＝2，

所以||＝2，

即b2＝4，

根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，

可得4＝a2＋c2－ac，

由基本不等式可知4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，

即ac≤4，所以△ABC的面积S＝acsin B≤×4×＝，

即当a＝c＝2时，△ABC的面积取得最大值.

答案：

16．解析：由题意知函数f(x)的图象经过原点，因为点(0，0)关于y轴对称的点是它本身，所以点(0，0)与点(0，0)是函数f(x)的图象上关于y轴对称的一对对称点．

又函数f(x)的图象上至少存在3对关于y轴对称的点，所以y＝a－x－1(x>0)与y＝x－[x](x>0)的图象至少有2个交点．在同一平面直角坐标系内作出y＝a－x－1(x>0)与y＝x－[x](x>0)的图象如图所示，

当a>1时，显然不成立；

当0<a<1时，由图可知只需a－3－1<1，得<a<1.

答案：