2020届全国100所名校高考模拟金典卷理科数学（六）试题

100所名校高考模拟金典卷·数学（六）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由集合求出，进而求出即可.

【详解】∵，∴．

故选：A

【点睛】本题主要考查集合的运算，考查学生的运算求解能力．

2.已知复数满足，则（    ）

A. 2 B.  C. 3 D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出，再计算.

【详解】由得，

则．

故选：B

【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的模的计算，考查学生的基本运算能力.

3.已知函数的定义域为，则函数的值域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出集合，再判断出函数的单调性，从而求出函数的值域.

【详解】由得，所以

又因为函数在上单调递增，所以当时，．

故选：D

【点睛】本题主要考查了对数函数，指数函数的性质，考查了函数单调性的判断，考查了学生的运算求解能力.

4.若、 满足约束条件，目标函数取得的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得直线在轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可得出结果.

【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

联立，得，得点，

平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.

故选：C.

【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.

5.已知的面积为4，且，则的长为（    ）

A. 4 B.  C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由正弦定理得，又，故可求得.

【详解】，由正弦定理得，

又，

∴，得．

故选:A

【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，三角形的面积公式，考查了学生运算求解能力.

6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，始与岸齐，问水深、葭长各几何？”意思是说：“有一个边长为丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面尺．若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面．问水有多深？芦苇多长？”该题所求的水深为（    ）

A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺

【答案】A

【解析】

【分析】

设水深为尺，根据题意列出有关的方程，进而可求得的值，即可得出结论.

【详解】设水深为尺，依题意得，解得．

因此，水深为尺.

故选：A.

【点睛】本题考查中国数学史，考查考生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.

7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

作出三棱锥的直观图，结合三视图中的数据计算出三棱锥各条棱的棱长，进而可得出结果.

【详解】该三棱锥直观图如图所示，其中，，，，

因此，该三棱锥的最长棱的棱长为.

故选：C.

【点睛】本题考查三视图，考查考生的空间想象能力，属于中等题.

8.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是线段与抛物线的一个交点，若，则点到轴的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

设点，点，由得，利用向量的坐标运算可求出点的横坐标，由此可计算出点到轴的距离.

【详解】设点，点，易知点，

由得，则，则，解得，

因此，点到轴的距离为.

故选：D.

【点睛】本题考查抛物线上点的坐标的计算，涉及共线向量的坐标表示，考查计算能力，属于中等题.

9.把3男2女共5名新生分配给甲、乙、丙三个班，每个班分配的新生不少于1名但不多于2名，则甲班恰好被分配1名男生和1名女生的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题知，把5名新生按每个班分配的新生不少于1名但不多于2名，分配给甲、乙、丙三个班，共有种分配方案，其中甲班恰好被分配1名男生和1名女生的分配方案有种，运用古典概率公式即可求出概率.

【详解】把5名新生按每个班分配的新生不少于1名但不多于2名，分配给甲、乙、丙三个班，共有种分配方案，其中甲班恰好被分配1名男生和1名女生的分配方案有种，则所求概率为．

故选：B

【点睛】本题主要考查排列组合的应用，分组分配问题的求解，古典概率的计算.

10.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，在区间上单调递增，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

求得函数的解析式为，由计算出的取值范围，根据题意得出关于的不等式，由此可得出结果.

【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则，

当时，，

由于函数在区间上单调递增，则，

，解得，

，则当时，取得最小值.

故选：C.

【点睛】本题考查利用三角函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了利用三角函数图象变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.

11.已知圆柱的表面积为定值，当圆柱的容积最大时，圆柱的高的值为（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】

设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，则可得，则圆柱的体积为，利用导数求出最大值，确定值.

【详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，

∴，∴，则圆柱的体积，

∴，由得，由得，

∴当时，取极大值，也是最大值，即．

故选：B

【点睛】本题主要考查了圆柱的表面积和体积的计算，考查了导数的实际应用，考查了学生的应用意识.

12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（　　）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，由，得到，

在直角三角形中，可得，得到，再由双曲线的定义，解得，利用双曲线的离心率的定义，即可求解.

【详解】设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，

由，且为的中位线，可得，

即有，

在直角三角形中，可得，即有，

由双曲线的定义可得，可得，

所以，所以，故选A.

【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．

13.在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答）．

【答案】60

【解析】

【分析】

由题知的展开式的通项为，令得，即可得常数项.

【详解】由题知展开式的通项为，

令得，则常数项为．

故答案为：60

【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力.

14.若，则_________．

【答案】

【解析】

【分析】

利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得结果.

【详解】．

故答案：.

【点睛】本题考查三角恒等变换求值，涉及诱导公式和二倍角余弦公式的应用，考查考生的逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.

15.在中，，，，是上一点，且，则__________．

【答案】2

【解析】

【分析】

由题可设，则，由条件算出，则可得.

【详解】设，∵， ，得，，

∴．

故答案为：2

【点睛】本题主要考查了向量的线性运算和数量积，考查学生的运算求解能力．

16.如图，在直三棱柱中，，，是上一点，且，是的中点，是上一点．当时，平面，则三棱柱外接球的表面积为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

连接交于，连接，则，可得，设外接球球心在平面的射影为点，则点为的外接圆的圆心，计算可得的外接圆的半径为，故可求外接球的半径，从而算出球的表面积.

【详解】

如图，连接交于，连接，∵平面，∴，

∵，∴，则，

设外接球的球心在平面的射影为点，则点为的外接圆的圆心，

∴外接球的球心到平面的距离，

∵，，

由正弦定理得，外接圆的半径，

则所求外接球的半径，其表面积为．

故答案为：

【点睛】本题主要考查线面平行的性质，直三棱柱的外接球的表面积计算，考查考生的空间想象和推理论证能力．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17.在数列、中，设是数列的前项和，已知，，，．

（1）求和；

（2）若当时，恒成立，求整数的最小值．

【答案】（1）；；（2）11．

【解析】

【分析】

（1）由得，可判断数列是等差数列，由公式求出和；

（2）由（1）得，则当时，，可得，则有，故可得整数最小值.

【详解】（1）因为，所以，即，所以是等差数列，

又，所以，从而．

（2）因为，所以   ①

当时，     ②

由①-②可得，，即，

而也满足，故．

令，则，即，

因为，，依据指数增长性质，得整数的最小值是11．

【点睛】本题主要考查等差数列，前项和与的关系，考查了学生的运算求解能力．

18.某汽车品牌为了解客户对其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：

满意率是指某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等．

（1）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；

（2）从Ⅰ型号和Ⅴ型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望．

【答案】（1）；（2）分布列详见解析，期望为0.7．

【解析】

【分析】

（1）求出样本中的回访客户的总数和满意的客户人数，即可求出概率；

（2）由题知，计算出取值相应的概率，列出分布列，计算出期望即可.

【详解】（1）由题意知，样本中的回访客户的总数是，

满意的客户人数是，

故所求概率为．

（2）．

设事件为“从Ⅰ型号汽车所有客户中随机抽取的人对Ⅰ型号汽车满意”，

事件为“从Ⅴ型号汽车所有客户中随机抽取的人对Ⅴ型号汽车满意”，且、为独立事件．

根据题意，估计为0.5，估计为0.2．

则；

；

．

的分布列为

的期望．

【点睛】本题主要考查了概率与统计的相关知识，考查了离散型随机变量的分布列和期望的计算，考查了学生的数据处理和运算求解能力．

19.如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点在上，且．

（1）点在上，，求证：平面；

（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

【分析】

（1）先证明四边形为平行四边形，得，则，又可得，即可证明平面；

（2）根据线面角定义找出与平面所成角，得的长度，然后建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再利用向量法求出二面角的余弦值.

【详解】（1）∵，，∴，

∵底面是直角梯形，，，

∴，即，则，

∵，，∴，

∴四边形是平行四边形，则，∴，

∵底面，∴，

∵，∴平面．

（2）∵，，∴平面，则为直线与平面所成的角，

则，即，

取的中点为，连接，则，以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，

设平面的法向量，则，

即，令，则，，∴，

∵是平面的一个法向量，∴，

即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明和用向量法求二面角的大小，考查学生的直观想象，运算求解和推理论证能力.

20.设、是椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于、的一点．

（1）是椭圆的上顶点，且直线与直线垂直，求点到轴的距离；

（2）过点的直线（不过坐标原点）与椭圆交于、两点，且点在轴上方，点在轴下方，若，求直线的斜率．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设点，根据，可求得直线的方程，并将直线与椭圆的方程联立，可求出点的坐标，进而可求得点到轴的距离；

（2）设点、，设直线的方程为，可知，，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由得，结合韦达定理可求得实数的值，进而可求得直线的斜率.

【详解】（1）设点，又、、．

直线与直线垂直，直线的斜率为，

直线的斜率为，则直线的方程为，

联立椭圆方程，消去得，

解得，则，因此，点到轴的距离为；

（2）设、，则，，设直线的方程为，

代入椭圆的方程消去，得，

得，，

由，知，即，

代入上式得，，

所以，解得，

，则，所以，，故直线的斜率为．

【点睛】本题考查利用直线与椭圆的位置关系求点的坐标，同时也考查了利用直线与椭圆的位置关系求直线的斜率，考查运算求解能力，属于中等题.

21.已知函数，其中为自然对数的底数.

（Ⅰ）当时，求证：时，；

（Ⅱ）当时，计论函数的极值点个数.

【答案】(Ⅰ)详见解析（Ⅱ）详见解析

【解析】

【分析】

（Ⅰ）求出，令，求出，从而判断的单调性，由即可判断的正负情况，从而求得在递减，递增；当时，成立，命题得证．

（Ⅱ）对的范围分类讨论，由的单调性求得，把看作变量，求得的单调性，从而得到（当且仅当时取等号），再对的范围分类讨论的单调性，从而判断的单调性，从而求得极值点个数．

【详解】(Ⅰ)由，易知，设，则，当时，，又

∴时，，时，，即在递减，递增；所以当时，得证.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，当时，当且仅当在处取得极小值，无极大值，故此时极值点个数为1；

当时，易知在递减，递增，所以，又设，其中，则对恒成立，所以单调递减，（当且仅当时取等号），所以当时，即在单调递增，故此时极值点个数为0；

当时，，在递增，又，所以当时，

当时，即总在处取得极小值；又当且时，，所以存在唯一使得，且当时，当时，则在处取得极大值；故此时极值点个数为2；

综上，当时，的极值点个数为0；当时，的极值点个数为2；当时的极值点个数为1.

【点睛】本题主要考查了利用导数证明不等式成立、极值点的概念及利用导数判断函数极值点个数，还考查了转化思想及分类讨论思想，考查分析能力及计算能力，属于难题．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

(1)求直线与曲线公共点的极坐标；

(2)设过点的直线交曲线于，两点，且的中点为，求直线的斜率．

【答案】(1) 直线与曲线公共点的极坐标为， (2)-1

【解析】

分析】

(1)写出直线l和曲线的直角坐标方程，然后联立求交点坐标，化成极坐标即可;(2)写出直线的参数方程代入曲线中，利用弦中点参数的几何意义即可求解.

【详解】（1）曲线的普通方程为，

直线的普通方程为

联立方程，解得或

所以，直线与曲线公共点的极坐标为，

（2）依题意，设直线的参数方程为（为倾斜角，为参数），

代入，整理得：.

因为的中点为，则.

所以，即.

直线的斜率为-1.

【点睛】本题考查直线和圆的参数方程，考查参数的几何意义的应用，属于基础题型.

23.已知函数．

（1）求的值域；

（2）若的最大值时，已知均为正实数，且，

求证：．

【答案】（1）（﹣∞，1]；（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）根据零点分段法，分 分别去绝对值，得到分段函数，再画分段函数的图象，得到函数的值域；（2）根据（1）知 ，再根据柯西不等式 证明.

试题解析：（Ⅰ）解：函数f（x）=|x﹣|﹣|2x+1|=，

函数的图象如图所示，则函数的值域为（﹣∞，1]；

（Ⅱ）证明：由题意x，y，z均为正实数，x+y+z=1，

由柯西不等式可得（x+y+z）（++）≥（y+z+z）2=1，

∴++≥1．