2021年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（四）

这是一份2021年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（四），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（四）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1
2．（3分）据不完全统计，截至2020年4月2号，华为官方应用市场“学习强国APP”下载量已达88300000次．将数据88300000用科学记数法表示为（　　）
A．0.883×109 B．8.83×108 C．8.83×107 D．88.3×106
3．（3分）下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（　　）

A．3 B．5 C．6 D．7
5．（3分）如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为8，AB＝10，则OA的长为（　　）

A．3 B．6 C． D．
6．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．﹣＝ B．3×2＝6 C．（2）2＝16 D．＝1
7．（3分）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，求共有多少人？设有x人，根据题意可列方程为（　　）
A．﹣2＝ B．+2＝ C．+2＝ D．﹣2＝
8．（3分）按如图所示的运算程序，能使输出的结果是3的是（　　）

A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝2 C．x＝2，y＝1 D．x＝2，y＝2
9．（3分）某班17名女同学的跳远成绩如下表所示：
成绩（m）
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
这些女同学跳远成绩的众数和中位数分别是（　　）
A．1.70，1.75 B．1.75，1.70 C．1.70，1.70 D．1.75，1.725
10．（3分）如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点G，H，∠CHG的平分线HM交AB于点M，若∠EGB＝50°，则∠GMH的度数为（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（　　）

A． B． C． D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在函数y＝（x＞0，k＞0）的图象上．若正方形ADEF的面积为4，且BF＝2AF，则k的值为（　　）

A．24 B．12 C．6 D．3
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
14．（3分）在不透明的袋中装有除颜色外其他都相同的3个红球和2个白球，搅匀后从中随机摸出2个球，则摸出的两个球恰好是一红一白的概率是　 　．
15．（3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，刚好过点O，以点D为圆心，DO的长为半径画弧，交AD于点E，若AC＝2，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留π）

16．（3分）某快递公司快递员甲匀速骑车去距公司6000米的某小区取物件，出发几分钟后，该公司快递员乙发现甲的手机落在公司，于是立马匀速骑车去追赶甲，乙出发几分钟后，甲也发现自己的手机落在了公司，立即调头以原速的2倍原路返回，1分钟后遇到了乙，乙把手机给甲后，乙以原速的一半原路返回公司，甲以返回时的速度继续去小区取物件，刚好在事先预计的时间到达该小区．甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（给手机及中途其它耽误时间忽略不计），则甲到小区时，乙距公司的路程是　 　米．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：÷，其中x＝﹣2．
19．（6分）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上一点，连接AD．AE∥BD，∠BAC＝∠DAE，连接CE交AD于点F．
（1）若∠D＝36°，求∠B的度数；
（2）若CA平分∠BCE，求证：△ABD≌△ACE．

21．（8分）某学校准备成立男女校足球队，为了解全校学生对足球的喜爱程度，该校设计了一个调查问卷，将喜爱程度分为A（非常喜欢）、B（喜欢）、C（不太喜欢），D（很不喜欢）四种类型，并派学生会会员进行市场调查，其中一名学生会会员小丽在校门口对上学学生进行了随机调查，并根据调查结果制成了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图所给信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图（图1）中C所占的百分比是　 　；小丽本次抽样调查的人数共有　 　人；
请将折线统计图（图2）补充完整；
（2）为了解少数学生很不喜欢足球的原因，小丽决定在上述调查结果中从“很不喜欢”足球的学生里随机选
出两位进行回访，请你用列表法或画树状图的方法，求所选出的两位学生恰好是一男一女的概率．

22．（9分）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．
（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？
（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？
23．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．
（I）求证：AC平分∠FAB；
（2）求证：BC2＝CE•CP；
（3）当AB＝4且＝时，求弦BC与其所对的劣弧所组成的弓形面积．

24．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）与x轴交于点A．

（1）求点A的坐标；
（2）设抛物线的顶点为P，点B是第一象限抛物线上的一动点，若S△OBP＝2S△OAP，求证：点B总在一条直线上运动；
（3）若a＝1，直线y＝x+4与抛物线交于点M，N，点C是x轴下方抛物线上的一点，连接CM交y轴于点E，直线DM交y轴于点F，交抛物线于点D（D在N左侧），∠NMD＝∠NMC，求的值．
25．（10分）定义：若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为xA，xB，与y轴的交点C的纵坐标为yC，若xA，xB中至少存在一个值，满足xA＝yC（或xB＝yC），则称该函数为“M函数”．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x轴的一个交点A的横坐标为﹣3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足xA＝yC，则称y＝x2+2x﹣3为“M函数”．
（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为“M函数”，并说明理由；
（2）请探究“M函数”y＝x2+bx+c（c≠0）表达式中的b与c之间的关系；
（3）若y＝x2+bx+c是“M函数”，且∠ACB为锐角，求c的取值范围．


2021年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（四）
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据题意，结合实数大小的比较，从符号和绝对值两个方面分析可得答案．
【解答】解：比﹣2小的数是应该是负数，且绝对值大于2的数；
分析选项可得，只有A符合．
故选：A．
2．（3分）据不完全统计，截至2020年4月2号，华为官方应用市场“学习强国APP”下载量已达88300000次．将数据88300000用科学记数法表示为（　　）
A．0.883×109 B．8.83×108 C．8.83×107 D．88.3×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：88300000＝8.83×107，
故选：C．
3．（3分）下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：A．
4．（3分）如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（　　）

A．3 B．5 C．6 D．7
【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长．
【解答】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，
∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．
∴PD＝1，PE＝2，AB＝3，
∵AB∥A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴＝，即＝，
∴A′B′＝6，
故选：C．

5．（3分）如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为8，AB＝10，则OA的长为（　　）

A．3 B．6 C． D．
【分析】连接OC，直接利用切线的性质得出AC的长，再利用勾股定理得出答案．
【解答】解：连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵OA＝OB，
∴AC＝BC＝AB＝5，
在Rt△AOC中，
OA＝＝．
故选：D．

6．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．﹣＝ B．3×2＝6 C．（2）2＝16 D．＝1
【分析】A、和不是同类二次根式，不能合并；
B、二次根式相乘，系数相乘作为积的系数，被开方数相乘，作为积中的被开方数；
C、二次根式的乘方，把每个因式分别平方，再相乘；
D、二次根式的除法，把分母中的根号化去．
【解答】解：A、不能化简，所以此选项错误；
B、3×＝6，所以此选项正确；
C、（2）2＝4×2＝8，所以此选项错误；
D、＝＝，所以此选项错误；
本题选择正确的，故选B．
7．（3分）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，求共有多少人？设有x人，根据题意可列方程为（　　）
A．﹣2＝ B．+2＝ C．+2＝ D．﹣2＝
【分析】设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设有x人，
依题意，得：+2＝．
故选：C．
8．（3分）按如图所示的运算程序，能使输出的结果是3的是（　　）

A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝2 C．x＝2，y＝1 D．x＝2，y＝2
【分析】把各项x与y的值代入运算程序中计算得到结果，判断即可．
【解答】解：A、把x＝1，y＝1代入运算程序得：0+1＝1，不符合题意；
B、把x＝1，y＝2代入运算程序得：4﹣2＝2，不符合题意；
C、把x＝2，y＝1代入运算程序得：1+1＝2，不符合题意；
D、把x＝2，y＝2代入运算程序得：1+2＝3，符合题意．
故选：D．
9．（3分）某班17名女同学的跳远成绩如下表所示：
成绩（m）
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
这些女同学跳远成绩的众数和中位数分别是（　　）
A．1.70，1.75 B．1.75，1.70 C．1.70，1.70 D．1.75，1.725
【分析】中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：由表可知，1.75出现次数最多，所以众数为1.75；
由于一共调查了2+3+2+3+1+1+1＝17人，
所以中位数为排序后的第9人，即：1.70．
故选：B．
10．（3分）如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点G，H，∠CHG的平分线HM交AB于点M，若∠EGB＝50°，则∠GMH的度数为（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°
【分析】由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠EHD的度数，利用邻补角互补可求出∠CHG的度数，结合角平分线的定义可求出∠CHM的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠GMH＝∠CHM＝65°，此题得解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EHD＝∠EGB＝50°，
∴∠CHG＝180°﹣∠EHD＝180°﹣50°＝130°．
∵HM平分∠CHG，
∴∠CHM＝∠GHM＝∠CHG＝65°．
∵AB∥CD，
∴∠GMH＝∠CHM＝65°．
故选：D．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC＝90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM＝EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF＝AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
即∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴AM＝EF＝AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于，
∴AM的最小值是．
故选：D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在函数y＝（x＞0，k＞0）的图象上．若正方形ADEF的面积为4，且BF＝2AF，则k的值为（　　）

A．24 B．12 C．6 D．3
【分析】先由正方形ADEF的面积为4，得出边长为2，求得AB．再设B点的横坐标为t，则E点坐标（t+2，2），根据点B、E在反比例函数y＝的图象上，列出t的方程，即可求出k．
【解答】解：∵正方形ADEF的面积为4，
∴正方形ADEF的边长为2，
∴BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．
设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t+2，2），
∵点B、E在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝6t＝2（t+2），
解得t＝1，k＝6．
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是　x≥　．
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，可得出x的取值范围．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴2x﹣1≥0，
解得：x≥．
故答案为：x≥．
14．（3分）在不透明的袋中装有除颜色外其他都相同的3个红球和2个白球，搅匀后从中随机摸出2个球，则摸出的两个球恰好是一红一白的概率是　　．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：列表如下：

红
红
红
白
白
红

（红，红）
（红，红）
（红，白）
（红，白）
红
（红，红）

（红，红）
（红，白）
（红，白）
红
（红，红）
（红，红）

（红，白）
（红，白）
白
（白，红）
（白，红）
（白，红）

（白，白）
白
（白，红）
（白，红）
（白，红）
（白，白）

由树状图知，共有20种等可能结果，其中摸出的两个球恰好一红一白的有12种结果，
∴摸出的两个球恰好一红一白的概率为＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，刚好过点O，以点D为圆心，DO的长为半径画弧，交AD于点E，若AC＝2，则图中阴影部分的面积为　　．（结果保留π）

【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形ABO和扇形DEO的面积之和，然后根据题目中的数据，可以求得AB、OA、DE的长，∠BAO和∠EDO的度数，从而可以解答本题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AB＝AO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∴∠EDO＝30°，
∵AC＝2，
∴OA＝OD＝1，
∴图中阴影部分的面积为：＝，
故答案为：．
16．（3分）某快递公司快递员甲匀速骑车去距公司6000米的某小区取物件，出发几分钟后，该公司快递员乙发现甲的手机落在公司，于是立马匀速骑车去追赶甲，乙出发几分钟后，甲也发现自己的手机落在了公司，立即调头以原速的2倍原路返回，1分钟后遇到了乙，乙把手机给甲后，乙以原速的一半原路返回公司，甲以返回时的速度继续去小区取物件，刚好在事先预计的时间到达该小区．甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（给手机及中途其它耽误时间忽略不计），则甲到小区时，乙距公司的路程是　1500　米．

【分析】甲开始的速度为a（m/min），则甲后来的速度为2a（m/min），根据“刚好在事先预计的时间到达该小区”，结合函数图象列出方程，可以分别求得甲乙的速度和甲到达公司的时间，进而求得甲到小区时，乙距公司的路程．
【解答】解：设甲开始的速度为a（m/min），则甲后来的速度为2a（m/min），
由题意可得，9+＝，
解得，a＝500，
设乙的速度为b（m/min），由甲乙相遇知，
（9﹣）b+2a•1＝（9﹣1）a，
∴b＝1000，
∴甲乙相遇时乙距公司的路程为：（9﹣）×1000＝3000，
甲到达小区的时间为：＝12（min），
∴甲到小区时，乙距公司的路程为：3000﹣1000××（12﹣9）＝1500（m），
故答案为：1500．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+2×﹣1
＝﹣1+1﹣1
＝﹣．
18．（6分）先化简，再求值：÷，其中x＝﹣2．
【分析】先通分计算分式加减，再把除法统一成乘法后约分．最后代入求值．
【解答】解：÷
＝
＝
＝，
当x＝﹣2时，
原式＝．
19．（6分）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【分析】通过解直角△BCD和直角△ACD分别求得BD、CD以及AD的长度，则易得AB的长度，则根据题意得到整个过程中旗子上升高度，由“速度＝”进行解答即可．
【解答】解：在Rt△BCD中，BD＝9米，∠BCD＝45°，则BD＝CD＝9米．
在Rt△ACD中，CD＝9米，∠ACD＝37°，则AD＝CD•tan37°≈9×0.75＝6.75（米）．
所以，AB＝AD+BD＝15.75米，
整个过程中旗子上升高度是：15.75﹣2.25＝13.5（米），
因为耗时45s，
所以上升速度v＝＝0.3（米/秒）．
答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上一点，连接AD．AE∥BD，∠BAC＝∠DAE，连接CE交AD于点F．
（1）若∠D＝36°，求∠B的度数；
（2）若CA平分∠BCE，求证：△ABD≌△ACE．

【分析】（1）可得∠DAE＝∠BAC，∠B＝∠ACB，由三角形内角和定理可求出答案；
（2）证得∠B＝∠ACE，∠BAD＝∠CAE，可证明△ABD≌△ACE（ASA）．
【解答】解：（1）∵AE∥BD，
∴∠DAE＝∠D，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠D＝∠BAC＝36°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝＝＝72°．
（2）证明：∵CA平分∠BCE，
∴∠BCA＝∠ACE，
∵∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
21．（8分）某学校准备成立男女校足球队，为了解全校学生对足球的喜爱程度，该校设计了一个调查问卷，将喜爱程度分为A（非常喜欢）、B（喜欢）、C（不太喜欢），D（很不喜欢）四种类型，并派学生会会员进行市场调查，其中一名学生会会员小丽在校门口对上学学生进行了随机调查，并根据调查结果制成了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图所给信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图（图1）中C所占的百分比是　22%　；小丽本次抽样调查的人数共有　50　人；
请将折线统计图（图2）补充完整；
（2）为了解少数学生很不喜欢足球的原因，小丽决定在上述调查结果中从“很不喜欢”足球的学生里随机选
出两位进行回访，请你用列表法或画树状图的方法，求所选出的两位学生恰好是一男一女的概率．

【分析】（1）用整体1减去A、B、D所占的百分比，剩下的就是图中C所占的百分比；用非常喜欢足球的人数除以所占的百分比，求出本次抽样调查的总人数，再分别求出不太喜欢足球的男生和很不喜欢足球的男生，从而补全统计图；
（2）先根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求出答案．
【解答】解：（1）在扇形统计图中C所占的百分比是：1﹣20%﹣52%﹣6%＝22%；
小丽本次抽样调查的共有人数是：＝50（人）；
不太喜欢足球的男生有：50×22%﹣5＝6（人），
很不喜欢足球的男生有：50×6%﹣1＝2（人），
补图如下：

故答案为：22%，50；

（2）根据题意画图如下：

共有6种情况，是一男一女的有4种情况，
故所选出的两位学生恰好是一男一女的概率是＝．
22．（9分）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．
（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？
（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？
【分析】（1）设小本作业本每本x元，则大本作业本每本（x+0.3）元，根据数量＝总价÷单价结合用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设大本作业本购买m本，则小本作业本购买2m本，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过15元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设小本作业本每本x元，则大本作业本每本（x+0.3）元，
依题意，得：＝，
解得：x＝0.5，
经检验，x＝0.5是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.3＝0.8．
答：大本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.5元．
（2）设大本作业本购买m本，则小本作业本购买2m本，
依题意，得：0.8m+0.5×2m≤15，
解得：m≤．
∵m为正整数，
∴m的最大值为8．
答：大本作业本最多能购买8本．
23．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．
（I）求证：AC平分∠FAB；
（2）求证：BC2＝CE•CP；
（3）当AB＝4且＝时，求弦BC与其所对的劣弧所组成的弓形面积．

【分析】（1）根据“平行+等腰”证角平分线；
（2）只要证明△CBE∽△CPB，可得，即可解决问题；
（3）作BM⊥PF于M．则CE＝CM＝CF，设CE＝CM＝CF＝3a，PC＝4a，PM＝a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵PF是切线，
∴OC⊥PF，
∵AF⊥PF，
∴AF∥OC．
∴∠FAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠FAC＝∠CAB，即AC平分∠FAB；
（2）∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，
∴∠OCP＝∠CEB＝90°，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，∠BCE+∠OBC＝90°，
∴∠BCE＝∠BCP，
∵CD是直径，
∴∠CBD＝∠CBP＝90°，
∴△CBE∽△CPB，
∴，
∴BC2＝CE•CP；
（3）作BM⊥PF于M．则CE＝CM＝CF，设CE＝CM＝CF＝3a，PC＝4a，PM＝a，

∵∠MCB+∠P＝90°，∠P+∠PBM＝90°，
∴∠MCB＝∠PBM，
∵CD是直径，BM⊥PC，
∴∠CMB＝∠BMP＝90°，
∴△BMC∽△PMB，
∴，
∴BM2＝CM•PM＝3a2，
∴BM＝a，
∴tan∠BCM＝＝，
∴∠BCM＝30°，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠BOC＝60°，
∵AB＝4，
∴BC＝OC＝OB＝2，
∴弦BC与其所对的劣弧所组成的弓形面积＝﹣×12＝2π﹣3．
24．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）与x轴交于点A．

（1）求点A的坐标；
（2）设抛物线的顶点为P，点B是第一象限抛物线上的一动点，若S△OBP＝2S△OAP，求证：点B总在一条直线上运动；
（3）若a＝1，直线y＝x+4与抛物线交于点M，N，点C是x轴下方抛物线上的一点，连接CM交y轴于点E，直线DM交y轴于点F，交抛物线于点D（D在N左侧），∠NMD＝∠NMC，求的值．
【分析】（1）令y＝0可得A的坐标；
（2）由顶点公式得P的坐标，设B为（m，am2﹣2am），两点确定一条直线，直线BP为y＝a（m﹣1）x﹣am，设PB与x轴交于T，T坐标为（，0），S△OPB＝OT×（yB﹣yP）＝am（m﹣1），S△OAP＝×OA×|yP|＝a，S△OBP＝2S△OAP，可得B坐标（m，4a﹣am），即B在直线y＝a（4﹣x）上；
（3）联立y＝x2﹣2x与y＝x+4，得N，M坐标，过M作MG⊥y轴，过E、M各作y轴与x轴垂线，相交于点H，可得∠H＝90°，根据相似三角形判定可得，△MGF∽△MHE，根据相似比的性质可以推出结果．
【解答】解：（1）令y＝0，
即得ax2﹣2ax＝0，
ax（x﹣2）＝0，
∴x＝2，
∴A坐标为（2，0）；
（2）易知P点横坐标为﹣＝1，
∴yp＝a﹣2a＝﹣a，
设B为（m，am2﹣2am），
而P为（1，﹣a），
∴当直线BP设为y＝kx+b时，
，
令①﹣②得k（m﹣1）＝am2﹣2am+a＝a（m2﹣2m+1）＝a（m﹣1）2，
若B在第一象限，则m＞2，
∴m﹣1≠0，
∴k＝a（m﹣1），
b＝﹣am，
∴直线BP为y＝a（m﹣a）x﹣am，
设PB与x轴交于T，

则T坐标即为a（m﹣1）x﹣am＝0的解，xT为，
∴S△OPB＝OT×（yB﹣yP）＝××（am2﹣2am+a）＝am（m﹣1），
S△OAP＝×OA×|yP|＝×2×a＝a，
若S△OBP＝2S△OAP，
则有2a＝am（m﹣1），
得m2﹣m＝4，
B坐标可写成（m，4a﹣am），
而4a﹣am＝a（4﹣m），
∴B在直线y＝a（4﹣x）上；
（3）联立y＝x2﹣2x与y＝x+4，
得x1＝4，x2＝﹣1，
∴N为（﹣1，3），M为（4，8），
过M作MG⊥y轴，过E、M各作y轴与x轴垂线，相交于点H，

可知∠H＝90°，
∵直线NM为y＝x+4，
∴∠GMN＝∠HMN＝45°，
若∠DMN＝∠NME，
则∠GMF＝∠EMH，且∠MGF＝∠H＝90°，
∴△MGF∽△MHE，
∴＝，
而MG＝EH＝xm＝4，
∴GF×MH＝MG×HE＝16，
∴GF＝OG﹣OF＝8﹣OF，
∴MH＝OE+8，
∴（8﹣OF）•（OE+8）＝16，
∴OE﹣OF＝﹣6，
∴＝÷（OE•OF）＝．
25．（10分）定义：若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为xA，xB，与y轴的交点C的纵坐标为yC，若xA，xB中至少存在一个值，满足xA＝yC（或xB＝yC），则称该函数为“M函数”．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x轴的一个交点A的横坐标为﹣3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足xA＝yC，则称y＝x2+2x﹣3为“M函数”．
（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为“M函数”，并说明理由；
（2）请探究“M函数”y＝x2+bx+c（c≠0）表达式中的b与c之间的关系；
（3）若y＝x2+bx+c是“M函数”，且∠ACB为锐角，求c的取值范围．

【分析】（1）求出函数y＝x2﹣4x+3与坐标轴的交点，可直接根据“M函数”的定义进行判断；
（2）当x＝0时，y＝c，即与y轴交点的纵坐标为c，将（c，0）代入y＝x2+bx+c，即可求出b与c之间的关系；
（3）分情况讨论：①当C在y轴负半轴上时，画出草图，求出函数与x轴的一个交点为（1，0），则∠ACO＝45°，所以只需满足∠BCO＜45°，即可判断c的取值范围；②当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，画出草图，显然都满足∠ACB为锐角，即可写出c的取值范围；③当C与原点重合时，不符合题意．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3是“M函数”，理由如下：
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1或3，
∴y＝x2﹣4x+3与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3，
∴y＝x2﹣4x+3是“M函数”；

（2）当x＝0时，y＝c，即与y轴交点的纵坐标为c，
∵y＝x2+bx+c是“M函数”，
∴x＝c时，y＝0，即（c，0）在y＝x2+bx+c上，
代入得：0＝c2+bc+c，
∴0＝c（c+b+1），
而c≠0，
∴b+c＝﹣1；

（3）①如图1，当C在y轴负半轴上时，

由（2）可得：c＝﹣b﹣1，即y＝x2+bx﹣b﹣1，
显然当x＝1时，y＝0，
即与x轴的一个交点为（1，0），
则∠ACO＝45°，
∴只需满足∠BCO＜45°，即BO＜CO，
∴c＜﹣1；
②如图2，当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，

∴显然都满足∠ACB为锐角，
∴c＞0，且c≠1；
③当C与原点重合时，不符合题意，
综上所述，c＜﹣1或c＞0，且c≠1．