江苏省南通市如皋市2021届高三下学期5月第三次适应性考试：数学+答案

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 14．乙 15． 16．；
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解： 当选①时，在中，由正弦定理得：，
因为，所以，所以 ……………………3分
在中，由余弦定理得：，
所以，所以 ………………………………………………………………………7分
所以…………………………………………………10分 当选②时，在中，由余弦定理得：
因为，所以，所以(舍负) ………………………7分
所以…………………………………………………10分
当选③时，因为，所以……………3分
在中，由正弦定理得：，因为，
所以，因为， 所以 …7分
所以……………………………………………10分
18．解：(1)因为，所以
得： ……………………………………………………………2分
在①中，令，所以，
因为，所以，因为，所以 ………………………………3分
所以，所以数列中所有奇数项和偶数项都为公差为2的等差数列 ……4分
当为奇数时，；
当为偶数时，
综合得： …………………………………………………………………………6分
(2) …………………………………………………10分
所以 …………………12分
19．(1)设”求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次”为事件A，
购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数为X，
，
，
………………………………4分
答：购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率为……………5分
(2) 当选择方案一，小李可能交纳的维修费为 ……………8分
当选择方案二，小李可能交纳的维修费为…………………11分
因为，所以小李选择质保方案一更合算. ………………………………………12分
20．(1)证明：在三棱台中, ,,因为,
所以因为平面，平面，所以，，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以………………………………………………………3分
因为，所以，因为,所以四边形为平行四边形，
因为,所以四边形为正方形，所以 …………………5分
因为平面，,所以平面，因为平面，
所以平面平面……………………………………………………………………7分
(2) 以为坐标原点，直线所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，
在三棱台中, ，
所以，
则，
所以，设平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为,
因为， 所以，令，则，
所以……………………………………………………………………………10分
同理，所以，
由图可知：二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为 ……………………………………………………12分
21．解：(1)设椭圆的焦距为，因为的周长为6，面积为,
所以，由①得：，将此式代入②得：，
所以， 所以或………………………………………3分
当时，，所以不满足题意；
当时，，所以满足题意.
所以椭圆的方程为………………………………………………………………4分
(2)①当直线的斜率不存在时，直线方程为
由得：， 所以， 所以
所以， 所以 ……………………………………………………6分
②当直线的斜率存在时，设直线方程为，设
由 得：，
所以， ………………………………8分
所以，所以…………11分
综上所述：为定值………………………………………………………………………12分
22．解：(1)设，
…………………………………………………………2分
设，
因为，所以在为减函数 …………………4分
当时，，，在为增函数；
当时，，，在为减函数
所以，所以(当且仅当时取“=”)，
所以两函数图像有且只有一个公共点 ………………………………………………………6分
(2)由(1)知：时，，所以，
因为，所以，
所以 ………………………………………………………10分
所以…………12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
A
B
A
D
B
A
C
B
题号
9
10
11
12
选项
ABC
ABC
AD
BCD