高考数学二轮专题复习之24分题专项练(一)

这是一份高考数学二轮专题复习之24分题专项练(一)，共4页。试卷主要包含了已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
24分题专项练(一)1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是其右焦点，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点，|AF|＋|BF|＝8.(1)求椭圆的标准方程；(2)设Q(3，0)，若∠AQB为锐角，求实数k的取值范围．    2．已知函数f(x)＝(a－1)ln x＋x＋，a∈R，f′(x)为函数f(x)的导函数．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a＝2时，证明：f(x)－f′(x)≤x＋对任意的x∈[1，2]都成立．  3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－1，0)，且点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线m：x＝－2，过F点作垂直于l的直线与直线m交于点T，求的最小值和此时l的方程．    4．已知函数f(x)＝ln x＋2ax－x2，其中0<a<e.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)讨论函数f(x)零点的个数．24分题专项练(一)1．解：(1)设F1为椭圆的左焦点，连接F1B，由椭圆的对称性可知，|AF|＝|F1B|，所以|AF|＋|BF|＝|BF1|＋|BF|＝2a＝8，所以a＝4.又解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)，联立得(4k2＋1)x2－16＝0，所以x1＋x2＝0，x1x2＝，因为∠AQB为锐角，所以·>0.所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝9－3(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2＝9－3(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＝9－>0，解得k>或k<－.2．解：(1)f′(x)＝＋1－＝＝.因为x>0，a∈R，所以当a≥0时，x＋a>0，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当－1<a<0时，0<－a<1，函数f(x)在(0，－a)上单调递增，在(－a，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当a＝－1时，f′(x)＝≥0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<－1时，－a>1，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增．(2)证明：当a＝2时，f(x)＝ln x＋x＋，f′(x)＝＋1－，所以f(x)－f′(x)－x－＝ln x－＋－1.令h(x)＝ln x－＋－1，x∈[1，2]，则h′(x)＝＋－＝.令u(x)＝x2＋x－4，对称轴为直线x＝－，开口向上，则函数u(x)在[1，2]上单调递增，u(1)<0，u(2)>0，所以存在唯一的x0∈(1，2)，使得u(x0)＝0，即h′(x)＝0.所以当x∈(1，x0)时，h′(x)<0；当x∈(x0，2)时，h′(x)>0.所以函数h(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，2)上单调递增．又h(1)＝0，h(2)＝ln 2－1<0，所以h(x)max＝0，即f(x)－f′(x)≤x＋对任意的x∈[1，2]都成立．3．解：(1)由题意可得解得所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1，T(－2，0)，A，B，此时＝.当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，则Δ＝8(k2＋1)>0，x1＋x2＝－，x1·x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|＝.由得所以T，所以|TF|＝，所以＝＝>＝(因为1＋k2≠k2，所以无法取等号)．综上，的最小值为，此时l的方程为x＝－1.4．解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x>0}．f′(x)＝(x－a)ln x＋·＋2a－x＝(x－a)(ln x－1)，令f′(x)＝0，得x＝a或x＝e.因为0<a<e，所以当0<x<a或x>e时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当a<x<e时，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以f(x)的单调递增区间为(0，a)，(e，＋∞)，单调递减区间为(a，e)．(2)由(1)可知f(x)在(0，a)上单调递增，又因为0<a<e，因此，当x∈(0，a]时，f(x)>0，即f(x)在区间(0，a]上无零点．下面讨论x>a的情况：①当0<a<时，f(x)在(a，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，且f(a)>0，f(e)＝e<0，f(e2)＝e4>0.根据零点存在定理，f(x)有两个不同的零点．②当a＝时，由f(x)在(a，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，且f(e)＝0得，此时f(x)有唯一的零点x＝e.③若<a<e，由f(x)在(a，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，f(x)≥f(e)＝e>0，此时f(x)无零点．综上，若0<a<，f(x)有两个不同的零点；若a＝，f(x)有唯一的零点x＝e；若<a<e，f(x)无零点．