高考数学二轮专题复习之46分题专项练(三)

46分题专项练(三)

1．在条件①3Sn＋1＝Sn＋1，②a2＝，③2Sn＝1－3an＋1中选择两个，补充在下面问题中，并解答．

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足________，________；又正项等差数列{bn}满足b1＝2，且b1，b2－1，b3成等比数列．

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)证明：ab1＋ab2＋…＋abn<.

2.如图，点A，B分别是圆心在坐标原点、半径为1和2的圆上的动点．动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动．记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.

(1)求t＝时，A，B两点间的距离；

(2)若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t>0)的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围．

3．某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核为优秀．现获得该公司2011～2018年的相关数据如表所示：

注：年返修率＝.

(1)从该公司2011～2018年的相关数据中任意选取4年的数据，以ξ表示4年中生产部门考核为优秀的次数，求ξ的分布列和数学期望；

(2)根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y(百万元)关于年生产台数x(万台)的线性回归方程(精确到0.01)．

参考公式：回归方程＝x＋，其中

＝

4.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．

(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；

(2)(一题多解)设PC＝2AB，求二面角E－l－C的取值范围．

46分题专项练(三)

1．解：(1)方案一：选择①②.

当n≥2时，由3Sn＋1＝Sn＋1得3Sn＝Sn－1＋1，两式相减，得3an＋1＝an，即＝(n≥2)，

由①得3S2＝S1＋1，即3(a1＋a2)＝a1＋1，又a2＝，

所以2a1＝1－3a2＝1－＝，得a1＝，

所以＝，所以{an}是首项为，公比为的等比数列，

所以an＝×＝.

设等差数列{bn}的公差为d，d≥0，

因为b1，b2－1，b3成等比数列，

所以b1b3＝(b2－1)2，即2(2＋2d)＝(1＋d)2，

解得d＝3或d＝－1(舍去)，所以bn＝2＋3(n－1)＝3n－1.

方案二：选择②③.

当n≥2时，由2Sn＝1－3an＋1得2Sn－1＝1－3an，

两式相减，得2an＝3an－3an＋1，所以＝(n≥2)，

又2S1＝1－3a2，a2＝，得a1＝，

所以＝，所以{an}是首项为，公比为的等比数列，

所以an＝×＝.

(以下同方案一)

(2)证明：由(1)得abn＝a3n－1＝，

则ab1＋ab2＋…＋abn＝＋＋…＋

＝＝<.

2．解：(1)连接AB，当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝，所以∠AOB＝.

又OA＝1，OB＝2，所以AB2＝12＋22－2×1×2cos＝7，

即A，B两点间的距离为.

(2)依题意，y1＝sin，y2＝－2sin 2t，

所以y＝sin－2sin 2t＝cos 2t－sin 2t＝cos，

即函数关系式为y＝cos(t>0)，

当t∈时，2t＋∈，所以cos∈，故当t∈时，y∈.

3．解：(1)由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，ξ可能为1，2，3，4.

所以P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，

P(ξ＝4)＝＝.

所以ξ的分布列为

E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝＝2.5(万元)．

(2)因为x5＝x＝6，

所以去掉2015年的数据后不影响的值，

所以

去掉2015年的数据后，′＝＝6，′＝＝，

所以＝－＝－×6≈1.27，

所以y关于x的线性回归方程为＝0.48x＋1.27.

4．解：(1)l∥平面PAC.

证明如下：因为EF∥AC，AC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，

所以EF∥平面ABC，

又EF⊂平面BEF，平面BEF与平面ABC的交线为l，

所以EF∥l，

而l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以l∥平面PAC.

(2)方法一：设直线l与圆O的另一个交点为D，连接DE，DB.

由(1)知，BD∥AC，而AC⊥BC，所以BD⊥BC，

因为PC⊥平面ABC，所以PC⊥BD，

而PC∩BC＝C，所以BD⊥平面PBC，

又因为FB⊂平面PBC，所以BD⊥BF，

所以∠FBC是二面角E－l－C的平面角．

因为PC＝2AB，PC＝2FC，所以AB＝FC.

所以tan∠FBC＝＝＝，

注意到0<∠ABC<，所以0<cos∠ABC<1，所以tan∠FBC>1.

因为0<∠FBC<，所以∠FBC∈.

即二面角E－l－C的取值范围是.

方法二：由题意，知AC⊥BC，PC⊥AC，PC⊥BC，所以以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

设AB＝2，BC＝t(0<t<2)，则B(0，t，0)，F(0，0，2)，D(，t，0)，则＝(0，－t，2)，＝(，0，0)，设平面DBF的法向量为m＝(x，y，z)，

则由得取y＝2，得m＝(0，2，t)．

易知平面BCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，

设二面角E－l－C的大小为θ，易知θ为锐角，

cos θ＝＝＝∈，所以<θ<，

即二面角E－l－C的取值范围是.