高考数学二轮专题复习之小题强化练(六)

小题强化练(六)　

一、单项选择题

1．已知集合A＝{x|x2－2x－3>0}，集合B＝{x|y＝}，则(∁RA)∪B＝(　　)

A．{x|－1≤x≤3}  B.{x|x≥3}

C．{x|x≤－1}  D．{x|x≥－1}

2．设复数z＝(i为虚数单位)，f(x)＝x2－x＋1，则f(z)＝(　　)

A．i  B.－i

C．－1＋i  D．1＋i

3．已知向量a＝(，0)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若(a－2b)⊥c，则k＝(　　)

A．2  B.－2

C．  D．－

4．函数f(x)＝(其中e为自然对数的底数)在[－6，6]的图象大致为(　　)

5．已知F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点M在椭圆E上，MF2与x轴垂直，sin∠MF1F2＝，则椭圆E的离心率为(　　)

A.  B.

C．  D．

6．若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)图象的一个对称中心为，与该对称中心相邻的一条对称轴的方程为x＝，该对称轴处所对应的函数值为－1，为了得到g(x)＝cos 2x的图象，只需将f(x)的图象(　　)

A．向左平移个单位长度  B.向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度  D．向右平移个单位长度

7．定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”．若已知正项数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn＝，则＋＋…＋＝(　　)

A.  B.

C．  D．

8．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导数，当x>0时，f′(x)ln x<－f(x)，则使得(x2－1)f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)

A．(－1，0)∪(0，1)  B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－1，0)∪(1，＋∞)  D．(－∞，－1)∪(0，1)

二、多项选择题

9．设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式中正确的是(　　)

A．log2(ab)>log2b2  B.ac2>bc2

C.<1<  D．>

10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，公差d≠0，S6＝90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是(　　)

A．a1＝22

B．d＝－2

C．当n＝10或n＝11时，Sn取得最大值

D．当Sn>0时，n的最大值为20

11．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y＝Asin ωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝|cos x|＋|sin x|，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)是偶函数

B．f(x)是周期函数

C．f(x)在区间上单调递增

D．f(x)的最大值为2

12.

若长方体ABCD­A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，则(　　)

A．B1E⊥A1B

B．平面B1CE∥平面A1BD

C．三棱锥C1­B1CE的体积为

D．三棱锥C1­B1CD1的外接球的表面积为24π

三、填空题

13．某学校高一学生有720人，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三这三个年级学生中，抽取180人进行英语水平测试．已知抽取高一学生人数是抽取高二学生人数和高三学生人数的等差中项，且高二年级抽取65人，则该校高三年级学生人数是________．

14．(x－2y＋1)(2x＋y)6展开式中x4y3的系数为________．

15．已知函数f(x)＝若不等式f(x)≤5－mx恒成立，则实数m的取值范围是________．

16．如图，一边长为30 cm的正方形铁皮，先将阴影部分裁下，然后用余下的四个全等等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，要使这个容器的容积最大，则等腰三角形的底边长为________cm.

小题强化练(六)

1．解析：选D.由题意知A＝{x|x<－1或x>3}，

所以∁RA＝{x|－1≤x≤3}．

又B＝{x|x≥1}，

所以(∁RA)∪B＝{x|x≥－1}．

2．解析：选A.z＝＝＝－i，

则f(z)＝－1＋i＋1＝i.

3．解析：选B.因为a＝(，0)，b＝(0，－1)，所以a－2b＝(，2)．因为(a－2b)⊥c，则(a－2b)·c＝0，所以k＋2＝0，所以k＝－2.故选B.

4．解析：选A.f(－x)＝＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，排除D，

当x>0时，f(x)>0，排除C，

又f(2)＝>1，排除B，故选A.

5．解析：选C.依题意，设|MF2|＝t，则|MF1|＝3t，

|F1F2|＝＝2t，

因此椭圆E的离心率e＝＝＝，故选C.

6．解析：选B.由题可知函数f(x)的最小值为－1，故A＝1.

最小正周期T＝4×＝π，故ω＝2，

又当x＝时，函数f(x)取得最小值，故2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，

所以φ＝，即函数f(x)＝sin.

又函数g(x)＝cos 2x＝sin＝sin，

故只要将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，即可得到函数

g(x)＝cos 2x的图象．

7．解析：选C.依题意有＝，

即前n项和Sn＝n(2n＋1)＝2n2＋n，当n＝1时，a1＝S1＝3；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1，a1＝3满足该式．

则an＝4n－1，bn＝＝n.

因为＝＝－，

所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝.故选C.

8．解析：选D.因为当x>0时，f′(x)ln x<－f(x)，

所以f′(x)ln x＋f(x)<0，

令g(x)＝f(x)ln x，则g′(x)＝f′(x)ln x＋f(x)<0在x>0时恒成立，

所以函数g(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，且g(1)＝0，

所以当x∈(0，1)时，g(x)>0，又ln x<0，所以f(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，

g(x)<0，又ln x>0，所以f(x)<0.

由f′(x)ln x<－f(x)，

令x＝1，得0<－f(1)，

所以f(1)<0.

综上可知，当x>0时，f(x)<0.

又函数f(x)是奇函数，

所以当x<0时，f(x)>0，

当x＝0时，f(0)＝0.

则不等式(x2－1)f(x)>0转化为或得x<－1或0<x<1，故选D.

9．解析：选AC.对于A，因为a>b>0，

所以ab>b2>0，

因为函数y＝log2x是增函数，

所以log2(ab)>log2b2，

所以A正确；

对于B，因为a>b>0，

当c＝0时，ac2>bc2不成立，所以B错误；

对于C，因为a>b>0，

所以<1<，所以C正确；

对于D，因为a>b>0，函数y＝是减函数，

所以<，

所以D错误．故选AC.

10．解析：选BCD.因为{an}是等差数列，S6＝90，a7是a3与a9的等比中项，

所以

解得故A错误，B正确，数列{an}的前n项和Sn＝20n＋×(－2)＝－n2＋21n＝－＋，

所以当n＝10或n＝11时Sn取得最大值110，C正确，

当Sn>0，即－n2＋21n>0时，解得0<n<21.

又n∈N*，故n的最大值为20，D正确．故选BCD.

11．解析：选ABD.因为函数f(x)＝|cos x|＋|sin x|，

所以f(－x)＝|cos(－x)|＋|sin(－x)|＝|cos x|＋|sin x|＝f(x)，

所以函数f(x)是偶函数，

所以A正确；

因为f(x＋kπ)＝|cos(x＋kπ)|＋|sin(x＋kπ)|＝|cos x|＋|sin x|＝f(x)(k∈Z)，

所以函数f(x)是周期函数，

所以B正确；

当x∈时，f(x)＝cos x＋sin x＝2sin，

由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，

令k＝0，可得－≤x≤，函数f(x)在区间上不是单调递增的，所以C错误；

因为函数f(x)是周期为π的周期函数且为偶函数，

当x∈时f(x)＝2sin，

所以f(x)的最大值为2，

所以D正确．故选ABD.

12.

解析：选CD.建立如图所示的空间直角坐标系，因为长方体ABCD­A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，所以B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，A1(0，0，4)，B1(2，0，4)，C1(2，2，4)，D1(0，2，4)，E(0，2，2)，

所以＝(－2，2，－2)，＝(2，0，－4)，

所以·＝(－2，2，－2)·(2，0，－4)＝－4＋8＝4，所以与不垂直，

即直线B1E与A1B不垂直，所以A错误；

设平面B1CE的法向量为n＝(x，y，z)，＝(0，2，－4)，＝(－2，0，2)，

则

即

令z＝1，则x＝1，y＝2，

所以n＝(1，2，1)，同理求得平面A1BD的一个法向量为m＝(2，2，1)．

由于m不平行于n，

所以平面B1CE与平面A1BD不平行，所以B错误；三棱锥C1­B1CE的体积为S△CEC1·BC＝×CC1×CD×BC＝××4×2×2＝，

所以C正确；

因为B1C1，C1D1，CC1两两垂直，所以三棱锥C1­B1CD1的外接球即为长方体ABCD­A1B1C1D1的外接球，其外接球的半径为 ＝，表面积为4π×()2＝24π，

所以D正确．故选CD.

13．解析：根据题意，设高三年级抽取x人，则高一年级抽取(180－x－65)人，

则2(180－x－65)＝x＋65，

解得x＝55，高一学生有720人，则高三学生有720×＝660(人)．

答案：660

14．解析：(x－2y＋1)(2x＋y)6＝x(2x＋y)6－2y(2x＋y)6＋(2x＋y)6，(2x＋y)6展开式的通项Tr＋1＝C(2x)6－ryr＝C26－rx6－ryr.x(2x＋y)6展开式中x4y3的系数为C23＝160；

－2y(2x＋y)6展开式中x4y3的系数为－2×C24＝－480；

(2x＋y)6展开式中无x4y3项，综上(x－2y＋1)(2x＋y)6展开式中x4y3的系数为－320.

答案：－320

15.

解析：作出函数f(x)的大致图象如图所示，

令g(x)＝5－mx，则g(x)恒过点(0，5)，

由f(x)≤g(x)恒成立，由数形结合得－≤－m≤0，

解得0≤m≤.

答案：

16．解析：设等腰三角形的底边长为x(0<x<30)cm，

由已知得等腰三角形的高为15 cm，

所以正四棱锥的高h＝＝(cm)，

所以正四棱锥的体积

V＝x2＝ (cm3)．

令g(x)＝900 x4－x6，

则g′(x)＝3 600 x3－6x5，

令3 600x3－6x5＝0，得x＝10，

令g′(x)<0，则x>10；

令g′(x)>0，则0<x<10.

所以g(x)的单调递增区间为(0，10)，单调递减区间为(10，＋∞)，

所以x＝10时，g(x)取得极大值(也是最大值)．

所以要使正四棱锥的体积最大，等腰三角形的底边长为10 cm.

答案：10