高考数学二轮专题复习之46分题专项练(六)

46分题专项练(六)

1．在①a3＋b3＝0，②S3＝－19.5，③a3＋a1＝2＋这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的λ存在，求出λ的值；若λ不存在，说明理由．

已知等差数列{an}的公差为d，Sn是数列{an}的前n项和，等比数列{bn}的公比为q(q≠1)，Tn是数列{bn}的前n项和，________，b1＝1，T3＝3，d＝－q，是否存在正整数λ，使得关于k的不等式λ(30＋Sk)≤10有解？

2．在斜三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＋2＝.

(1)求A的大小；

(2)若>，求B的取值范围．

3．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．

(1)(一题多解)证明：平面AEF⊥平面PBC；

(2)试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°.

4．某款自营生鲜平台以及提供配送服务的生活类APP，主要提供的产品有蔬菜、豆制品、水果、肉禽蛋、水产海鲜、米面粮油、食品等．某机构为调查顾客对该软件的使用情况，在某地区随机抽取了100人，调查结果整理如下：

(1)从被抽取的年龄在[40，60)的使用者中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[50，60)的概率；

(2)为鼓励居民使用，该机构拟对首次下载使用APP的居民赠送1张5元的代金券．若某区预计6000人具有购物能力，试估计该机构至少应准备多少张代金券；

(3)用随机抽样的方法从该地区抽取20名市民进行调查，用X表示其中年龄在[20，40)的人数．试求P(X＝k)(k＝0，1，2，…，20)的最大值．

46分题专项练(六)

1．解：由b1＝1，T3＝b1(1＋q＋q2)＝3，得q＝－2或q＝1(舍去)，

所以bn＝(－2)n－1.

方案一：选①，因为a3＋b3＝0，所以a3＝－b3＝－4，d＝－q＝2，

所以an＝a3＋2(n－3)＝2n－10，a1＝－8，

所以Sn＝n(n－9)＝－≥－20，

由λ(30＋Sk)≤10得λ≤≤1，

所以λ＝1，

所以当λ＝1时，30＋Sk≤10，解得k＝4或k＝5，故存在λ＝1，使得关于k的不等式λ(30＋Sk)≤10有解．

方案二：选②，因为S3＝－19.5，所以a2＝－6.5，d＝－q＝2，

所以an＝a2＋2(n－2)＝2n－10.5，a1＝－8.5，

所以Sn＝n(n－9.5)＝－≥－22.5.

由λ(30＋Sk)≤10得λ≤≤<2，

所以λ＝1，

所以当λ＝1时，30＋Sk≤10，解得k＝4或k＝5或k＝6，故存在λ＝1，使得关于k的不等式λ(30＋Sk)≤10有解．

方案三：选③，因为a3＋a1＝2＋＝6，

所以a2＝＝3，d＝－q＝2，所以an＝a2＋2(n－2)＝2n－1，a1＝1，

所以Sn＝n2，所以30＋Sk>10，所以不存在正整数λ，使得关于k的不等式λ(30＋Sk)≤10有解．

2．解：(1)因为＋2＝，

所以＋2＝＝＝，

所以＝－.

所以sin 2A＝1，因为△ABC为斜三角形，

所以A＝.

(2)因为>，所以cos B>0，B∈.

由(1)知B＋C＝，所以>，

即>，

所以＋tan B>，所以tan B>1，所以<B<，所以B的取值范围为.

3．解：(1)证明：方法一：因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，

所以PA⊥BC.

因为ABCD为正方形，所以AB⊥BC.

又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.

因为AE⊂平面PAB，

所以AE⊥BC.

因为PA＝AB，E为线段PB的中点，

所以AE⊥PB.

又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，

所以AE⊥平面PBC.

又AE⊂平面AEF，

所以平面AEF⊥平面PBC.

方法二：因为PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAB，PA⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，

所以平面PAB⊥底面ABCD，

因为ABCD为正方形，所以BC⊥AB.又BC⊂平面ABCD，

所以BC⊥平面PAB.

因为AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC.

因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB.

因为PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC.

又AE⊂平面AEF，

所以平面AEF⊥平面PBC.

(2)因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，所以以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，

设正方形ABCD的边长为2，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(1，0，1)，

所以＝(1，0，1)，＝(2，2，－2)，＝(0，2，－2)．

设点F的坐标为(2，λ，0)(0≤λ≤2)，则＝(2，λ，0)．

设n＝(x1，y1，z1)为平面AEF的法向量，

则所以

取y1＝2，则n＝(－λ，2，λ)．

设m＝(x2，y2，z2)为平面PCD的法向量，

则所以

取y2＝1，则m＝(0，1，1)，则cos〈n，m〉＝＝＝，

解得λ＝1.所以点F为BC的中点．

4．解：(1)设事件A为“这2人年龄都在[50，60)”，从被抽取的年龄在[40，60)的使用者中随机抽取2人，共包含C个基本事件，

事件A共有C个基本事件，则P(A)＝＝.

(2)随机抽取的100名顾客中，使用该款软件的有5＋10＋18＋8＋4＋2＝47(名)，所以该机构至少应准备×6 000＝2 820张代金券．

(3)由题意得X服从二项分布．

因为年龄在[20，40)的概率为＋＝0.3，

所以X～B(20，0.3)，

所以P(X＝k)＝C0.3k(1－0.3)20－k(k＝0，1，2，3，…，20)．

设h＝＝＝(k＝1，2，3，…，20)，若h>1，则k<6.3，P(X＝k－1)<P(X＝k)；若h<1，则k>6.3，P(X＝k－1)>P(X＝k)．

所以当k＝6时，P(X＝k)最大，最大值是P(X＝6)＝C0.36×0.714.