浙江省湖州中学2020届高三下学期高考模拟测试(二)数学试题（解析版）

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浙江省湖州中学

2019学年第二学期高三年级高考阶段测试二

数学

考生须知：全卷分试卷和答卷，满分为120分，考试时间90分钟.

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合则（    ）

A. [－1，3] B. [－1，1]

C. （3，4） D. （1，2）

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意结合一元二次不等式的求解可得，再由集合的补集、交集运算即可得解.

【详解】由题意，

或，

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.

2. 已知i是虚数单位，则等于（  ）

A. 1 i B. 1 i C.  1  i D.  1＋i

【答案】B

【解析】

【分析】

直接由复数代数形式的除法运算化简得答案．

【详解】，

故选B．

【点睛】本题考查了复数代数形式乘除运算，是基础题．

3. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是

A. 1cm3 B. 2cm3 C. 3cm3 D. 6cm3

【答案】A

【解析】

【详解】

【分析】

观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角

形，右侧面也是一直角三角形．

故体积等于．

4. 若，则 是“”的（ ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充分且必要条件 D. 既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】

试题分析：，显然由可以得出“”，反之由“”，不一定有，所以 是“”的充分非必要条件.　

考点：本小题主要考查不等式的性质和充分条件、必要条件的判断.

点评：比较大小的常用方法是作差或作商，要灵活运用，要判断充分条件、必要条件，首先要看清谁是条件谁是结论，分清楚是谁能推出谁.

5. 已知a＞0，x，y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1，则a=

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】B

【解析】

【详解】画出不等式组表示的平面区域如图所示：

当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时，取得最小值，而点A的坐标为（1，），所以

，解得，故选B.

【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.

6. 随机变量的分布列如表所示，则（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意结合分布列的性质可得，由离散型随机变量的期望公式可得，再由方差公式即可得解.

【详解】由题意，则，

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列性质的应用及期望、方差的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.

7. 把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则m的最小值是　　

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三角函数的诱导公式化成同名函数，结合三角函数的图象平移关系进行求解即可．

【详解】解：把函数的图象向左平移个单位，

得到，

，

由，得，

，

当时，m最小，此时，

故选B．

【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象平移关系以及三角函数的诱导公式进行化简是解决本题的关键．

8. 已知为上的可导函数，当时，，若，则函数的零点个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或2

【答案】A

【解析】

令，则．故由题设可知当时， ，函数在上单调递增，且，即函数在内无零点，所以函数在内无零点；

当时， ，函数在上单调递减，且，则函数在内无零点，即函数在内无零点．综合函数在与内均无零点，应选答案A．

点睛：解答本题的关键是依据题设条件构设函数，然后再借助导数知识判断该函数的单调性，最后再运用分类整合思想推断函数方程中的零点的个数，从而使得问题获解．

9. 已知向量满足，且，则的最小值为（    ）

A.  B. 4 C. 2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意知，可设，，由向量的坐标运算可得，，可转为在直线上取一点B，使得最小，利用化曲为直的思想即可得到答案.

【详解】由题意知，可设,因为，则点B在直线上，如图，,则,,,则的最小值,可转化为在直线上取一点B，使得最小，作点C关于直线的对称点,则的最小值即为,设点，则，解得，

则,即最小值为，

故选：D

【点睛】本题考查了向量的坐标运算及向量的几何意义，考查了化曲为直的转化思想和数形结合的思想，综合性较强.

10. 如图所示，在底面为正三角形的棱台中，记锐二面角的大小为，锐二面角的大小为，锐二面角的大小为，若，则　　

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

分析】

利用二面角的定义，数形结合能求出结果．

【详解】解：棱台的侧棱延长交于点P

过点P在平面ABC上的射影为H，

设H到AB,BC,AC的距离分别为，

∵，

∴，

则

故H所在区域如图所示（点D为垂心）

比较即比较PA，PB，PC，

即比较HA，HB，HC，

由图可知：HC>HA>HB

∴

故选D．

【点睛】本题考查三棱台中三条侧棱长的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

二、填空题：本大题共7小题，共36分.

11. 已知，则_____，_____

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

由题意结合同角三角函数的关系可得，再由两角和的正切公式、二倍角的余弦公式即可得解.

【详解】因为，所以，

所以，所以，

所以；

故答案为：；.

【点睛】本题考查了同角三角函数关系、三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

12. 若=，则的值为________；_____

【答案】    (1). 80    (2). 243

【解析】

【分析】

由题意结合二项式定理可得展开式的通项公式，给赋值即可得、、；结合通项公式可得、、为正数、、、为负数，令可得，进而可得，即可得解.

【详解】由题意二项式展开式的通项公式为

，

令即可得，

所以；

令即可得，所以，

令即可得，

所以，

所以，

由通项公式可得当、、时，为正数，即、、为正数；

当、、时，为负数，即、、为负数；

令则，

所以，

所以.

故答案为：80；243.

【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，合理转化条件、细心计算是解题关键，属于中档题.

13. 已知，且，则的最小值为_____________.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.

【详解】由可知，

且：，因为对于任意，恒成立，

结合均值不等式的结论可得：.

当且仅当，即时等号成立.

综上可得的最小值为.

【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

14. 已知，，，若，则=____.

【答案】

【解析】

【分析】

设，用含的式子表示出、以及，列出关于的等式，再运用换元法求解的值.

【详解】设，则

，所以，两边同除以得，，

即，解得，又，故，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查对数式的求值问题，其解答的本质是将对数式化为指数式，将问题转化为指数式方程的运算问题，难度一般.

15. 设，那么满足的所有有序数组的组数为___________.

【答案】

【解析】

分类讨论：

① ，则这四个数为或，

有组；

② ，则这四个数为或，

有组；

③ ，则这四个数为或或，

有组；

综上可得，所有有序数组的组数为.

点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．

(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．

16. 过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线，垂足为P，与另一条渐近线交于点.若，则该双曲线的离心率为_______.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意结合双曲线的性质可设直线的方程为，联立方程组可得点、点，再由平面向量的知识可得，化简后结合双曲线的离心率公式即可得解.

【详解】由题意可得该双曲线的渐近线方程为，设右焦点，

不妨令直线垂直于直线，则直线的方程为，

由可得点，

因为，所以点，

由可得点，

又，所以即，

所以，

所以该双曲线的离心率.

故答案为：.

【点睛】本题考查了双曲线性质的应用及离心率的求解，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.

17. 设，为的展开式的各项系数之和，，，（表示不超过实数x的最大整数），则的最小值为_____

【答案】

【解析】

利用赋值法，令可得：，

，

利用数学归纳法证明：，

当时，成立，

假设当时不等式成立，即，当时：

据此可知命题成立，

则，，

，故，

的几何意义为点到点的距离，

如图所示，最小值即到的距离，由点到直线距离公式可得的最小值为.

点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．

三、解答题：本大题共3小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

18. 已知向量，，设函数．

（1）若，，求的值；

（2）在△中，角，，的对边分别是且满足求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题意结合平面向量的数量积运算、三角恒等变换可得，利用三角函数的性质即可得解；

（2）由题意结合正弦定理、三角恒等变换可得，进而可得，利用三角函数的图象与性质即可得解.

【详解】（1）由题意

，

因为，所以，

又，所以，

所以即；

（2）由可得，

因为，所以，

所以即，

由可得，所以，所以，

所以，，

所以.

【点睛】本题考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质及正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.

19. 数列的前n项和为，且满足，

Ⅰ求通项公式；

Ⅱ记，求证：．

【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析

【解析】

【分析】

Ⅰ直接利用递推关系式求出数列的通项公式．

Ⅱ利用等比数列的前n项和公式和放缩法求出数列的和．

【详解】解：Ⅰ，

当时，，

得，

又，

，

数列是首项为1，公比为2的等比数列，

；

证明：Ⅱ，

，

时，，

，

同理：，

故：．

【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n项和公式和放缩法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

20. 已知椭圆：，其左、右焦点分别为，上顶点为，为坐标原点，过的直线交椭圆于两点，.

（1）若直线垂直于轴，求的值；

（2）若，直线斜率为，则椭圆上是否存在一点，使得关于直线成轴对称？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）设直线:上总存在点满足，当的取值最小时，求直线的倾斜角.

【答案】(1)5；(2)不存在；(3).

【解析】

试题分析：

（1）由题意可得，则，结合勾股定理可得，，则.

（2）由题意可得椭圆方程为，且，的坐标分别为，由对称性可求得点坐标为，该点不在椭圆上，则椭圆上不存在满足题意的点.

（3）由题意可得椭圆方程为，且，的坐标为，设直线的y轴截距式方程，与椭圆方程联立有，由题意可知点是线段的中点，据此计算可得，

当且仅当时取等号.则直线的倾斜角.

试题解析：

（1）因为，则，

即，设椭圆的半焦距为，则，在直角中，，即

解得，，所以

（2）由，，得，因此椭圆方程为，且，

的坐标分别为，直线的方程为，设点坐标为，

则由已知可得：，解得，而，

即点 不在椭圆上，

所以，椭圆上不存在这样的点，使得关于直线成轴对称.

（3）由，得椭圆方程为，且，的坐标为，所以可设直线的方程为，代入得：，

因为点满足，所以点是线段的中点，

设的坐标为，则 ，

因为直线上总存在点满足，

所以，且，所以，

当且仅当，即时取等号.所以当时，，此时直线的倾斜角.

点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．