人教版新课标B必修4本节综合同步测试题

这是一份人教版新课标B必修4本节综合同步测试题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知点A(7,1)、B(1,4)，直线y＝eq \f(1,2)ax与线段AB交于点C，且eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(CB,\s\up6(→))，则a等于( )
A．2 B．1
C．eq \f(4,5) D．eq \f(5,3)
[答案] A
[解析] 设C(x，y)，则(x－7，y－1)＝(2－2x,8－2y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－7＝2－2x,y－1＝8－2y))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝3)).
∴3＝eq \f(1,2)a×3，∴a＝2.
2．已知点A(2,1)、B(3,2)、C(－1,4)，则△ABC的面积为( )
A．eq \r(3) B．3
C．3eq \r(2) D．6
[答案] B
[解析] 由eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－3,3)，
得eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴AB⊥AC，∴△ABC为直角三角形，且∠A＝90°.
∴S△ABC＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×3eq \r(2)＝3.
3．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．－1或2
[答案] D
[解析] 由已知向量(1－m,1)与向量(－2，m)平行，
∴m(1－m)－1×(－2)＝0，
∴m＝－1或2，故选D．
4．若向量eq \(OF1,\s\up6(→))＝(2,2)、eq \(OF2,\s\up6(→))＝(－2,3)分别表示两个力F1、F2，则|F1＋F2|为( )
A．(0,5) B．(4，－1)
C．2eq \r(2) D．5
[答案] D
[解析] |F1＋F2|＝|eq \(OF1,\s\up6(→))＋eq \(OF2,\s\up6(→))|＝|(2,2)＋(－2，3)|＝|(0,5)|＝5.
5．一船从某河的一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，已知船可垂直到达对岸，则( )
A．|v1|<|v2| B．|v1|>|v2|
C．|v1|≤|v2| D．|v1|≥|v2|
[答案] B
[解析] 如图，eq \(OA,\s\up6(→))＝v2，eq \(OB,\s\up6(→))＝v1，
由图知：|eq \(OB,\s\up6(→))|>|eq \(BC,\s\up6(→))|，又|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))|，
∴|eq \(OB,\s\up6(→))|>|eq \(OA,\s\up6(→))|，即|v1|>|v2|.
6．初速度为v0，发射角为θ，若要使炮弹在水平方向的速度为eq \f(1,2)v0，则发射角θ应为( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
[答案] D
[解析] 炮弹的水平速度v＝v0csθ＝eq \f(1,2)v0，
∴csθ＝eq \f(1,2).
∴θ＝60°.
二、填空题
7．一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：N)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________N.
[答案] 2eq \r(7)
[解析] ∵|F1|＝2，|F2|＝4，〈F1，F2〉＝60°，且F1＋F2＋F3＝0
∴|F3|2＝|－(F1＋F2)|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1|·|F2|cs〈F1，F2〉＝22＋42＋2×2×4 cs60°＝28.
故|F3|＝2eq \r(7).
8．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5 s后点P的坐标为______．
[答案] (10，－5)
[解析] eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－10＋4×5＝10,y＝10＋－3×5＝－5))，∴P(10，－5)．
三、解答题
9．已知A(－1,2)、B(0，－2)，且2|eq \(AD,\s\up6(→))|＝3|eq \(BD,\s\up6(→))|，若点D在线段AB上，求点D的坐标．
[解析] 设D(x，y)，由题意知，2|eq \(AD,\s\up6(→))|＝3|eq \(BD,\s\up6(→))|，
且点D在线段AB上，所以2eq \(AD,\s\up6(→))＝3eq \(DB,\s\up6(→))，
即2(x＋1，y－2)＝3(－x，－2－y)．
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋2＝－3x,2y－4＝－6－3y))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(2,5),y＝－\f(2,5))).
故D点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)，－\f(2,5))).
10．在倾斜角为θ(csθ＝0.8)，高h＝2.0 m的斜面上，质量为m＝5.0 kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的0.50倍，如图所示，设g＝10 m/s2.求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功．
[解析] 物体受三个力的作用，重力G，摩擦力f，斜面对物体的支持力FN.位移的大小|s|＝eq \f(h,sinθ)＝eq \f(10,3)(m)．
支持力对物体所做的功为：
WFN＝FN·s＝|FN||s|cs90°＝0.
重力对物体所做的功为：
WG＝G·s＝|G||s|cs(90°－θ)＝50×eq \f(10,3)×0.6＝100(J)．
摩擦力对物体所做的功为：Wf＝f·s＝|f|·|s|·cs180°
＝50×0.8×0.50×eq \f(10,3)×(－1)＝66.7(J)．
一、选择题
1．在△ABC中，D为BC边的中点，已知Aeq \(B,\s\up6(→))＝a、Aeq \(C,\s\up6(→))＝b，则下列向量中与Aeq \(D,\s\up6(→))同向的是( )
A．eq \f(a＋b,|a＋b|) B．eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)
C．eq \f(a－b,|a－b|) D．eq \f(a,|a|)－eq \f(a,|b|)
[答案] A
[解析] Aeq \(D,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)Aeq \(B,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)Aeq \(C,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)，而eq \f(a＋b,|a＋b|)是与a＋b同方向的单位向量，故选A．
2．已知点O为△ABC所在平面内一点，满足eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))，则点O是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．垂心 D．重心
[答案] C
[解析] ∵eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))，
∴eq \(OB,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))＝0，
∴eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝0.
∴eq \(OB,\s\up6(→))⊥eq \(CA,\s\up6(→)).
∴OB⊥CA．
同理，可证OA⊥BC，OC⊥AB．
故点O是△ABC的垂心．
3．如图，两条绳提一个物体，每条绳用力5 N，绳夹角为60°，则物体重量W为( )
A．5 N B．5eq \r(3) N
C．5eq \r(2) N D．10 N
[答案] B
[解析] W＝2|F1|·cs30°＝2×5×eq \f(\r(3),2)＝5eq \r(3) N.
4．已知P、Q为△ABC内的两点，且eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))，则△APQ的面积与△ABC的面积之比为( )
A．eq \f(1,16) B．eq \f(1,12)
C．eq \f(1,8) D．eq \f(3,16)
[答案] D
[解析] 如图，根据题意，P、Q为△ABC中位线DE、DF的中点，PQ＝eq \f(1,2)EF＝eq \f(1,4)BC，而A到PQ的距离是到BC距离的eq \f(3,4)，根据三角形的面积公式可知，S△APQ＝eq \f(3,16)S△ABC．
二、填空题
5．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，eq \(OH,\s\up6(→))＝m(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，则实数m＝________.
[答案] 1
[解析] 取BC的中点D，则eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OD,\s\up6(→)).且OD⊥BC，AH⊥BC，
由eq \(OH,\s\up6(→))＝m(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，
可得eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AH,\s\up6(→))＝m(eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OD,\s\up6(→)))，
∴eq \(AH,\s\up6(→))＝(m－1)eq \(OA,\s\up6(→))＋2meq \(OD,\s\up6(→)).
eq \(AH,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(m－1)·eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋2m·eq \(OD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))，
即0＝(m－1)·eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋0，
故得到m＝1.
6．某重量为P的物体用绳子缚着，某人手拉着绳子在水平面上匀速行走，若物体与地面间的滑动摩擦系数μ＝eq \f(\r(3),3)，那么绳子与地面成________角时，拉力最小．
[答案] 30°
[解析] 如图，
由题设知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|F|sinθ＋|N|＝|P|,|F|csθ＝μ·|N|))，
∴|F|＝eq \f(μ|P|,μsinθ＋csθ)＝eq \f(\f(\r(3),3)|P|,\f(\r(3),3)sinθ＋csθ)
＝eq \f(|P|,sinθ＋\r(3)csθ)＝eq \f(|P|,2sinθ＋60°)，
∴θ＝30°时，|F|最小，|F|min＝eq \f(|P|,2).
三、解答题
7．某人在静水中游泳，速度为4eq \r(3) km/h.
(1)如果他径直游向河的对岸，水流的速度大小为4 km/h，他实际上沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流的垂直方向前进？实际前进的速度大小为多少？
[解析] (1)如图甲所示，由于v实＝v水＋v人，
∴|v实|＝eq \r(4\r(3)2＋42)＝8(km/h)．
又tanθ＝eq \f(|v人|,|v水|)＝eq \f(4\r(3),4)＝eq \r(3)，∴θ＝60°.
(2)如图乙所示，根据平行四边形法则及解直角三角形知识可得|v实|＝eq \r(|v人|2－|v水|2)＝eq \r(4\r(3)2－42)＝4eq \r(2)(km/h)．
又tanθ＝eq \f(|v水|,|v实|)＝eq \f(4,4\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，∴θ＝arctaneq \f(\r(2),2).
答：(1)他实际沿水流方向成60°角的方向前进，大小为8 km/h.
(2)他必须沿水流方向成90°＋arctaneq \f(\r(2),2)角的方向前进，大小为4eq \r(2) km/h.
8．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC．
[解析] 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a、eq \(AC,\s\up6(→))＝b、eq \(AD,\s\up6(→))＝e、eq \(DB,\s\up6(→))＝c、eq \(DC,\s\up6(→))＝d，
则a＝e＋c，b＝e＋d，
所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2，由条件知：a2＝c2－d2＋b2，
所以e·c＝e·d，即e·(c－d)＝0，即eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
所以AD⊥BC．
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝6，求两条直角边的中线所夹的锐角的余弦值．
[解析] 解法一：如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别是BC、AC边的中点，BC＝4，AC＝6.
则CD＝2，CE＝3，
∴|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \r(AC2＋CD2)＝eq \r(40)＝2eq \r(10)，
|eq \(BE,\s\up6(→))|＝eq \r(BC2＋CE2)＝5，
eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(EB,\s\up6(→))＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))·(eq \(EC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))
＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))
＝6×3＋0＋0＋2×4＝26.
设eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(EB,\s\up6(→))的夹角为θ，
则csθ＝eq \f(\(AD,\s\up6(→))·\(EB,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))||\(EB,\s\up6(→))|)＝eq \f(26,2\r(10)×5)＝eq \f(13\r(10),50).
故直线AD与BE所夹的锐角的余弦值为eq \f(13\r(10),50).
解法二：如图(2)所示，建立直角坐标系，点C为原点，两直角边所在直线为坐标轴．
其中点A(0,6)、B(4,0)、D(2,0)、E(0，3)，则eq \(AD,\s\up6(→))＝(2，－6)，eq \(EB,\s\up6(→))＝(4，－3)，
所以eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(EB,\s\up6(→))＝2×4＋(－6)×(－3)＝26，
|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋－62)＝2eq \r(10)，
|eq \(EB,\s\up6(→))|＝eq \r(42＋－32)＝5，
设eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(EB,\s\up6(→))的夹角为θ，
则csθ＝eq \f(\(AD,\s\up6(→))·\(EB,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))||\(EB,\s\up6(→))|)＝eq \f(26,2\r(10)×5)＝eq \f(13\r(10),50).
故直线AD与BE所夹的锐角的余弦值为eq \f(13\r(10),50).