高中数学人教版新课标B必修4第二章 平面向量2.1 向量的线性运算2.1.4数乘向量课时作业

这是一份高中数学人教版新课标B必修4第二章 平面向量2.1 向量的线性运算2.1.4数乘向量课时作业，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．化简eq \f(1,12)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]的结果是( )
A．2a－b B．2b－a
C．a－b D．b－a
[答案] B
[解析] 原式＝eq \f(1,12)(4a＋16b－16a＋8b)
＝eq \f(1,12)[(4－16)a＋(16＋8)b]＝－a＋2b＝2b－a.
2．已知eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，则eq \(DE,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→)) B．－eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))
C．－eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→)) D．eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))
[答案] C
[解析] eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))
＝－eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→)).
3．在△ABC中，已知D为AB边上一点，若eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋λeq \(CB,\s\up6(→))，则λ＝( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(1,3)
C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(2,3)
[答案] A
[解析] 解法一：∵A、D、B三点共线，
∴eq \f(1,3)＋λ＝1，∴λ＝eq \f(2,3).
解法二：∵eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋λeq \(CB,\s\up6(→))，
∴λ＝eq \f(2,3)，故选A．
4．(2015·山东潍坊高一期末测试)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是OB的中点，若eq \(AC,\s\up6(→))＝a，eq \(BD,\s\up6(→))＝b，则eq \(CE,\s\up6(→))等于( )
A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b B．eq \f(1,2)a－eq \f(1,4)b
C．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b D．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,4)b
[答案] D
[解析] 如图
∵E是OB的中点，∴eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(DB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)eq \(BD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)b，
∴eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(CO,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a－eq \f(1,4)b.
5．若O是平行四边形ABCD的中心，eq \(AB,\s\up6(→))＝4e1，eq \(BC,\s\up6(→))＝6e2，则3e2－2e1等于( )
A．eq \(AO,\s\up6(→)) B．eq \(BO,\s\up6(→))
C．eq \(CO,\s\up6(→)) D．eq \(DO,\s\up6(→))
[答案] B
[解析] ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝4e1，eq \(BC,\s\up6(→))＝6e2，
∴3e2－2e1＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BO,\s\up6(→))，
故选B．
6．在△ABC中，Aeq \(B,\s\up6(→))＝a，Aeq \(C,\s\up6(→))＝b，且Aeq \(M,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)Aeq \(B,\s\up6(→))，Beq \(N,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)Beq \(C,\s\up6(→))，则Meq \(N,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(1,6)a＋eq \f(1,2)b B．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,6)b
C．－eq \f(1,6)a－eq \f(1,2)b D．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,6)b
[答案] A
[解析] 如图所示，
Meq \(N,\s\up6(→))＝Meq \(B,\s\up6(→))＋Beq \(N,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)Aeq \(B,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)Beq \(C,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)(b－a)＝eq \f(1,6)a＋eq \f(1,2)b.
二、填空题
7．点C在线段AB上，且eq \f(AC,CB)＝eq \f(3,2)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝________eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))＝________eq \(AB,\s\up6(→)).
[答案] eq \f(3,5) －eq \f(2,5)
[解析] ∵eq \f(AC,CB)＝eq \f(3,2)，C在线段AB上，如图
，
∴设AC＝3，则CB＝2，∴AB＝5，
∴eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→)).
8．已知实数x、y，向量a、b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.
[答案] eq \f(1,2) eq \f(1,2)
[解析] 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0,x－y＝0))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2),y＝\f(1,2))).
三、解答题
9．化简下列各式：
(1)3(2a－b)－2(4a－3b)；
(2)eq \f(1,3)(4a＋3b)－eq \f(1,2)(3a－b)－eq \f(3,2)b；
(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)．
[解析] (1)原式＝6a－3b－8a＋6b
＝－2a＋3b.
(2)原式＝eq \f(4,3)a＋b－eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(3,2)b
＝－eq \f(1,6)a.
(3)原式＝6a－8b＋2c－6a－3b＋9c
＝－11b＋11c.
10. 设x、y是未知向量，解下列方程或方程组．
(1)5(x＋a)＋3(x－2b)＝0；
(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－y＝a,x－\f(1,2)y＝b)).
[解析] (1)原方程可化为5x＋5a＋3x－6b＝0，即
8x＝－5a＋6b，
解得x＝－eq \f(5,8)a＋eq \f(3,4)b.
(2)将第一个方程的－2倍与第二个方程相加，得
eq \f(3,2)y＝－2a＋b，从而
y＝－eq \f(4,3)a＋eq \f(2,3)b.①
式①代入原方程组的第二个方程，得
x－eq \f(1,2)(－eq \f(4,3)a＋eq \f(2,3)b)＝b.
移项并化简得x＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(4,3)b.
一、选择题
1．已知向量a、b不共线，实数x、y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为( )
A．3 B．－3
C．0 D．2
[答案] A
[解析] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－4y＝6,2x－3y＝3))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6,y＝3))，
∴x－y＝3，故选A．
2．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量eq \(CD,\s\up6(→))＝( )
A．－eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→)) B．－eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))
C．eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→)) D．eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))
[答案] A
[解析] ∵D是AB的中点，∴eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))，
∴eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝－eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))，故选A．
3．O是▱ABCD所在平面内任一点，eq \(OA,\s\up6(→))＝a、eq \(OB,\s\up6(→))＝b、eq \(OC,\s\up6(→))＝c，eq \(OD,\s\up6(→))＝d，则( )
A．a＋b＋c＋d＝0B．a＋b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0D．a－b＋c－d＝0
[答案] D
[解析] ∵a－d＝eq \(DA,\s\up6(→))，c－b＝eq \(BC,\s\up6(→))，
∴a－b＋c－d＝(a－d)＋(c－b)＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
∴选D．
4．(2015·商洛市高一期末测试)在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝c，eq \(AC,\s\up6(→))＝b.若点D满足eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，则eq \(AD,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c B．eq \f(3,5)c－eq \f(2,3)b
C．eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)c D．eq \f(1,3)b＋eq \f(2,3)c
[答案] A
[解析] 如图，
∵eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，∴eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)(b－c)，
eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝c＋eq \f(2,3)b－eq \f(2,3)c＝eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c.
二、填空题
5．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.
[答案] －eq \f(5,7)
[解析] ∵|a|＝5，|b|＝7，∴eq \f(|a|,|b|)＝eq \f(5,7)，
又方向相反，∴a＝－eq \f(5,7)b.
6．已知a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，则a＋b＝________，a－b＝________，2a－3b＝________.
[答案] 3e1－e2 e1＋3e2 e1＋8e2
[解析] ∵a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，
∴a＋b＝3e1－e2，
a－b＝e1＋3e2，
2a－3b＝4e1＋2e2－3e1＋6e2
＝e1＋8e2.
三、解答题
7．已知G是△ABC内的一点，若eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0.求证：G是△ABC的重心．
[解析] 如图，∵eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(GA,\s\up6(→))＝－(eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1())
以eq \(GB,\s\up6(→))、eq \(GC,\s\up6(→))为邻边作平行四边形BGCD，则
eq \(GD,\s\up6(→))＝eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))，∴eq \(GD,\s\up6(→))＝－eq \(GA,\s\up6(→))，
又∵在▱BGCD中，BC交GD于E，
∴eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(GE,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))，
∴AE是△ABC的边BC的中线，且|eq \(GA,\s\up6(→))|＝2|eq \(GE,\s\up6(→))|，
∴G为△ABC的重心．
8．已知平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于E点，O是任意一点，如图所示．求证：eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝4eq \(OE,\s\up6(→)).
[解析] 解法一：因为E为平行四边形两对角线的交点，所以2eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，2eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)).
即4eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)).
解法二：因为eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))，而eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝0，eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝0，
所以4eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)).
9．(1)化简：eq \f(2,3)[(4a－3b)＋eq \f(1,3)b－eq \f(1,4)(6a－7b)]；
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求(eq \f(1,3)a－b)－(a－eq \f(2,3)b)＋(2b－a)．
[解析] (1)原式＝
eq \f(2,3)(4a－3b＋eq \f(1,3)b－eq \f(3,2)a＋eq \f(7,4)b)
＝eq \f(2,3)[(4－eq \f(3,2))a＋(－3＋eq \f(1,3)＋eq \f(7,4))b]
＝eq \f(2,3)(eq \f(5,2)a－eq \f(11,12)b)＝eq \f(5,3)a－eq \f(11,18)b.
(2)原式＝eq \f(1,3)a－b－a＋eq \f(2,3)b＋2b－a
＝(eq \f(1,3)－1－1)a＋(－1＋eq \f(2,3)＋2)b
＝－eq \f(5,3)a＋eq \f(5,3)b
＝－eq \f(5,3)(3i＋2j)＋eq \f(5,3)(2i－j)
＝(－5＋eq \f(10,3))i＋(－eq \f(10,3)－eq \f(5,3))j
＝－eq \f(5,3)i－5j.