高考数学二轮专题复习之小题强化练(四)　

小题强化练(四)　

一、单项选择题

1．已知i是虚数单位，复数z＝，则z的共轭复数的虚部为(　　)

A．－i　　 　 B.1　　 　　

C．i　　 　 D．－1

2．(一题多解)已知集合A＝{x∈R|log2x<2}，集合B＝{x∈R||x－1|<2}，则A∩B＝(　　)

A．(0，3)  B.(－1，3) 

C．(0，4)  D．(－∞，3)

3．已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ(单位：元)服从正态分布N(2 000，1002)，则该市某居民手机支付的消费额在(1 900，2 200]内的概率为(　　)

附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.

A．0.975 9  B.0.84

C．0.818 6  D．0.477 2

4．设a＝20.2，b＝sin 2，c＝log20.2，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c  B.b>a>c

C．b>c>a  D．c>a>b

5．已知函数f(x)＝(e＝2.718…为自然对数的底数)，若f(x)的零点为α，极值点为β，则α＋β＝(　　)

A．－1  B.0

C．1  D．2

6．已知四棱锥P­ABCD的所有棱长均相等，点E，F分别在线段PA，PC上，且EF∥底面ABCD，则异面直线EF与PB所成角的大小为(　　)

A．30°  B.45° 

C．60°  D．90°

7．在同一平面直角坐标系下，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数y＝sin的图象向右平移个单位后得到曲线D，点A，B分别在双曲线C的下支和曲线D上，则线段AB长度的最小值为(　　)

A．2  B. 

C.  D．1

8．(一题多解)某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率为(　　)

A.  B.

C．  D．

二、多项选择题

9．已知向量a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，c＝(1，1)，设a，b的夹角为θ，则(　　)

A．|a|＝|b|  B.a⊥c

C．b∥c  D．θ＝135°

10．(一题多解)已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x－cos2x，x∈R，则(　　)

A．－2≤f(x)≤2

B．函数f(x)在区间(0，π)上只有1个零点

C．函数f(x)的最小正周期为π

D．直线x＝为函数f(x)图象的一条对称轴

11．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前n项和为Tn，n∈N*，则下列选项正确的是(　　)

A．数列{an＋1}是等差数列

B．数列{an＋1}是等比数列

C．数列{an}的通项公式为an＝2n－1

D．Tn<1

12．如图，已知四棱台ABCD­A1B1C1D1的上、下底面均为正方形，其中AB＝2，A1B1＝，AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2，则下列说法正确的是(　　)

A．该四棱台的高为

B．AA1⊥CC1

C．该四棱台的表面积为26

D．该四棱台外接球的表面积为16π

三、填空题

13．若∀x∈(0，＋∞)，4x＋x－1≥a恒成立，则实数a的取值范围为________．

14．(一题多解)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(0)＝1，则f(2)＝________．

15．已知a∈N，二项式的展开式中含有x2项的系数不大于240，记a的取值集合为A，则由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共有________个．

16．设抛物线x2＝4y的焦点为F，A为抛物线上第一象限内一点，满足|AF|＝2，已知P为抛物线准线上任一点，当|PA|＋|PF|取得最小值时，△PAF外接圆的半径为________．

小题强化练(四)

1．解析：选B.因为z＝＝＝－2－i，

所以＝－2＋i，

所以的虚部为1，故选B.

2．解析：选A.通解：由log2x<2得0<x<4，

所以A＝{x|0<x<4}，

由|x－1|<2得－1<x<3，

所以B＝{x|－1<x<3}，

所以A∩B＝{x|0<x<3}，故选A.

优解：由log2x有意义可知x>0，故排除选项B，D，又当x＝3时，|x－1|<2不成立，故排除C，选A.

3．解析：选C.由题意可知P(1 900<ξ≤2 100)≈0.682 7，P(1 800<ξ≤2 200)≈0.954 5，由正态曲线的对称性可得P(1 900<ξ≤2 200)＝P(1 900<ξ≤2 000)＋P(2 000<ξ≤2 200)≈＋＝0.818 6.故选C.

4．解析：选A.因为a＝20.2>20＝1，sin π<b＝sin 2<sin，

即0<b＝sin 2<1，c＝log20.2<log21＝0，

所以a>b>c.故选A.

5．解析：选C.令3x－9＝0，得x＝2，因为当x<0时，xex<0，

所以xex＝0无解，

因此函数f(x)的零点只有一个，为x＝2，即α＝2.

因为函数f(x)＝3x－9在区间[0，＋∞)上单调递增，

所以函数f(x)在区间[0，＋∞)上无极值点，

因为当x<0时，f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)＝(x＋1)ex>0，得－1<x<0，

令f′(x)＝(x＋1)ex<0，得x<－1，

所以函数f(x)在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(－1，0)上单调递增，

所以函数f(x)在x＝－1处取得极小值，因此β＝－1，

所以α＋β＝1.故选C.

6．解析：选D.连接AC，BD相交于点O，连接PO(图略)，

因为四边形ABCD各边都相等，

所以点O是AC，BD的中点且AC⊥BD，

又PA＝PB＝PC＝PD，

所以PO⊥AC，PO⊥BD，

所以PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PBD，

所以平面PBD⊥平面ABCD，

因为平面PBD∩平面ABCD＝BD，且AC⊥BD，

所以AC⊥平面PBD，所以AC⊥PB.

因为EF∥平面ABCD，EF⊂平面PAC，平面PAC∩平面ABCD＝AC，

所以EF∥AC，

所以EF⊥PB，即EF与PB所成角的大小为90°.故选D.

7．解析：选D.因为双曲线C的离心率为，

所以c＝a，a＝b，

所以双曲线C的渐近线方程为x±y＝0，焦点坐标为(0，±a)，

由题意得＝2，

所以a＝b＝2，c＝2，曲线C的方程为－＝1.又函数y＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位得到曲线D，故曲线D的方程为y1＝sin＝－cos 2x.

结合两条曲线可以知道，当点A为双曲线的下顶点(0，－2)，点B为曲线D与y轴的交点(0，－1)时，线段AB的长度最小，且最小值为1.故选D.

8．解析：选A.方法一：因为参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，所以该参赛者答完三道题后，至少答对两道题的概率P＝C×＋C＝.故选A.

方法二：所求事件的对立事件是参赛者答完三道题后，至多答对一道题，因此所求事件的概率P＝1－－C××＝.故选A.

9．解析：选BD.因为向量a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，

所以a＝(－1，1)，b＝(2，0)，

所以|a|＝＝，|b|＝2，

所以|a|≠|b|，故选项A错误；

因为a·c＝(－1，1)·(1，1)＝0，

所以a⊥c，故选项B正确；

2×1≠0×1，故b不平行于c，故选项C错误；

cos θ＝＝－，

所以θ＝135°，故选项D正确．故选BD.

10．解析：选ACD.函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x－cos2 x＝sin 2x－cos 2x＝2sin，显然－2≤f(x)≤2，故A正确；

易知函数f(x)的最小正周期T＝＝π；所以C正确；

令f(x)＝0，得2x－＝kπ(k∈Z)，

解得x＝＋(k∈Z)，

当x∈(0，π)时，x＝或x＝，故函数f(x)在区间(0，π)上有2个零点，故B不正确；对于选项D，

通解：令2x－＝kπ＋(k∈Z)，

得x＝＋(k∈Z)，

令k＝0，得x＝，则直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，故D正确．

优解：因为f＝2，

所以直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，故D正确．故选ACD.

11．解析：选BCD.因为Sn＋1＝Sn＋2an＋1，

所以Sn＋1－Sn＝2an＋1，

即an＋1＝2an＋1，an＋1＋1＝2(an＋1)，

因为a1＝1，a1＋1＝2，

所以数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，因此选项B正确，A不正确；

又an＋1＝2·2n－1＝2n，所以an＝2n－1，故选项C正确；

＝＝－，

所以Tn＝＋＋…＋

＝1－<1，

所以选项D正确．故选BCD.

12．解析：选AD.如图，将该四棱台补形为四棱锥

S­ABCD，连接AC，BD相交于点O，连接A1C1，B1D1相交于点O1，连接SO，则SO过点O1，且SO⊥平面ABCD，

所以OO1为该四棱台的高．

因为A1B1∥AB，

所以＝＝＝，

所以SA＝4，SA1＝2，

由四边形ABCD为正方形且AB＝2，可得AO＝2，则A1O1＝1，

所以SO＝2，SO1＝，OO1＝，

故选项A正确；

因为SA＝SC＝AC＝4，

所以∠ASC＝60°，故选项B不正确；

梯形A1B1BA的高为　＝，故该四棱台的表面积为×＋2×2＋4××＝10＋6，故选项C不正确；

因为该四棱台的上、下底面都是正方形，因此该四棱台外接球的球心在直线OO1上，连接OB1，

在△OO1B1中，

由OO1＝，O1B1＝1可得OB1＝2，

又OB＝2，所以OB1＝OB，

所以该四棱台外接球的球心为O，球的半径r＝2，

所以外接球的表面积为4πr2＝16π，故选项D正确．故选AD.

13．解析：记f(x)＝4x＋x－1，

因为x∈(0，＋∞)，

所以f(x)＝4x＋x－1≥2＝4，

当且仅当4x＝x－1，

即x＝时取等号，

所以当x＝时，f(x)＝4x＋x－1取得最小值4，因此实数a的取值范围为(－∞，4]．

答案：(－∞，4)

14．解析：方法一：因为函数f(x＋1)是定义域为R的奇函数，

所以函数f(－x＋1)＝－f(x＋1)，

令x＝1，则f(0)＝－f(2)，

因为f(0)＝1，

所以f(2)＝－1.

方法二：因为函数f(x＋1)是定义域为R的奇函数，

所以函数f(x＋1)的图象关于原点对称，因此函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，

所以f(2)＝－f(0)＝－1.

答案：－1

15．解析：展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r·

＝Cx6－2r(a＋1)r，

令6－2r＝2，则r＝2，

因此展开式中含有x2项的系数为C(a＋1)2，

由题意知C(a＋1)2≤240，则|a＋1|≤4，

得－5≤a≤3，

因为a∈N，

所以a的取值集合A＝{0，1，2，3}，

所以由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共有CA＝18.

答案：18

16．解析：由抛物线的方程x2＝4y可知F(0，1)，设A(x0，y0)，

又由|AF|＝2，根据抛物线的定义可知|AF|＝y0＋＝y0＋1＝2，

解得y0＝1，

代入抛物线的方程，可得x0＝2，即A(2，1)．

如图，作抛物线的焦点F(0，1)，关于抛物线准线y＝－1的对称点F1(0，－3)，连接AF1交抛物线的准线y＝－1于点P，

此时能使得|PA|＋|PF|取得最小值，

此时点P的坐标为(1，－1)，在△PAF中，|AF|＝2，|PF|＝|PA|＝，

由余弦定理得cos∠APF＝＝，

则sin∠APF＝.

设△PAF的外接圆半径为R，

由正弦定理得2R＝＝，所以R＝，

即△PAF外接圆的半径R＝.

答案：