人教版新课标B必修42.2.1平面向量的基本定理当堂检测题

第二章　2.2　2.2.1　

一、选择题

1．设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(　　)

A．e1＋e2和e1－e2　　　 B．3e1－2e2和4e2－6e1

C．e1＋2e2和e2＋2e1  D．e2和e1＋e2

[答案]　B

[解析]　∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，

∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，不能作为基底．

2．已知c＝ma＋nb，要使a、b、c的终点在一条直线上(设a、b、c有公共起点)，m、n(m、n∈R)需满足的条件是(　　)

A．m＋n＝－1  B．m＋n＝0

C．m－n＝1  D．m＋n＝1

[答案]　D

[解析]　a、b、c的终点要在同一直线上，

则c－a与b－a共线，

即c－a＝λ(b－a)，

∵c＝ma＋nb，∴ma＋nb－a＝λb－λa，

∴(m－1＋λ)a＝(λ－n)b，

∵a、b不共线，∴，消去λ，

∴m＋n＝1.

3．(2015·新课标Ⅰ理，7)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)

A．＝－＋  B．＝－

C．＝＋  D．＝－

[答案]　A

[解析]　由题知＝＋＝＋

＝＋(－)＝－＋，故选A．

4．已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(x－y)e1＋(2x＋y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值等于(　　)

A．3  B．－3

C．6  D．－6

[答案]　C

[解析]　∵e1、e2不共线，∴由平面向量基本定理可得，解得.

5．AD与BE分别为△ABC中BC、AC边上的中线，且＝a、＝b，则等于(　　)

A．a＋b  B．a＋b

C．a－b  D．－a＋b

[答案]　B

[解析]　如图，

∵＝＋＝＋，

＝＋，

∴＋＝a，＋＝b，

两式消去，得＝a＋b.

6．设一直线上三点A，B，P满足＝λ(λ≠±1)，O为平面内任意一点，则用、表示为(　　)

A．＝＋λ B．＝λ＋(1＋λ)

C．＝ D．＝＋

[答案]　C

[解析]　∵＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ－λ，

∴(1＋λ)＝＋λ，∴＝.

二、填空题

7．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a、b表示)．

[答案]　－a＋b

[解析]　∵＝3，∴4＝3＝3(a＋b)，＝a＋b，

∴＝(a＋b)－＝－a＋b.

8．已知向量a与b不共线，实数x、y满足等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb，则x＝________，y＝________.

[答案]　　

[解析]　∵a、b不共线，∴，解得.

三、解答题

9.如图，已知△ABC中，M、N、P顺次是AB的四等分点，＝e1，＝e2，试用e1、e2表示、、.

[解析]　利用中点的向量表达式得：

＝e1＋e2；＝e1＋e2；

＝e1＋e2.

10．设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a、b将、、表示出来．

[解析]　如图所示，

＝－＝－－＝－－(－)

＝－＝b－a.

同理可得＝a－b，＝a＋b.

一、选择题

1．如图，在△ABC中，B＝D，A＝3E，若A＝a，A＝b，则B＝(　　)

A．a＋b  B．－a＋b

C．a＋b  D．－a＋b

[答案]　B

[解析]　∵A＝A＝(A＋B)＝(A＋B)＝(A＋A－A)＝(a＋b)

＝a＋b.∴B＝A－A＝－a＋b.

2．已知P为△ABC所在平面内一点，当＋＝成立时，点P位于(　　)

A．△ABC的AB边上  B．△ABC的BC边上

C．△ABC的内部  D．△ABC的外部

[答案]　D

[解析]　由＋＝，得＝－＝，

所以PA∥BC，所以P在△ABC的外部．

3．已知在△ABC所在平面上有一点P，满足P＋P＋P＝A，则△PBC与△ABC的面积之比是(　　)

A．  B．

C．  D．

[答案]　C

[解析]　由P＋P＋P＝A，得P＋P＋P－A＝0，即P＋P＋B＋P＝0，∴P＋P＋P＝0，即2P＝C，所以点P是CA边上靠近点A的三等分点，故＝.

4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)

A．外心  B．内心

C．重心  D．垂心

[答案]　B

[解析]　因与都为单位向量且λ∈[0，＋∞)，所以λ平分与的夹角，即平分∠A，∴P点轨迹通过△ABC的内心．

二、填空题

5．已知向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3，若以b、c为基向量，则a＝________.

[答案]　－b＋c

[解析]　设a＝λb＋μc，则－e1＋3e2＋2e3＝λ(4e1－6e2＋2e3)＋μ(－3e1＋12e2＋11e3)＝(4λ－3μ)e1＋(－6λ＋12μ)e2＋(2λ＋11μ)e3.

∴，解得.

∴a＝－b＋c.

6.如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若A＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.

[答案]　

[解析]　因为AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC，

所以BH＝1，BH＝BC．

因为点M为AH的中点，

所以A＝A＝(A＋B)＝(A＋B)

＝A＋B，即λ＝，μ＝，

所以λ＋μ＝.

三、解答题

7.如图，在△AOB中，＝a、＝b，设＝2，＝3，而OM与BN相交于点P，试用a、b表示向量.

[解析]　＝＋＝＋

＝＋(－)

＝a＋(b－a)＝a＋b.

∵与共线，令＝t，

则＝t.

又设＝(1－m)＋m＝(1－m)a＋mb

∴，∴.∴＝a＋b.

8．在▱OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于点E，求证：BE＝BA．

[分析]　利用向量证明平面几何问题的关键是选好一组与所求证的结论密切相关的基底．

[解析]　如图，设E′是线段BA上的一点，且BE′＝BA，只要证点E、E′重合即可，设＝a，＝b，则＝a，＝b＋a.

∴＝＋＝b＋＝b＋(a－b)

＝(a＋3b)＝(b＋a)＝，

∴O、E′、D三点共线，∴E、E′重合．∴BE＝BA．

9.如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求APPM的值．

[解析]　设＝e1，＝e2，

则＝＋＝－3e2－e1，＝2e1＋e2

∵A、P、M和B、P、N分别共线，

∴存在实数λ、μ使＝λ＝－λe1－3λe2，

＝μ＝2μe1＋μe2，

故＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.

而＝＋＝2e1＋3e2

由基本定理，得，解得.

故＝，即APPM＝41.